חקירה מלאה של פונקציית שורש

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

חקירה של פונקציית שורש היא אותה חקירה כמו של פולינום. דבר אחד חדש: לתחום יש קצה. בקצה הנגזרת לא מוגדרת, אבל לפונקציה יש ערך, ולכן יכולה להיות שם נקודת קיצון.

y = 4√x − x
(0,0)(4,4)(16,0)024681012141618-2-112345xy
הגרף מתחיל ב-(0,0)(0,0), עולה עד (4,4)(4,4), יורד, וחותך את ציר ה-xx ב-(16,0)(16,0). אחרי 1616 הוא ממשיך לרדת.

לפי הגרף, לפני כל חישוב: מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה? והאם (0,0)(0,0) היא נקודת קיצון?

להציג את התשובה והפתרון

הערך הגדול ביותר הוא 44, ב-x=4x=4. הנקודה (0,0)(0,0) נמוכה מהנקודות הקרובות אליה בתחום, כי הגרף מתחיל שם ומיד עולה. לכן זו נקודת מינימום בקצה התחום. היא מינימום מקומי בלבד: אחרי x=16x=16 יש ערכים שליליים.

11

תחום הגדרה

22

זוגיות, אם התחום סימטרי

33

חיתוך עם הצירים

44

נגזרת, ואיפה היא מוגדרת

55

נקודות חשודות: f′(x)=0f'(x)=0, וגם קצוות התחום

66

עלייה וירידה, וסוג כל נקודה: מקומית או מוחלטת

77

סקיצה

קיצון בקצה התחום

בקצה התחום משווים את ff לערכים שלידו בתוך התחום. אם מהקצה הפונקציה עולה, הקצה הוא מינימום. אם היא יורדת, הקצה הוא מקסימום. את הכיוון קוראים מהסימן של f′f' בקטע הסמוך לקצה.

y = x√(12 − x)
(0,0)(8,16)(12,0)-3-2-1012345678910111213-9-6-3369121518xy
מקסימום ב-(8,16)(8,16). הנקודה (12,0)(12,0) היא קצה התחום: הגרף מגיע אליה בירידה ונעצר. משמאל הגרף יורד מתחת לציר ה-xx.

ב-f(x)=x12−xf(x)=x\sqrt{12-x} התחום הוא x≤12x \leq 12. הנגזרת f′(x)=24−3x212−xf'(x)=\frac{24-3x}{2\sqrt{12-x}} מתאפסת ב-x=8x=8. המכנה חיובי, ולכן הסימן של f′f' הוא הסימן של 24−3x24-3x: חיובי ב-x<8x<8, שלילי ב-8<x<128<x<12. מקסימום (8,16)(8,16), מוחלט. בקצה (12,0)(12,0) הפונקציה מגיעה בירידה: מינימום קצה, מקומי, כי f(−3)=−315<0f(-3)=-3\sqrt{15}<0.

מה סוג הנקודה (5,0)(5,0) בגרף של f(x)=x−5f(x)=\sqrt{x-5}?

להציג את התשובה והפתרון

התחום x≥5x \geq 5, ו-f′(x)=12x−5>0f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-5}}>0 לכל x>5x>5: הפונקציה עולה. לכן (5,0)(5,0) היא מינימום בקצה התחום, והוא מוחלט, כי שורש אינו שלילי.

כשהתחום הוא כל המספרים: טבלת סימנים

זוגיות

f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2}

זוגית: f(−x)=9−(−x)2=f(x)f(-x)=\sqrt{9-(-x)^2}=f(x). הגרף סימטרי לציר ה-yy

f(x)=xx2+4f(x)=x\sqrt{x^2+4}

אי-זוגית: f(−x)=−xx2+4=−f(x)f(-x)=-x\sqrt{x^2+4}=-f(x)

f(x)=x+1f(x)=\sqrt{x+1}

לא זוגית ולא אי-זוגית: התחום x≥−1x \geq -1 לא סימטרי

האם f(x)=x2−x2+5f(x)=x^2-\sqrt{x^2+5} זוגית?

להציג את התשובה והפתרון

כן. התחום הוא כל xx, ו-f(−x)=(−x)2−(−x)2+5=f(x)f(-x)=(-x)^2-\sqrt{(-x)^2+5}=f(x). בכל מקום ש-xx מופיע, הוא מופיע בריבוע.

הגרף של ff והגרף של f′f'

הגרף של f ושל f′
ff′024681012141618-2-1012345xy
f(x)=4√x−xf(x)=4\surd x-x והנגזרת f′(x)=2√x−1f'(x)=\frac{2}{\surd x}-1 על אותם צירים. f′f' מעל הציר ב-0<x<40<x<4, שם ff עולה. f′f' חותכת את הציר ב-x=4x=4, בדיוק מתחת למקסימום של ff.

הקשר זהה לזה של פולינום: איפה f′>0f'>0, ff עולה; איפה f′<0f'<0, ff יורדת; איפה f′f' חותכת את הציר ועוברת מסימן לסימן, יש ל-ff קיצון. ליד הקצה x=0x=0 הגרף של f′f' עולה מאוד: שם ff עולה תלול מאוד.

פרמטרים

פרמטר מנקודת קיצון

נתונה f(x)=ax−xf(x)=a\sqrt{x}-x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=9x=9. מצאו את aa ואת סוג הנקודה.

f′(x)=a2x−1f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{x}}-1

גוזרים עם הפרמטר

f′(9)=a6−1=0 ⇒ a=6\begin{aligned}f'(9) &= \frac{a}{6}-1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת

f′(4)=12>0f′(16)=−14<0\begin{aligned}f'(4) &= \tfrac{1}{2}>0 \qquad f'(16) \\ &= -\tfrac{1}{4}<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-

f(9)=18−9=9 ⇒ max⁡(9, 9)\begin{aligned}f(9) &= 18-9 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ \max (9,\,9)\end{aligned}

הגובה מ-ff

נקודה חשודה שמצאתם, בדקו שהיא בתוך התחום. ובסוף החקירה, עברו על כל קצה של התחום ושאלו: עולים ממנו או יורדים ממנו?

שלוש טעויות בחקירה של פונקציית שורש.

חשודות: f′(x)=0\text{חשודות}: \ f'(x)=0
חשודות: f′(x)=0  קצוות\begin{aligned}\text{חשודות}: \ f'(x) &= 0 \ \\ \ \text{קצוות}\end{aligned}

בקצה התחום הנגזרת לא מתאפסת, ובכל זאת יש שם קיצון.

f′(4)=0 ⇒ (4, 0)f'(4)=0 \ \Rightarrow \ (4,\,0)
f(4)=4 ⇒ (4, 4)f(4)=4 \ \Rightarrow \ (4,\,4)

את שיעור ה-yy מחשבים ב-ff, לא ב-f′f'.

x12−x : min⁡(12,0) מוחלטx \sqrt{12-x} \ : \ \min (12,0) \ \text{מוחלט}
min⁡(12,0) מקומי\min (12,0) \ \text{מקומי}

משמאל יש ערכים שליליים: f(−3)<0f(-3)<0. מוחלט דורש להשוות לכל התחום.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=2x−xf(x)=2\sqrt{x}-x. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 1 , y=y= 1

הפתרון:

f′(x)=1x−1f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-1

הנגזרת

x=1 ⇒ x=1\begin{aligned}\sqrt{x} &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

משווים לאפס

f(1)=2−1=1\begin{aligned}f(1) &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

הגובה מ-ff

f′(14)=1>0  f′(4)=−12<0\begin{aligned}f'(\tfrac{1}{4}) &= 1>0 \\ \ \ f'(4) &= -\tfrac{1}{2}<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

מקסימום (1, 1)(1,\,1). מי ששוכח את ה-22 של (x)′(\sqrt{x})' כותב 2x−1\frac{2}{\sqrt{x}}-1 ומקבל x=4x=4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=2x−xf(x)=2\sqrt{x}-x. מה נכון לגבי הנקודה (0,0)(0,0)?

  1. אינה על הגרף
  2. נקודת מקסימום בקצה התחום
  3. אינה נקודת קיצון, כי f′(0)f'(0) לא מוגדרת
  4. נקודת מינימום בקצה התחום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד נקודת מינימום בקצה התחום

הפתרון:

x≥0x \geq 0

x=0x=0 הוא קצה התחום

0<x<1: f′>00<x<1: \ f'>0

מהקצה הפונקציה עולה

הנכונה: מינימום בקצה. בקצה הנגזרת לא מוגדרת, ובכל זאת יש קיצון: משווים את f(0)=0f(0)=0 לערכים הסמוכים, שכולם גדולים ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x3−xf(x)=x\sqrt{3-x}. באיזה תחום הפונקציה עולה?

  1. x<3x<3
  2. 2<x<32<x<3
  3. 0<x<20<x<2
  4. x<2x<2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x<2x<2

הפתרון:

f′(x)=3−x−x23−x=6−3x23−x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{3-x}-\frac{x}{2\sqrt{3-x}} \\ &= \frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

6−3x>0 ⇒ x<26-3x>0 \ \Rightarrow \ x<2

המכנה חיובי

הנכונה: x<2x<2. התחום הוא x≤3x \leq 3, והוא כולל גם מספרים שליליים: 0<x<20<x<2 שוכח אותם. 2<x<32<x<3 הוא תחום הירידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=8−2x+xf(x)=\sqrt{8-2x}+x. השלימו.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; בקצה התחום: f=f= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: (( 3.5 ,, 4.5 )) ; בקצה התחום: f=f= 4

הפתרון:

8−2x≥0 ⇒ x≤48-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

תחום

f′(x)=−18−2x+1=0 ⇒ 8−2x=1 ⇒ x=3.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-1}{\sqrt{8-2x}}+1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{8-2x} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3.5\end{aligned}

נקודה חשודה

f(3.5)=1+3.5=4.5f(4)=0+4=4\begin{aligned}f(3.5) &= 1+3.5 \\ &= 4.5 \\ \quad f(4) &= 0+4 \\ &= 4\end{aligned}

גבהים

f′(0)=1−18>0  f′(3.9)=1−10.2<0\begin{aligned}f'(0) &= 1-\tfrac{1}{\sqrt{8}}>0 \\ \ \ f'(3.9) &= 1-\tfrac{1}{\sqrt{0.2}}<0\end{aligned}

מ-++ ל-−-

מקסימום (3.5, 4.5)(3.5,\,4.5) ומינימום בקצה (4, 4)(4,\,4). בין שתי הנקודות הפונקציה יורדת רק בחצי יחידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: ל-f(x)=x2+4f(x)=\sqrt{x^2+4} יש מינימום מוחלט בנקודה (0, 2)(0,\,2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=xx2+4f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

הנגזרת

x<0: f′<0x>0: f′>0x<0: \ f'<0 \qquad x>0: \ f'>0

יורדת ואז עולה

f(0)=2f(0)=2

הגובה

הטענה נכונה. זו נקודת הקיצון היחידה, ובכל מקום אחר x2+4>4x^2+4>4, ולכן f(x)>2f(x)>2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=ax−2xf(x)=a\sqrt{x}-2x, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=4x=4. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f′(x)=a2x−2f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{x}}-2

גוזרים

f′(4)=a4−2=0 ⇒ a=8\begin{aligned}f'(4) &= \frac{a}{4}-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 8\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת בקיצון פנימי

התנאי הוא על f′f', לא על ff. מי שכותב f(4)=0f(4)=0 מקבל a=4a=4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מיינו את הפונקציות: זוגיות, ולא זוגיות.

  • זוגית
  • לא זוגית
  • 16−x2\sqrt{16-x^2}
  • x2+1\sqrt{x^2+1}
  • x2+2x+2\sqrt{x^2+2x+2}
  • x+4\sqrt{x+4}
  • xx2+1x\sqrt{x^2+1}
  • x2+x2+5x^2+\sqrt{x^2+5}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16−x2\sqrt{16-x^2} — זוגית · x2+1\sqrt{x^2+1} — זוגית · x2+x2+5x^2+\sqrt{x^2+5} — זוגית · x+4\sqrt{x+4} — לא זוגית · xx2+1x\sqrt{x^2+1} — לא זוגית · x2+2x+2\sqrt{x^2+2x+2} — לא זוגית

הפתרון:

f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)

זוגית: xx מופיע רק בריבוע

x+4 : x≥−4\sqrt{x+4} \ : \ x \geq -4

התחום לא סימטרי

(−x)x2+1=−f(x)(-x)\sqrt{x^2+1}=-f(x)

אי-זוגית, לא זוגית

(−x)2+2(−x)+2=x2−2x+2(-x)^2+2(-x)+2=x^2-2x+2

המחובר 2x2x מחליף סימן

בודקים f(−x)f(-x). x2+2x+2\sqrt{x^2+2x+2} נראית זוגית, אבל המחובר 2x2x מחליף סימן: f(1)=5f(1)=\sqrt{5} ו-f(−1)=1f(-1)=1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הגרף של f′
(16,0)051015202530-101234f′(x)x

בשרטוט הגרף של הנגזרת f′f' של הפונקציה f(x)=8x−xf(x)=8\sqrt{x}-x, בתחום x>0x>0. מה נכון לגבי ff?

  1. ל-ff מקסימום ב-x=1x=1
  2. ל-ff מקסימום ב-x=16x=16
  3. ל-ff מינימום ב-x=16x=16
  4. ff יורדת לכל x>0x>0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ל-ff מקסימום ב-x=16x=16

הפתרון:

f′(x)=4x−1f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}-1

הנגזרת בשרטוט

0<x<16: f′>0x>16: f′<00<x<16: \ f'>0 \qquad x>16: \ f'<0

מעל הציר, ואז מתחת

הנכונה: מקסימום ב-x=16x=16. הגרף של f′f' יורד כל הזמן, אבל ff עצמה עולה כל עוד f′f' מעל הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x27−xf(x)=x\sqrt{27-x}. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

f′(x)=2(27−x)−x227−x=54−3x227−x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(27-x)-x}{2\sqrt{27-x}} \\ &= \frac{54-3x}{2\sqrt{27-x}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

x=18 ;  x<18: f′>0  18<x<27: f′<0\begin{aligned}x &= 18 \ ;\ \ x<18: \ f'>0 \\ \ \ 18<x<27: \ f'<0\end{aligned}

מקסימום

f(18)=18⋅3=54\begin{aligned}f(18) &= 18 \cdot 3 \\ &= 54\end{aligned}

הגובה

מקסימום מוחלט, כי זו הנקודה החשודה הפנימית היחידה והפונקציה עולה לפניה ויורדת אחריה. הקצה (27, 0)(27,\,0) הוא מינימום מקומי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

y = √(9 − x²)
(−3,0)(0,3)(3,0)-4-3-2-101234123xy

בשרטוט הגרף של f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^2}. כמה נקודות קיצון יש לפונקציה?

  1. 22
  2. 33
  3. 11
  4. 00
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 33

הפתרון:

−3≤x≤3-3 \leq x \leq 3

תחום

f′(x)=−x9−x2=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-x}{\sqrt{9-x^2}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

מקסימום (0, 3)(0,\,3)

(−3, 0), (3, 0)(-3,\,0) ,\ (3,\,0)

שני קצוות: מינימום בכל אחד

שלוש. מי שעונה 11 ספר רק את אפסי הנגזרת. שני הקצוות הם נקודות מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — שאלה 5

תרגיל 11

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}. א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום ההגדרה: x≥x \geq ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום ההגדרה: x≥x \geq 4

הפתרון:

3x−12≥03x-12 \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

x≥4x \geq 4

מחלקים ב-33

תחום ההגדרה: x≥4x \geq 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}, שתחום הגדרתה x≥4x \geq 4. א. (2) מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים?

  1. (4, 0)(4,\,0) ו-(0, −12)(0,\,-12)
  2. (4, 0)(4,\,0) בלבד
  3. (−4, 0)(-4,\,0) בלבד
  4. (0, 4)(0,\,4) בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב (4, 0)(4,\,0) בלבד

הפתרון:

3x−12=0 ⇒ x=4\begin{aligned}\sqrt{3x-12} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (4, 0)(4,\,0)

x=0∉{x≥4}x=0 \notin \{x \geq 4\}

אין חיתוך עם ציר ה-yy

הנכונה: (4, 0)(4,\,0) בלבד. f(0)=−12f(0)=\sqrt{-12} לא מוגדר, ולכן הגרף לא מגיע לציר ה-yy. (0, −12)(0,\,-12) שכח את השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}, שתחום הגדרתה x≥4x \geq 4. א. (3) הוכיחו או הפריכו: f′(x)=323x−12f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-12}}, ולכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=323x−12f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-12}}

הנגזרת הפנימית היא 33

x>4: 3x−12>0 ⇒ f′(x)>0x>4: \ \sqrt{3x-12}>0 \ \Rightarrow \ f'(x)>0

מונה חיובי ומכנה חיובי

הטענה נכונה. הנגזרת חיובית לכל x>4x>4, ולכן ff עולה מהקצה x=4x=4 והלאה: בכל תחום הגדרתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}. א. (4) איזה תיאור מתאים לסקיצה של גרף הפונקציה?

  1. מתחיל בנקודה (0, 4)(0,\,4) ועולה ימינה
  2. מתחיל בנקודה (4, 0)(4,\,0) ועולה ימינה, ונעשה פחות תלול
  3. מתחיל בנקודה (4, 0)(4,\,0) ועולה שמאלה
  4. פרבולה שקודקודה בנקודה (4, 0)(4,\,0)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מתחיל בנקודה (4, 0)(4,\,0) ועולה ימינה, ונעשה פחות תלול

הפתרון:

x≥4 f(4)=0\begin{aligned}x \geq 4 \\ \ f(4) &= 0\end{aligned}

הגרף מתחיל על ציר ה-xx ב-(4, 0)(4,\,0) וממשיך ימינה

f′(x)=323x−12f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-12}}

חיובית, והולכת וקטנה כש-xx גדל

הגרף הוא «חצי פרבולה שוכבת»: מתחיל ב-(4, 0)(4,\,0), עולה ימינה, והשיפוע שלו קטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתונה הפונקציה f(x)=3x−12f(x)=\sqrt{3x-12}. ב. הפונקציה gg מקיימת g(x)=f(x+3)g(x)=f(x+3). מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x).

תחום ההגדרה של gg: x≥x \geq ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום ההגדרה של gg: x≥x \geq 1

הפתרון:

g(x)=3(x+3)−12=3x−3\begin{aligned}g(x) &= \sqrt{3(x+3)-12} \\ &= \sqrt{3x-3}\end{aligned}

מציבים x+3x+3 במקום xx

3x−3≥0 ⇒ x≥13x-3 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 1

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

תחום ההגדרה של gg: x≥1x \geq 1. הגרף של gg הוא הגרף של ff מוזז 33 יחידות שמאלה, ולכן גם הקצה זז מ-44 ל-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — שאלה 7

תרגיל 16

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}. א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

  1. כל xx
  2. x≥4x \geq 4
  3. x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4
  4. 2≤x≤42 \leq x \leq 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4

הפתרון:

x2−6x+8≥0x^2-6x+8 \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

(x−2)(x−4)≥0(x-2)(x-4) \geq 0

שורשים: x=2x=2 ו-x=4x=4

x≤2 או x≥4x \leq 2 \ \text{או} \ x \geq 4

פרבולה «שמחה»: אי-שלילית מחוץ לשורשים

הנכונה: x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4. בין 22 ל-44 הביטוי שלילי: f(3)=−1f(3)=\sqrt{-1} לא מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}, שתחום הגדרתה x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4. ב. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

עם ציר ה-xx: x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטן לגדול). עם ציר ה-yy: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר ה-xx: x=x= 2 ו-x=x= 4 (מהקטן לגדול). עם ציר ה-yy: y=y= 2.83

הפתרון:

x2−6x+8=0 ⇒ x=2 x=4\begin{aligned}\sqrt{x^2-6x+8} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 4\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (2, 0)(2,\,0), (4, 0)(4,\,0)

f(0)=8≈2.83f(0)=\sqrt{8}\approx 2.83

x=0x=0 בתחום (0≤20 \leq 2): חיתוך עם ציר ה-yy

שלוש נקודות: (2, 0)(2,\,0), (4, 0)(4,\,0) ו-(0, 8)(0,\,\sqrt{8}).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}, שתחום הגדרתה x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4. ג. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. יורדת ב-x<2x<2, עולה ב-x>4x>4
  2. יורדת ב-x<3x<3, עולה ב-x>3x>3
  3. עולה בכל תחום הגדרתה
  4. עולה ב-x<2x<2, יורדת ב-x>4x>4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א יורדת ב-x<2x<2, עולה ב-x>4x>4

הפתרון:

f′(x)=2x−62x2−6x+8=x−3x2−6x+8\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+8}} \\ &= \frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+8}}\end{aligned}

גוזרים

x<2: x−3<0 ⇒ f′(x)<0x<2: \ x-3<0 \ \Rightarrow \ f'(x)<0

יורדת

x>4: x−3>0 ⇒ f′(x)>0x>4: \ x-3>0 \ \Rightarrow \ f'(x)>0

עולה

הנכונה: יורדת ב-x<2x<2, עולה ב-x>4x>4. f′f' מתאפסת ב-x=3x=3, אבל 33 לא בתחום: אין שם נקודת קיצון, ו-«x<3x<3» כולל קטע שבו הפונקציה לא מוגדרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

נתונה הפונקציה f(x)=x2−6x+8f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}, שתחום הגדרתה x≤2x \leq 2 או x≥4x \geq 4. ה. האם הישר y=x−3y=x-3 חותך את גרף הפונקציה?

  1. לא, כי הישר יורד והגרף עולה
  2. כן, בשתי נקודות
  3. כן, בנקודה (3, 0)(3,\,0)
  4. לא: המשוואה x2−6x+8=x−3\sqrt{x^2-6x+8}=x-3 מובילה ל-8=98=9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא: המשוואה x2−6x+8=x−3\sqrt{x^2-6x+8}=x-3 מובילה ל-8=98=9

הפתרון:

x2−6x+8=x−3\sqrt{x^2-6x+8}=x-3

משווים את שתי הפונקציות

x2−6x+8=x2−6x+9x^2-6x+8=x^2-6x+9

מעלים בריבוע (צריך גם x≥3x \geq 3)

8=98=9

סתירה: אין פתרון

הנכונה: לא. בכל צד של התחום הגרף נשאר מעל הישר: ל-x≤2x \leq 2 הישר שלילי והשורש אי-שלילי, ול-x≥4x \geq 4 הגרף מתקרב לישר בלי לגעת בו. (3, 0)(3,\,0) לא על הגרף: 33 לא בתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — שאלה 8

תרגיל 20

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

____ ≤x≤\leq x \leq ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0 ≤x≤\leq x \leq 10

הפתרון:

10x−x2≥010x-x^2 \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

x(10−x)≥0x(10-x) \geq 0

שורשים: x=0x=0 ו-x=10x=10

0≤x≤100 \leq x \leq 10

פרבולה «עצובה»: אי-שלילית בין השורשים

תחום ההגדרה: 0≤x≤100 \leq x \leq 10, קטע סגור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10. ב. מהם שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xx?

x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטן לגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 2 ו-x=x= 8 (מהקטן לגדול)

הפתרון:

−4+10x−x2=0 ⇒ 10x−x2=4\begin{aligned}-4+\sqrt{10x-x^2} &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{10x-x^2} \\ &= 4\end{aligned}

מבודדים את השורש

10x−x2=16 ⇒ x2−10x+16=0\begin{aligned}10x-x^2 &= 16 \ \Rightarrow \ x^2-10x+16 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

(x−2)(x−8)=0 ⇒ x=2 x=8\begin{aligned}(x-2)(x-8) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 8\end{aligned}

שניהם בתחום ✓

נקודות החיתוך: (2, 0)(2,\,0) ו-(8, 0)(8,\,0). בדיקה: 20−4=4\sqrt{20-4}=4 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10. ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה.

(( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 5 ,, 1 ))

הפתרון:

f′(x)=10−2x210x−x2=5−x10x−x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{10-2x}{2\sqrt{10x-x^2}} \\ &= \frac{5-x}{\sqrt{10x-x^2}}\end{aligned}

גוזרים

f′(x)=0 ⇒ x=5\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

המונה מתאפס

f(5)=−4+25=1\begin{aligned}f(5) &= -4+\sqrt{25} \\ &= 1\end{aligned}

שיעור ה-yy

הנקודה (5, 1)(5,\,1). משמאל לה f′>0f'>0 ומימין f′<0f'<0: זו נקודת מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10, ונקודת המקסימום שלה (5, 1)(5,\,1). ג. מה סוג הנקודות (0, −4)(0,\,-4) ו-(10, −4)(10,\,-4), בקצוות התחום?

  1. אינן נקודות קיצון, כי f′f' לא מתאפסת בהן
  2. שתיהן נקודות מינימום (בקצה התחום)
  3. שתיהן נקודות מקסימום (בקצה התחום)
  4. (0, −4)(0,\,-4) מינימום ו-(10, −4)(10,\,-4) מקסימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שתיהן נקודות מינימום (בקצה התחום)

הפתרון:

f(0)=f(10)=−4\begin{aligned}f(0) &= f(10) \\ &= -4\end{aligned}

הערך בשני הקצוות

0<x<5: f′>00<x<5: \ f'>0

מהקצה x=0x=0 הפונקציה עולה: מינימום

5<x<10: f′<05<x<10: \ f'<0

אל הקצה x=10x=10 הפונקציה יורדת: מינימום

הנכונה: שתיהן מינימום. בקצה התחום לא בודקים f′=0f'=0: משווים לערכים שלידו בתוך התחום. כל ערכי ff גדולים מ-−4-4 או שווים לו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10. ד. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. עולה ב-2<x<52<x<5, יורדת ב-5<x<85<x<8
  2. עולה ב-x<5x<5, יורדת ב-x>5x>5
  3. יורדת ב-0<x<50<x<5, עולה ב-5<x<105<x<10
  4. עולה ב-0<x<50<x<5, יורדת ב-5<x<105<x<10
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד עולה ב-0<x<50<x<5, יורדת ב-5<x<105<x<10

הפתרון:

f′(x)=5−x10x−x2f'(x)=\frac{5-x}{\sqrt{10x-x^2}}

המכנה חיובי בתוך התחום

0<x<5: 5−x>00<x<5: \ 5-x>0

עולה

5<x<10: 5−x<05<x<10: \ 5-x<0

יורדת

הנכונה: עולה ב-0<x<50<x<5, יורדת ב-5<x<105<x<10. «x<5x<5» שוכח שהפונקציה לא מוגדרת ב-x<0x<0. נקודות החיתוך 22 ו-88 לא משנות את הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

נתונה הפונקציה f(x)=−4+10x−x2f(x)=-4+\sqrt{10x-x^2}, שתחום הגדרתה 0≤x≤100 \leq x \leq 10. נקודות הקיצון שלה: (0, −4)(0,\,-4), (5, 1)(5,\,1) ו-(10, −4)(10,\,-4). נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+c (cc פרמטר), שתחום הגדרתה הוא תחום ההגדרה של ff. ו. מהם כל ערכי cc שבעבורם הפונקציה g(x)g(x) חיובית בכל תחום הגדרתה?

c>c> ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: c>c> 4

הפתרון:

min⁡f=−4\min f=-4

הערך הקטן ביותר של ff, בשני הקצוות

min⁡g=−4+c\min g=-4+c

gg היא ff מוזזת cc יחידות למעלה

−4+c>0 ⇒ c>4-4+c>0 \ \Rightarrow \ c>4

גם הנקודה הנמוכה ביותר מעל ציר ה-xx

c>4c>4. ב-c=4c=4 הפונקציה מתאפסת בקצוות, ואפס הוא לא חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת