פותרים יחד · פונקציית השורש — נגזרת וחקירה · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה עם קיצון בקצה, משיק לגרף של מנה, משוואה עם שורש שמסננת פתרון, פרמטרים, וחקירה שבה הגרף נוגע בציר. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — חקירה, וקיצון בקצה התחום

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=x\sqrt{x+3}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים. ב. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה.

f(x)=x\sqrt{x+3}

לחצו «להתחיל». הסדר קבוע: תחום, צירים, נגזרת, חשודות, סימנים, גבהים.

א. תחום

x+3 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -3

הקצה $x=-3$ יחזור בסעיף ב.

א. צירים

\begin{aligned}x\sqrt{x+3} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= -3\end{aligned}

מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס. הנקודות $(0,0)$ ו- $(-3,0)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x+3}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}} \\ &= \frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף. מוגדרת ל- $x>-3$ .

ב. חשודות

\begin{aligned}3x+6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

וגם הקצה $x=-3$ .

ב. סימנים

f'(-2.5)<0 \qquad f'(0)=\frac{6}{2\sqrt{3}}>0

המכנה חיובי, והסימן הוא של $3x+6$ .

ב. גבהים

\begin{aligned}f(-2) &= -2 \cdot 1 \\ &= -2 \qquad f(-3) \\ &= 0\end{aligned}

מציבים ב- $f$ .

ב. מסקנה

\min (-2,\,-2) \qquad \max (-3,\,0) \ \text{קצה}

מהקצה הפונקציה יורדת, ולכן הקצה מקסימום.

ג.

-3<x<-2: \ \searrow \qquad x>-2: \ \nearrow

יורדת ב- $-3<x<-2$ , עולה ב- $x>-2$ .

ב- $x=-3$ הנגזרת לא מוגדרת, ובכל זאת יש שם קיצון. מי שמחפש רק $f'(x)=0$ מפספס חצי מהתשובה של סעיף ב.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם $(-3,\,0)$ היא הנקודה הגבוהה ביותר של הגרף?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $f(6)=6 \cdot 3=18$ . זה מקסימום מקומי: הוא גבוה רק מהנקודות הקרובות אליו. אחרי $x=-2$ הפונקציה עולה בלי סוף.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משיק לגרף של מנה

פעילות אינטראקטיבית

משוואת המשיק ל- $f(x)=\frac{x+8}{\sqrt{x}}$ בנקודה שבה $x=4$

נתונה $f(x)=\frac{x+8}{\sqrt{x}}$ . מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ .

$y=-\frac{1}{4}x+7$

$y=-\frac{1}{4}x+6$

$y=\frac{1}{4}x+5$

$y=-4x+22$

מה הצעד הראשון?

נקודת ההשקה: $f(4)$

להציג את התשובה והפתרון

לישר צריך נקודה ושיפוע. הנקודה באה מ- $f$ .

מציבים $f'(4)$ במקום $y_0$

להציג את התשובה והפתרון

$f'(4)$ הוא שיפוע, לא גובה.

\begin{aligned}f(4) &= \frac{12}{2} \\ &= 6 \ \Rightarrow \ (4,\,6)\end{aligned}

נקודת ההשקה

איך גוזרים?

כלל המנה: $\frac{1 \cdot \sqrt{x}-(x+8) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$

להציג את התשובה והפתרון

נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, חלקי ריבוע המכנה.

$\frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}$

להציג את התשובה והפתרון

מנת הנגזרות אינה נגזרת המנה.

\begin{aligned}f'(4) &= \frac{2-\frac{12}{4}}{4} \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

השיפוע: מציבים בלי לפשט

ומה עכשיו?

$y-6=-\frac{1}{4}(x-4)$

להציג את התשובה והפתרון

שיפוע ונקודה בנוסחת הישר.

להציג את התשובה והפתרון

הגובה נכתב במקום המספר החופשי. הישר הזה לא עובר ב- $(4,6)$ .

\begin{aligned}y &= -\frac{1}{4}x+1+6 \\ &= -\frac{1}{4}x+7\end{aligned}

משוואת המשיק

להציג את התשובה והפתרון

$y=-\frac{1}{4}x+7$ . בדיקה: ב- $x=4$ הישר נותן $-1+7=6$ ✓. « $y=-4x+22$ » הפך את השיפוע, ו« $y=\frac{1}{4}x+5$ » הפך את סדר החיסור בכלל המנה.

לעשות את הפעילות ב-elev

באיזה $x$ המשיק לגרף הזה אופקי?

להציג את התשובה והפתרון

מפשטים: $f'(x)=\frac{2x-(x+8)}{2x\sqrt{x}}=\frac{x-8}{2x\sqrt{x}}$ . המונה מתאפס ב- $x=8$ , ושם הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס: מינימום.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משוואה עם שורש, ופתרון שנפסל

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=5\sqrt{x^2+36}-4x$ . א. מהו תחום ההגדרה? ב. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה. ג. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ .

f(x)=5\sqrt{x^2+36}-4x

לחצו «להתחיל». בסעיף ב מחכה פתרון שצריך לפסול.

א.

x^2+36>0 \ \Rightarrow \ \text{כל } x

אין קצה לתחום.

ב. נגזרת

f'(x)=\frac{5x}{\sqrt{x^2+36}}-4

נגזרת הפנימית $2x$ , וה- $2$ מצטמצם.

ב. מבודדים

5x=4\sqrt{x^2+36}

משווים לאפס וכופלים במכנה.

ב. בריבוע

\begin{aligned}25x^2 &= 16x^2+576 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 8\end{aligned}

שני פתרונות למשוואה שבריבוע.

ב. בדיקה

\begin{aligned}x &= 8: \ 40 \\ &= 4 \cdot 10 \ \checkmark \qquad x \\ &= -8: \ -40 \neq 40\end{aligned}

$x=-8$ נפסל.

ב. סוג

\begin{aligned}f'(0) &= -4<0 \qquad f'(8) \\ &= 0 \qquad f'(10) \\ &= \tfrac{50}{\sqrt{136}}-4>0\end{aligned}

ממינוס לפלוס.

ב. מסקנה

\begin{aligned}f(8) &= 50-32 \\ &= 18 \ \Rightarrow \ \min (8,\,18)\end{aligned}

הגובה מ- $f$ .

ג.

\begin{aligned}f(0) &= 30 \\ \quad f'(0) &= -4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4x+30\end{aligned}

כאן $x_0=0$ , ולכן הגובה הוא המספר החופשי.

בלי הבדיקה היו יוצאות שתי נקודות קיצון. אבל ב- $x=-8$ הנגזרת היא $-\frac{40}{10}-4=-8$ , רחוק מאפס.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה המינימום $(8,\,18)$ הוא מוחלט?

להציג את התשובה והפתרון

הוא הנקודה החשודה היחידה, והתחום בלי קצוות. הפונקציה יורדת לפניו ועולה אחריו, ולכן כל ערך אחר גדול מ- $18$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פרמטרים

פעילות אינטראקטיבית

שני פרמטרים משני תנאים

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , ו- $a$ , $b$ פרמטרים. ידוע ש- $f(0)=2$ , ושיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $\frac{1}{2}$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=2 ,\ b=4$

$a=1 ,\ b=4$

$a=4 ,\ b=2$

$a=2 ,\ b=2$

מה אומר $f(0)=2$ ?

$\sqrt{b}=2$ , ולכן $b=4$

להציג את התשובה והפתרון

מציבים $x=0$ בפונקציה ומעלים בריבוע.

$b=2$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם להעלות בריבוע: $\sqrt{2} \neq 2$ .

\begin{aligned}\sqrt{b} &= 2 \ \Rightarrow \ b \\ &= 4\end{aligned}

התנאי הראשון, על $f$

מהי הנגזרת?

$f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}$

להציג את התשובה והפתרון

נגזרת הפנימית $a$ במונה.

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{ax+b}}$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את נגזרת הפנימית, ואז $a$ נעלם מהתנאי.

\begin{aligned}f'(0) &= \frac{a}{2\sqrt{4}} \\ &= \frac{a}{4}\end{aligned}

מציבים $x=0$ ו- $b=4$

איך מסיימים?

$\frac{a}{4}=\frac{1}{2}$ , ולכן $a=2$

להציג את התשובה והפתרון

התנאי השני, על $f'$ .

$\frac{a}{4}=2$ , ולכן $a=8$

להציג את התשובה והפתרון

$2$ הוא הגובה, לא השיפוע.

\begin{aligned}a &= 2 \\ \quad b &= 4 \ \Rightarrow \ f(x) \\ &= \sqrt{2x+4}\end{aligned}

בדיקה: $f(0)=2$ ✓, $f'(0)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

$a=2$ , $b=4$ . « $a=1$ » שכח את נגזרת הפנימית. « $b=2$ » לא העלה בריבוע. תנאי על גובה הולך ל- $f$ , תנאי על שיפוע הולך ל- $f'$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה שמצאנו?

להציג את התשובה והפתרון

$2x+4 \geq 0$ , כלומר $x \geq -2$ . הגרף מתחיל ב- $(-2,\,0)$ , עובר ב- $(0,\,2)$ ועולה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — חקירה שבה הגרף נוגע בציר

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=x-2\sqrt{x-1}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ג. שרטטו סקיצה.

f(x)=x-2\sqrt{x-1}

לחצו «להתחיל». שימו לב לציר ה- $y$ .

א. תחום

x \geq 1

ולכן $x=0$ מחוץ לתחום: אין חיתוך עם ציר ה- $y$ .

א. ציר x

\begin{aligned}x &= 2\sqrt{x-1} \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 4x-4 \ \Rightarrow \ (x-2)^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: $2=2\sqrt{1}$ ✓. הנקודה $(2,0)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{2}{2\sqrt{x-1}} \\ &= 1-\frac{1}{\sqrt{x-1}} \ \\ \quad x>1\end{aligned}

הנגזרת מוגדרת רק ל- $x>1$ .

ב. חשודות

\begin{aligned}\sqrt{x-1} &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

וגם הקצה $x=1$ .

ב. סימנים

\begin{aligned}f'(1.25) &= 1-2<0 \qquad f'(5) \\ &= 1-\tfrac{1}{2}>0\end{aligned}

יורדת ב- $1<x<2$ , עולה ב- $x>2$ .

ב. מסקנה

\min (2,\,0) \qquad \max (1,\,1) \ \text{קצה}

$f(1)=1$ . מהקצה הפונקציה יורדת: מקסימום מקומי.

ג.

(1,\,1) \searrow (2,\,0) \nearrow

הסקיצה מתחילה ב- $(1,1)$ , יורדת עד $(2,0)$ ועולה.

המינימום $(2,0)$ נמצא על ציר ה- $x$ , ולכן הגרף נוגע בציר ולא חותך אותו. זה מה שסיפר הפתרון הכפול $(x-2)^2=0$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם יש לפונקציה ערך שלילי?

להציג את התשובה והפתרון

לא. המינימום המוחלט הוא $0$ , ב- $x=2$ . לכן $f(x) \geq 0$ בכל התחום, כלומר $x \geq 2\sqrt{x-1}$ לכל $x \geq 1$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=x\sqrt{x+12}$ . מצאו את נקודת המינימום של הפונקציה ואת שיעור ה- $x$ של נקודת המקסימום בקצה התחום.

מינימום: $($ ____ $,$ ____ $)$ ; מקסימום בקצה: $x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מינימום: $($ -8 $,$ -16 $)$ ; מקסימום בקצה: $x=$ -12

הפתרון:

x \geq -12

תחום

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+12)+x}{2\sqrt{x+12}} \\ &= \frac{3x+24}{2\sqrt{x+12}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

\begin{aligned}x &= -8 \ \\ \ \ f(-8) &= -8 \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

חשודה וגובה

-12<x<-8: \ f'<0 \qquad x>-8: \ f'>0

ממינוס לפלוס

מינימום $(-8,\,-16)$ , ומקסימום מקומי בקצה $(-12,\,0)$ . מהקצה הפונקציה יורדת, ולכן הקצה הוא מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x}}$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ ?

$y=x+3$
$y=-x+4$
$y=-x+5$
$y=-x+1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y=-x+5$

הפתרון:

f(1)=4

נקודת ההשקה $(1,\,4)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x}-\frac{x+3}{2\sqrt{x}}}{x} \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 1-2 \\ &= -1\end{aligned}

כלל המנה

\begin{aligned}y-4 &= -(x-1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x+5\end{aligned}

המשיק

הנכונה: $y=-x+5$ . « $y=-x+4$ » כתב את הגובה במקום המספר החופשי. « $y=x+3$ » הפך את סדר החיסור בכלל המנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=5\sqrt{x^2+81}-4x$ . מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה.

$x=$ ____ , $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 12 , $y=$ 27

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5x}{\sqrt{x^2+81}}-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 5x \\ &= 4\sqrt{x^2+81}\end{aligned}

מבודדים

\begin{aligned}25x^2 &= 16x^2+1296 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 144 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 12\end{aligned}

בריבוע

\begin{aligned}x &= 12: \ 60 \\ &= 4 \cdot 15 \ \checkmark \qquad x \\ &= -12: \ -60 \neq 60\end{aligned}

בדיקה

\begin{aligned}f(12) &= 75-48 \\ &= 27\end{aligned}

הגובה; ממינוס לפלוס: מינימום

מינימום $(12,\,27)$ . $x=-12$ פותר רק את המשוואה שבריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=\sqrt{ax+b}$ , ו- $a$ , $b$ פרמטרים. ידוע ש- $f(0)=3$ , ושיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $\frac{1}{2}$ . מצאו את $a$ ואת $b$ .

$a=$ ____ , $b=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a=$ 3 , $b=$ 9

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt{b} &= 3 \ \Rightarrow \ b \\ &= 9\end{aligned}

תנאי על $f$

\begin{aligned}f'(0) &= \frac{a}{2\sqrt{9}} \\ &= \frac{a}{6} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

תנאי על $f'$

$f(x)=\sqrt{3x+9}$ . מי שכותב $b=3$ לא העלה בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=x-4\sqrt{x-3}$ . מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x \geq 3

תחום

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{2}{\sqrt{x-3}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x-3} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

חשודה

\begin{aligned}f'(4) &= -1<0 \qquad f'(12) \\ &= \tfrac{1}{3}>0\end{aligned}

ממינוס לפלוס

\begin{aligned}f(7) &= 7-8 \\ &= -1\end{aligned}

הגובה

הערך הקטן ביותר $-1$ , ב- $x=7$ . הקצה $(3,\,3)$ הוא מקסימום מקומי, לא מינימום: מהקצה הפונקציה יורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חקירה, וקיצון בקצה התחום

2 — משיק לגרף של מנה

3 — משוואה עם שורש, ופתרון שנפסל

4 — פרמטרים

5 — חקירה שבה הגרף נוגע בציר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev