סדרה 5 — לקראת הבגרות · דמיון משולשים · כיתה י׳

ארבע שאלות בנוסח שאלון 471, כל אחת מחולקת לסעיפים — סעיף אחד לכל צעד, כמו בבחינה: אלכסוני טרפז עם שטח, מקבילה לצלע עם שלוש שאלות, מלבן חסום עם $x$ , וטרפז שמוכיחים ואז מודדים.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: הזוויות עם נימוק, הדמיון עם סדר האותיות, היחס עם «צלעות מתאימות», ורק אז המספר. סעיף שמשתמש בסעיף קודם אומר זאת במפורש.

תרגילים

תרגיל 1

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=8$ , $DC=12$ , $AO=6$ , ושטח המשולש $AOB$ הוא $24$ . א. הוכיחו: $\triangle AOB \sim \triangle COD$ .

$AB \parallel DC$
$O$ נקודת החיתוך של האלכסונים $AC$ ו- $BD$

$\triangle AOB \sim \triangle COD$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle AOB = \angle COD$ — זוויות קודקודיות שוות
$\angle BAO = \angle DCO$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות ( $AB \parallel DC$ )
$\triangle AOB \sim \triangle COD$ — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

\begin{aligned}\angle AOB &= \angle COD \\ \quad \angle BAO &= \angle DCO\end{aligned}

קודקודיות; מתחלפות

\triangle AOB \sim \triangle COD

ז.ז: $A \leftrightarrow C$ , $O \leftrightarrow O$ , $B \leftrightarrow D$

האלכסונים של טרפז יוצרים שעון חול, והבסיסים הם המקבילים. המלכודת: $\triangle AOB \sim \triangle DOC$ — $A$ מתאימה ל- $C$ (על אותו אלכסון $AC$ ), לא ל- $D$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=8$ , $DC=12$ , $AO=6$ , ושטח המשולש $AOB$ הוא $24$ . ב. מצאו את $OC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\triangle AOB \sim \triangle COD

סעיף א

\begin{aligned}\frac{OC}{AO} &= \frac{DC}{AB} \\ &= \frac{12}{8} \\ &= 1.5\end{aligned}

צלעות מתאימות: $O \leftrightarrow O$ , $C \leftrightarrow A$ ; $DC \leftrightarrow AB$

\begin{aligned}OC &= 1.5 \cdot 6 \\ &= 9\end{aligned}

התשובה

$OC=9$ . $OC$ מתאימה ל- $AO$ , שני החלקים של האלכסון $AC$ . מי שכתב $\frac{OC}{AO} = \frac{8}{12}$ הפך את היחס וקיבל $4$ , קטן מ- $AO$ אף ש- $DC > AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=8$ , $DC=12$ , $AO=6$ , ושטח המשולש $AOB$ הוא $24$ . ג. מצאו את שטח המשולש $COD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{DC}{AB} \\ &= \frac{12}{8} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון, גדול חלקי קטן

\begin{aligned}\frac{S_{COD}}{S_{AOB}} &= k^2 \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

יחס השטחים

\begin{aligned}S_{COD} &= 24 \cdot \frac{9}{4} \\ &= 54\end{aligned}

התשובה

$54$ . השטח פי $k^2 = \frac{9}{4}$ , לא פי $\frac{3}{2}$ . מי שקיבל $36$ שכח את הריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD=6$ , $DB=2$ , $AE=9$ ו- $DE=12$ . א. הוכיחו $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ , ומצאו את $BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}\angle A \ \text{משותפת} \\ \quad \angle ADE &= \angle ABC\end{aligned}

זווית משותפת; זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים ( $DE \parallel BC$ )

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז

\begin{aligned}\frac{BC}{DE} &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

צלעות מתאימות; $AB = 6 + 2 = 8$ , חלק מול שלם

\begin{aligned}BC &= 12 \cdot \frac{4}{3} \\ &= 16\end{aligned}

התשובה

$BC=16$ . $k = \frac{8}{6}$ ולא $\frac{2}{6}$ : $AB$ השלם מול $AD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD=6$ , $DB=2$ , $AE=9$ ו- $DE=12$ . ב. מצאו את $EC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{AC}{AE} &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

צלעות מתאימות, מסעיף א

\begin{aligned}AC &= 9 \cdot \frac{4}{3} \\ &= 12\end{aligned}

השלם

\begin{aligned}EC &= 12 - 9 \\ &= 3\end{aligned}

החלק שנשאר

$EC=3$ . $EC$ אינו צלע של אף אחד מהמשולשים, ולכן קודם $AC$ מהיחס, ואז חיסור. בדיקה: $\frac{AE}{EC} = \frac{9}{3} = \frac{AD}{DB}$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD=6$ , $DB=2$ , $AE=9$ ו- $DE=12$ . ג. שטח המשולש $ABC$ הוא $64$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{6}{8} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

יחס הדמיון, קטן חלקי גדול

\begin{aligned}S_{ADE} &= 64 \cdot \frac{9}{16} \\ &= 36\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 64 - 36 \\ &= 28\end{aligned}

הטרפז הוא מה שנשאר

$28$ . שלושה סעיפים, שלושה שימושים באותו דמיון: צלע, צלע שלמה ואז חיסור, ושטח דרך $k^2$ . מי שכתב $64 \cdot \frac{3}{4} = 48$ שכח את הריבוע וקיבל טרפז של $16$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ , $BC=24$ והגובה $AH=16$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), וגובהו $KN=x$ . א. הביעו את $KL$ באמצעות $x$ .

$KL = 24 - 1.5x$
$KL = 1.5x$
$KL = 24 - x$
$KL = 16 - x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $KL = 24 - 1.5x$

הפתרון:

\triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $KL \parallel BC$

\frac{KL}{24} = \frac{16 - x}{16}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון: $AP = 16 - x$

\begin{aligned}KL &= \frac{24(16 - x)}{16} \\ &= 1.5(16 - x) \\ &= 24 - 1.5x\end{aligned}

מפשטים

הנכונה: $KL = 24 - 1.5x$ . בדיקה: $x=0$ נותן $KL=24$ (המלבן שטוח על הבסיס), $x=16$ נותן $0$ (הקודקוד). « $24 - x$ » מניח שהצלע יורדת באותו קצב שהגובה עולה, וזה נכון רק כש- $BC = AH$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ , $BC=24$ והגובה $AH=16$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), וגובהו $KN=x$ . ב. מצאו את $x$ שעבורו המלבן הוא ריבוע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.6

הפתרון:

\begin{aligned}KL &= KN \ \Rightarrow \ 24 - 1.5x \\ &= x\end{aligned}

ריבוע: הצלע שווה לגובה; הביטוי מסעיף א

\begin{aligned}24 &= 2.5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 9.6\end{aligned}

פותרים

$x=9.6$ . בדיקה: $KL = 24 - 14.4 = 9.6$ ✓. סעיף ב הוא משוואה אחת בנעלם שסעיף א הכין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ , $AB=16$ , $AC=20$ ו- $BC=24$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=4$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=5$ . א. הוכיחו: $DE \parallel BC$ .

$AB=16$ , $AC=20$
$AD=4$ , $AE=5$

$DE \parallel BC$

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4}$ — חישוב: $\frac{4}{16} = \frac{5}{20}$
$\angle DAE = \angle BAC$ — זווית משותפת לשני המשולשים
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ — משפט דמיון צ.ז.צ: שני יחסים שווים והזווית הכלואה ביניהם שווה
$\angle ADE = \angle ABC$ — זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות
$DE \parallel BC$ — אם זוויות מתאימות שוות, הישרים מקבילים

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{4}{16} &= \frac{5}{20} \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad \angle A \ \text{משותפת}\end{aligned}

צ.ז.צ

\triangle ADE \sim \triangle ABC \ \Rightarrow \ \angle ADE = \angle ABC

זוויות מתאימות במשולשים דומים

DE \parallel BC

זוויות מתאימות שוות

ההקבלה היא המסקנה, ולכן המשפט הפותח הוא צ.ז.צ ולא ז.ז. מי שכותב «מתאימות בין מקבילים» בצעד השני משתמש במה שצריך להוכיח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ , $AB=16$ , $AC=20$ ו- $BC=24$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=4$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=5$ . ב. מצאו את היקף הטרפז $DBCE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 57

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ DE \\ &= 6\end{aligned}

צלעות מתאימות במשולשים הדומים מסעיף א

\begin{aligned}DB &= 16 - 4 \\ &= 12 \\ \quad CE &= 20 - 5 \\ &= 15\end{aligned}

השוקיים של הטרפז: החלקים שנשארו

\begin{aligned}P &= 12 + 24 + 15 + 6 \\ &= 57\end{aligned}

שתי שוקיים ושני בסיסים

$57$ . המלכודת: להכניס להיקף את $AB$ ו- $AC$ השלמות ( $16 + 24 + 20 + 6 = 66$ ). השוקיים של הטרפז הן $DB$ ו- $CE$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev