סדרה 4 — מתקדם · דמיון משולשים · כיתה י׳

סדרה 4 מוסיפה נעלם: צלע שמסומנת $x$ , מלבן שהוא ריבוע, שאלה של שני סעיפים על צל, ואלכסון שלם שצריך לחלק ביחס. כל שאלה היא שניים או שלושה צעדים, וכל צעד מנומק.

כשיש $x$ , כתבו את היחס בדיוק כמו בלי $x$ , ורק אז כפלו בהצלבה. הנעלם לא משנה את המשפט, רק את החשבון.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=x$ , $DB=4$ , $AE=6$ ו- $EC=8$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{AE}{AC} \ \Rightarrow \ \frac{x}{x+4} \\ &= \frac{6}{14}\end{aligned}

חלק מול שלם: $AB = x + 4$ , $AC = 14$

\begin{aligned}14x &= 6x + 24 \ \Rightarrow \ 8x \\ &= 24 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

כפל בהצלבה

$x=3$ . בדיקה: $\frac{3}{7} = \frac{6}{14}$ ✓. מי שכתב $\frac{x}{4} = \frac{6}{8}$ (חלק מול חלק) קיבל גם $3$ , אבל היחס הזה הוא תוצאה של הדמיון ולא צלעות מתאימות — בבגרות כותבים חלק מול שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=4$ , $DC=10$ ו- $BD=21$ . מצאו את $BO$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\triangle AOB \sim \triangle COD

ז.ז: $\angle AOB = \angle COD$ קודקודיות, $\angle ABO = \angle CDO$ מתחלפות

\begin{aligned}\frac{BO}{OD} &= \frac{AB}{DC} \\ &= \frac{4}{10}\end{aligned}

צלעות מתאימות: $B \leftrightarrow D$

\begin{aligned}BO &= 21 \cdot \frac{4}{4 + 10} \\ &= 6\end{aligned}

$BD$ מתחלק ל- $4 + 10 = 14$ חלקים, ו- $BO$ הוא $4$ מהם

$BO=6$ , ו- $OD=15$ . הנתון הוא האלכסון השלם, ולכן מחלקים אותו ביחס $4:10$ . מי שכתב $BO = 21 \cdot \frac{4}{10}$ קיבל $8.4$ , ואז $OD = 12.6$ ו- $\frac{8.4}{12.6} = \frac{2}{3} \neq \frac{4}{10}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

AB

העמוד,

BC

הצל שלו;

DE

האדם,

EF

הצל שלו.

אדם שגובהו $1.8$ מטר מטיל צל של $2.4$ מטר. באותו רגע עמוד מטיל צל של $8$ מטר. א. מצאו את גובה העמוד, במטרים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\triangle ABC \sim \triangle DEF

ז.ז: זוויות ישרות, וזוויות מתאימות בין קרני שמש מקבילות

\begin{aligned}\frac{AB}{1.8} &= \frac{8}{2.4} \ \Rightarrow \ AB \\ &= 1.8 \cdot \frac{10}{3} \\ &= 6\end{aligned}

גובה מול גובה, צל מול צל

$6$ מטר. $\frac{8}{2.4} = \frac{10}{3}$ : הצל של העמוד גדול פי $\frac{10}{3}$ , ולכן גם הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

AB

העמוד,

BC

הצל שלו,

AC

המרחק המבוקש.

אדם שגובהו $1.8$ מטר מטיל צל של $2.4$ מטר. באותו רגע עמוד מטיל צל של $8$ מטר. ב. מצאו את המרחק מראש העמוד עד קצה הצל שלו, במטרים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 6 \\ \quad BC &= 8\end{aligned}

מסעיף א; הצל נתון

\begin{aligned}\angle B &= 90^\circ \ \Rightarrow \ AC^2 \\ &= 6^2 + 8^2 \\ &= 100\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$

AC = 10

התשובה

$10$ מטר. סעיף ב משתמש בתוצאה של סעיף א ובפיתגורס. משולש $6$ - $8$ - $10$ הוא הגדלה פי $2$ של $3$ - $4$ - $5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ביחס דמיון $\dfrac{DE}{AB} = 2$ . היקף המשולש $ABC$ הוא $15$ , שטחו $9$ , והגובה מהקודקוד $C$ הוא $3$ . השלימו לגבי $DEF$ .

היקף: ____ , שטח: ____ , הגובה מ- $F$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: היקף: 30 , שטח: 36 , הגובה מ- $F$ : 6

הפתרון:

\begin{aligned}P_2 &= 2 \cdot 15 \\ &= 30\end{aligned}

יחס ההיקפים $k$

\begin{aligned}S_2 &= 2^2 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}h_F &= 2 \cdot 3 \\ &= 6\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס $k$

$30$ , $36$ , $6$ . שלושה גדלים, ורק אחד מהם מקבל ריבוע. מי שכתב $18$ לשטח שכח את הריבוע; מי שכתב $12$ לגובה הוסיף ריבוע שלא במקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ , $BC=12$ והגובה $AH=6$ . חסום בו ריבוע $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ). מצאו את צלע הריבוע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}KL &= KN \\ &= x\end{aligned}

צלע הריבוע

\triangle AKL \sim \triangle ABC \ \Rightarrow \ \frac{x}{12} = \frac{6 - x}{6}

ז.ז; גבהים מתאימים: $AP = 6 - x$

\begin{aligned}6x &= 72 - 12x \ \Rightarrow \ 18x \\ &= 72 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

כפל בהצלבה

$x=4$ . בדיקה: $\frac{4}{12} = \frac{2}{6}$ ✓. ריבוע פירושו שהצלע והגובה הם אותו נעלם, וזה מה שנותן משוואה אחת בנעלם אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD=6$ , $DB=4$ , $AE=9$ ו- $EC=5$ . הוכיחו או הפריכו: $DE \parallel BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{6}{10} \\ &= \frac{3}{5} \\ \qquad \frac{AE}{AC} &= \frac{9}{14}\end{aligned}

חלק מול שלם

\begin{aligned}\frac{3}{5} &= \frac{42}{70} \neq \frac{45}{70} \\ &= \frac{9}{14}\end{aligned}

היחסים שונים

\triangle ADE \nsim \triangle ABC

צ.ז.צ לא חל, ואילו $DE \parallel BC$ היה גורר $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$

הטענה לא נכונה. אילו $DE \parallel BC$ , המשולשים היו דומים והיחסים שווים. הם לא שווים, ולכן אין הקבלה. המלכודת: $\frac{6}{4}$ מול $\frac{9}{5}$ — גם שם לא שווה, אבל הנימוק הנכון הוא חלק מול שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AB=15$ , $AC=4$ ו- $BD=6$ . מצאו את $AO$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז: קודקודיות ב- $O$ , מתחלפות בין $AC \parallel DB$

\begin{aligned}\frac{AO}{OB} &= \frac{AC}{BD} \\ &= \frac{4}{6}\end{aligned}

צלעות מתאימות: $A \leftrightarrow B$ , $C \leftrightarrow D$

\begin{aligned}AO &= 15 \cdot \frac{4}{4 + 6} \\ &= 6\end{aligned}

$AB$ מתחלק ביחס $4:6$ ; $AO$ הוא $4$ מתוך $10$ חלקים

$AO=6$ ו- $OB=9$ . בדיקה: $\frac{6}{9} = \frac{4}{6}$ ✓. הנתון הוא הקטע השלם, ולכן חלוקה ביחס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AC$ , ו- $\angle ABD = \angle C$ . הוכיחו: $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ .

$D$ על $AC$
$\angle ABD = \angle ACB$

$\triangle ABD \sim \triangle ACB$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BAD = \angle CAB$ — זווית משותפת לשני המשולשים
$\angle ABD = \angle ACB$ — נתון
$\triangle ABD \sim \triangle ACB$ — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

\begin{aligned}\angle A \ \text{משותפת} \\ \quad \angle ABD &= \angle ACB\end{aligned}

משותפת; נתון

\triangle ABD \sim \triangle ACB

ז.ז: $A \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow B$

הזווית המשותפת היא $A$ , ולכן היא ראשונה בשני הכתיבים. המלכודת: $\triangle ABD \sim \triangle ABC$ — מציב את $B$ מול $B$ , אבל $\angle ABD \neq \angle ABC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AC$ , ו- $\angle ABD = \angle C$ . נתון $AB=8$ ו- $AC=16$ . מצאו את $AD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\triangle ABD \sim \triangle ACB

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ABD = \angle C$ נתון

\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC}

צלעות מתאימות: $AD \leftrightarrow AB$ , $AB \leftrightarrow AC$

\begin{aligned}AD &= \frac{8^2}{16} \\ &= 4\end{aligned}

כפל בהצלבה

$AD=4$ . $AB$ מופיעה פעמיים: כצלע של $ABD$ מול $AC$ , וכצלע של $ACB$ מול $AD$ . מי שכתב $\frac{AD}{AC} = \frac{AB}{AB}$ הציב את $D$ מול $C$ במקום מול $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev