סדרה 3 — מאתגר · דמיון משולשים · כיתה י׳

סדרה 3 דורשת לבחור את הכלי בעצמכם: שטח טרפז דרך $k^2$ , הגובה ליתר, אלכסוני טרפז, שטחים והיקפים יחד, זווית שווה לזווית של המשולש, וסדר שלבים של פתרון שלם.

כשאין מקבילים בשרטוט, חפשו זווית משותפת ועוד זווית שווה אחת. וכשנתונים שטחים, השורש הוא הצעד הראשון.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=6$ , $DB=3$ , ושטח המשולש $ABC$ הוא $45$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

חלק מול שלם

\begin{aligned}S_{ADE} &= 45 \cdot \frac{4}{9} \\ &= 20\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 45 - 20 \\ &= 25\end{aligned}

מה שנשאר

$25$ . שתי מלכודות: $k = \frac{6}{3} = 2$ (חלק מול חלק, וגם הפוך), ושטח פי $k$ במקום $k^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הגובה ליתר $AB$ . הוכיחו: $\triangle ACD \sim \triangle CBD$ .

$\angle ACB = 90^\circ$
$CD \perp AB$

$\triangle ACD \sim \triangle CBD$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle ADC = \angle CDB = 90^\circ$ — $CD$ גובה ליתר
$\angle ACD = 90^\circ - \angle A$ — סכום הזוויות במשולש $ACD$ הוא $180°$
$\angle CBD = 90^\circ - \angle A$ — סכום הזוויות במשולש $ABC$ הוא $180°$ , ו- $\angle ACB = 90^\circ$
$\angle ACD = \angle CBD$ — שתיהן שוות ל- $90^\circ - \angle A$
$\triangle ACD \sim \triangle CBD$ — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle CDB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

גובה

\begin{aligned}\angle ACD &= \angle CBD \\ &= 90^\circ - \angle A\end{aligned}

משלימות ל- $90°$ עם אותה זווית

\triangle ACD \sim \triangle CBD

ז.ז: $A \leftrightarrow C$ , $C \leftrightarrow B$ , $D \leftrightarrow D$

כאן אין זווית משותפת בין שני המשולשים הקטנים, ולכן מוצאים זווית שווה דרך «שתיהן משלימות את $\angle A$ ל- $90°$ ». המלכודת: לכתוב $\triangle ACD \sim \triangle BCD$ — $C$ הקטן מתאים ל- $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=6$ , $DC=9$ ו- $AO=4$ . מצאו את $OC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}\angle AOB &= \angle COD \\ \quad \angle BAO &= \angle DCO\end{aligned}

קודקודיות; מתחלפות בין $AB \parallel DC$

\triangle AOB \sim \triangle COD

משפט דמיון ז.ז

\begin{aligned}\frac{OC}{AO} &= \frac{DC}{AB} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

צלעות מתאימות: $A \leftrightarrow C$ , $B \leftrightarrow D$

\begin{aligned}OC &= 1.5 \cdot 4 \\ &= 6\end{aligned}

התשובה

$OC=6$ . אלכסוני הטרפז יוצרים שעון חול, והבסיסים הם הצלעות המקבילות שלו. המלכודת: לחשוב שהאלכסונים חוצים זה את זה — זה נכון רק במקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שטחי שני משולשים דומים הם $16$ ו- $36$ , וסכום ההיקפים שלהם הוא $40$ . מצאו את היקף המשולש הגדול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \sqrt{\frac{36}{16}} \\ &= \frac{6}{4} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

מיחס שטחים ליחס דמיון: שורש

\begin{aligned}P_1 + \frac{3}{2} P_1 &= 40 \ \Rightarrow \ \frac{5}{2} P_1 \\ &= 40 \ \Rightarrow \ P_1 \\ &= 16\end{aligned}

יחס ההיקפים $k$ ; מסמנים את היקף הקטן

\begin{aligned}P_2 &= 40 - 16 \\ &= 24\end{aligned}

היקף הגדול

$24$ . בדיקה: $\frac{24}{16} = \frac{3}{2}$ ✓. מי שדילג על השורש כתב $P_1 + \frac{36}{16}P_1 = 40$ וקיבל היקפים לא שלמים — סימן לטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle C$ . איזו טענה נכונה?

$\triangle ABD \sim \triangle ACD$
$\triangle BAD \sim \triangle BCA$
אין משולשים דומים בשרטוט
$\triangle BAD \sim \triangle BAC$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\triangle BAD \sim \triangle BCA$

הפתרון:

\angle B = \angle B

זווית משותפת

\angle BAD = \angle BCA

נתון

\triangle BAD \sim \triangle BCA

משפט דמיון ז.ז: $B \leftrightarrow B$ , $A \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow A$

הנכונה: $\triangle BAD \sim \triangle BCA$ . הזווית $B$ משותפת, והזווית הנתונה מציבה את $A$ הקטן מול $C$ הגדול. $\triangle BAC$ מציב את $A$ מול $A$ , וזה שגוי: הזוויות $\angle BAD$ ו- $\angle BAC$ אינן שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $\angle BAD = \angle C$ . נתון $AB=6$ ו- $BC=9$ . מצאו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\triangle BAD \sim \triangle BCA

ז.ז: $\angle B$ משותפת, $\angle BAD = \angle C$ נתון

\frac{BD}{BA} = \frac{BA}{BC}

צלעות מתאימות: $BD \leftrightarrow BA$ , $BA \leftrightarrow BC$

\begin{aligned}BD &= \frac{6^2}{9} \\ &= 4\end{aligned}

כפל בהצלבה

$BD=4$ . הצלע $AB$ מופיעה בשני המשולשים, פעם כצלע של הקטן ופעם של הגדול, ולכן היא מופיעה פעמיים ביחס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO=6$ , $OB=4$ , ושטח המשולש $AOC$ הוא $18$ . מצאו את שטח המשולש $BOD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז: קודקודיות ב- $O$ , מתחלפות בין $AC \parallel DB$

\begin{aligned}k &= \frac{OB}{AO} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון, קטן חלקי גדול

\begin{aligned}S_{BOD} &= 18 \cdot \frac{4}{9} \\ &= 8\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

$8$ . $BOD$ הוא הקטן, ולכן $k<1$ והשטח קטן. מי שכפל ב- $\frac{2}{3}$ בלי ריבוע קיבל $12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=4$ , $DB=8$ ו- $BC=15$ . סדרו את שלבי הפתרון שמוצא את $DE$ .

$\angle A$ משותפת, ו- $\angle ADE = \angle ABC$ זוויות מתאימות בין מקבילים
$\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{12}$
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ לפי ז.ז
$AB = 4 + 8 = 12$
$DE = 15 \cdot \dfrac{1}{3} = 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\angle A$ משותפת, ו- $\angle ADE = \angle ABC$ זוויות מתאימות בין מקבילים · $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ לפי ז.ז · $AB = 4 + 8 = 12$ · $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{12}$ · $DE = 15 \cdot \dfrac{1}{3} = 5$

הפתרון:

\text{זוויות} \ \rightarrow \ \text{דמיון} \ \rightarrow \ \text{יחס} \ \rightarrow \ \text{חישוב}

הסדר הקבוע של כל שאלת דמיון

קודם הזוויות, אחר כך הדמיון עם סדר האותיות, ורק אז היחס. יחס שנכתב לפני הדמיון הוא ניחוש, גם כשהוא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ , $BC=24$ והגובה $AH=16$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), ו- $KL=15$ . מצאו את גובה המלבן $KN$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $KL \parallel BC$

\begin{aligned}\frac{AP}{16} &= \frac{15}{24} \ \Rightarrow \ AP \\ &= 10\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון

\begin{aligned}KN &= 16 - 10 \\ &= 6\end{aligned}

גובה המלבן: $AH$ פחות $AP$

$KN=6$ . הפעם הצלע נתונה ומחפשים גובה: היחס נותן את $AP$ , ואז מחסרים. מי שענה $10$ עצר ב- $AP$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

צלעות המשולש $ABC$ הן $6$ , $8$ ו- $10$ . משולש $DEF$ דומה לו, והיקפו $60$ . השלימו.

הצלע הקצרה ביותר ב- $DEF$ : ____ , הצלע הארוכה ביותר: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הצלע הקצרה ביותר ב- $DEF$ : 15 , הצלע הארוכה ביותר: 25

הפתרון:

\begin{aligned}P_{ABC} &= 6 + 8 + 10 \\ &= 24\end{aligned}

היקף הקטן

\begin{aligned}k &= \frac{60}{24} \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס ההיקפים הוא יחס הדמיון

\begin{aligned}6 \cdot 2.5 &= 15 \\ \quad 10 \cdot 2.5 &= 25\end{aligned}

קצרה מול קצרה, ארוכה מול ארוכה

$15$ ו- $25$ . בדיקה: $15 + 20 + 25 = 60$ ✓. ההיקף נותן את $k$ ישירות, בלי שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev