סדרה 2 — בינוני · דמיון משולשים · כיתה י׳

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: התאמת אותיות מזוויות, שעון חול, מהיקפים לשטח, צ.ז.צ, הגובה ליתר, מלבן חסום, ומה גדל פי $k$ ומה פי $k^2$ .

בכל שאלה כתבו קודם את הדמיון עם סדר האותיות, ורק אז את היחס. יחס שנכתב לפני הדמיון הוא ניחוש.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ : $\angle A = 30^\circ$ ו- $\angle B = 80^\circ$ . במשולש $KLM$ : $\angle K = 70^\circ$ ו- $\angle L = 30^\circ$ . מהו הכתיב הנכון של הדמיון?

המשולשים אינם דומים
$\triangle ABC \sim \triangle KLM$
$\triangle ABC \sim \triangle LMK$
$\triangle ABC \sim \triangle MLK$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\triangle ABC \sim \triangle LMK$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle C &= 70^\circ \\ \quad \angle M &= 80^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

A(30) \leftrightarrow L(30) ,\quad B(80) \leftrightarrow M(80) ,\quad C(70) \leftrightarrow K(70)

זווית מול זווית שווה

\triangle ABC \sim \triangle LMK

משפט דמיון ז.ז

הנכונה: $\triangle ABC \sim \triangle LMK$ . הזווית השלישית בכל משולש מחושבת מהסכום, ורק אז מתאימים. $\triangle KLM$ מציב $30°$ מול $70°$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , $AB=8$ , $DE=12$ ו- $BC=10$ . מצאו את $EF$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{12}{8} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}EF &= 1.5 \cdot 10 \\ &= 15\end{aligned}

$EF \leftrightarrow BC$

$EF=15$ . מי שקיבל $6.67$ חילק ב- $1.5$ במקום לכפול: $DEF$ הוא הגדול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO=5$ , $OB=10$ ו- $CO=4$ . מצאו את $OD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז: קודקודיות ב- $O$ , מתחלפות בין $AC \parallel DB$

\begin{aligned}\frac{OD}{CO} &= \frac{OB}{AO} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}

צלעות מתאימות: $O \leftrightarrow O$ , $D \leftrightarrow C$

\begin{aligned}OD &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}

התשובה

$OD=8$ . $OD$ מתאימה ל- $CO$ , ו- $OB$ ל- $AO$ : שני החלקים של אותו ישר עומדים זה מול זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

היקפי שני משולשים דומים הם $24$ ו- $40$ . שטח המשולש הקטן הוא $27$ . מצאו את שטח המשולש הגדול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{40}{24} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

יחס ההיקפים הוא יחס הדמיון

\begin{aligned}S_2 &= 27 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{25}{9} \\ &= 75\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

$75$ . מהיקפים ל- $k$ ישירות, ואז ריבוע לשטח. מי שכפל ב- $\frac{5}{3}$ בלבד קיבל $45$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ : $AB=4$ , $AC=6$ ו- $\angle A = 40^\circ$ . במשולש $DEF$ : $DE=6$ , $DF=9$ ו- $\angle D = 40^\circ$ . הוכיחו או הפריכו: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{6}{4} \\ &= 1.5 \\ \qquad \frac{DF}{AC} &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

שני יחסים שווים

\angle A = \angle D

הזווית הכלואה בין $AB$ ל- $AC$ , ובין $DE$ ל- $DF$

\triangle ABC \sim \triangle DEF

משפט דמיון צ.ז.צ

הטענה נכונה, לפי צ.ז.צ. הזווית $A$ כלואה בין שתי הצלעות שנבדקו, וזה מה שהמשפט דורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הגובה ליתר $AB$ . נתון $AD=9$ ו- $AC=12$ . מצאו את $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ACB \\ &= 90^\circ \\ \quad \angle A \ \text{משותפת}\end{aligned}

גובה; זווית ישרה נתונה

\triangle ACD \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז

\begin{aligned}\frac{AC}{AB} &= \frac{AD}{AC} \ \Rightarrow \ \frac{12}{AB} \\ &= \frac{9}{12}\end{aligned}

צלעות מתאימות: $C \leftrightarrow B$ , $D \leftrightarrow C$

\begin{aligned}AB &= \frac{144}{9} \\ &= 16\end{aligned}

כפל בהצלבה

$AB=16$ . הסדר הוא המלכודת: במשולש הקטן $ACD$ הזווית הישרה ב- $D$ , ובגדול ב- $C$ , ולכן $D \leftrightarrow C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=4$ , $DB=8$ ו- $DE=6$ . מהו $BC$ ?

$24$
$12$
$9$
$18$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $18$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 4 + 8 \\ &= 12\end{aligned}

השלם

\begin{aligned}\frac{BC}{DE} &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ לפי ז.ז; חלק מול שלם

\begin{aligned}BC &= 3 \cdot 6 \\ &= 18\end{aligned}

התשובה

הנכונה: $18$ . $12$ מתקבל מהיחס $\frac{DB}{AD} = 2$ , חלק מול חלק. $DE$ מושווית ל- $BC$ , ולכן $AD$ מושווית ל- $AB$ כולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

CH

הגובה לצלע

AB

, ו-

FG

הגובה לצלע

DE

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , $AB=6$ ו- $DE=8$ . הגובה לצלע $AB$ במשולש $ABC$ הוא $3$ . מצאו את הגובה לצלע $DE$ במשולש $DEF$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}h_2 &= \frac{4}{3} \cdot 3 \\ &= 4\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס $k$

$4$ . גובה הוא אורך, פי $k$ . מי שכפל ב- $k^2 = \frac{16}{9}$ קיבל $\frac{16}{3}$ , וזה יחס של שטחים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ , $BC=15$ והגובה $AH=10$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), וגובהו $KN=4$ . מצאו את $KL$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $KL \parallel BC$

\begin{aligned}AP &= 10 - 4 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה של המשולש הקטן

\begin{aligned}\frac{KL}{15} &= \frac{6}{10} \ \Rightarrow \ KL \\ &= 9\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון

$KL=9$ . הגובה המתאים ל- $AH$ הוא $AP = 10 - 4$ , לא $4$ . מי שכתב $\frac{KL}{15} = \frac{4}{10}$ קיבל $6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ביחס דמיון $k$ . מיינו: איזה גודל של $DEF$ גדול פי $k$ מהגודל המתאים ב- $ABC$ , ואיזה פי $k^2$ ?

פי $k$
פי $k^2$

גובה
היקף
חוצה זווית
צלע
שטח
תיכון

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: צלע — פי $k$ · היקף — פי $k$ · גובה — פי $k$ · תיכון — פי $k$ · חוצה זווית — פי $k$ · שטח — פי $k^2$

הפתרון:

\text{אורך} \ \rightarrow \ k

צלע, היקף, גובה, תיכון, חוצה זווית

\text{שטח} \ \rightarrow \ k^2

אורך כפול אורך

חמישה אורכים ושטח אחד. כל מה שנמדד בסנטימטרים גדל פי $k$ ; רק מה שנמדד בסמ״ר גדל פי $k^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev