ייצוגים גרפיים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלו 200 תלמידים איך הם מגיעים לבית הספר. אפשר לכתוב טבלה, אבל ציור עונה מהר יותר על השאלה «איזה חלק מהתלמידים הולך ברגל?». הסתכלו על הדיאגרמה לפני כל כלל.

איך מגיעים לבית הספר (200 תלמידים)
45%30%15%10%
  • הליכה45%
  • אוטובוס30%
  • רכב פרטי15%
  • אופניים10%
כל העיגול הוא 100%100\% מהתלמידים. גזרה של 45%45\% היא קצת פחות מחצי עיגול.

כמה תלמידים מגיעים באוטובוס? ומהי זווית הגזרה של האוטובוס?

להציג את התשובה והפתרון

30%30\% מ-200 הם 60 תלמידים. הזווית: 0.3⋅360∘=108∘0.3 \cdot 360^{\circ}=108^{\circ}. כל אחוז בדיאגרמת עיגול שווה 3.6∘3.6^{\circ}.

דיאגרמת עיגול

α=fn⋅360∘\alpha = \frac{f}{n} \cdot 360^{\circ}

זווית הגזרה: השכיחות היחסית כפול 360∘360^{\circ}

דיאגרמת עיגול מראה חלקים של שלם. היא מתאימה למשתנה איכותי עם מעט ערכים. היא לא מתאימה כשיש הרבה ערכים, וגם לא כשרוצים להשוות גדלים מדויקים: קשה להבחין בעין בין 28%28\% ל-32%32\%.

דיאגרמת עמודות, פשוטה וכפולה

בדיאגרמת עמודות כל ערך מקבל עמודה, וגובה העמודה הוא השכיחות. בין העמודות יש רווח: הערכים נפרדים. דיאגרמת עמודות כפולה מציירת שתי קבוצות על אותם צירים, וכך אפשר להשוות ביניהן ערך מול ערך.

ציוני המבחן בשתי כיתות
6789100246810ציוןמספר תלמידים
  • י1
  • י2

לפי הדיאגרמה: באיזו כיתה יותר תלמידים קיבלו 9 או 10? בכמה?

להציג את התשובה והפתרון

ב-י2: 8+4=128+4=12 תלמידים, לעומת 6+2=86+2=8 ב-י1. 4 תלמידים יותר. בשתי הכיתות יש 25 תלמידים, ולכן אפשר להשוות מספרים ישירות.

היסטוגרמה

כשהמשתנה רציף והנתונים מקובצים במחלקות ברוחב שווה, מציירים היסטוגרמה. כל מחלקה היא עמודה שרוחבה רוחב המחלקה, וגובהה השכיחות. אין רווח בין העמודות: המחלקה 160−170160-170 מתחילה בדיוק איפה ש-150−160150-160 נגמרת.

הגובה של 40 תלמידים
412168150160170180190024681012141618גובה (ס״מ)מספר תלמידים

גרף

כשהמשתנה משתנה לאורך זמן, מחברים את הנקודות בקו. בגרף קוראים מגמה: איפה הוא עולה, איפה הוא יורד, ואיפה נמצא המקסימום.

מספר הנוסעים שעלו לקו 5 בכל שעה
6789101112020406080100120140160180200שעהמספר נוסעים

לפי הגרף: באיזו שעה עלו הכי הרבה נוסעים? ובין אילו שעות מספר הנוסעים ירד כל הזמן?

להציג את התשובה והפתרון

המקסימום בשעה 8: 180 נוסעים. בין 8 ל-11 הגרף יורד כל הזמן: 180, 110, 70, 50180,\ 110,\ 70,\ 50. בשעה 12 הוא עולה שוב.

איזה ייצוג לבחור?

?\text{?}

משתנה איכותי, חלקים של שלם: דיאגרמת עיגול או עמודות

0, 1, 2, …0,\ 1,\ 2,\ \dots

משתנה כמותי בדיד: דיאגרמת עמודות, עם רווחים

150−160150-160

משתנה כמותי רציף במחלקות: היסטוגרמה, בלי רווחים

tt

שינוי לאורך זמן: גרף

A, BA,\ B

השוואה בין שתי קבוצות: עמודות כפולות

מעמודות לעיגול

בסקר של 80 משפחות על חיית המחמד בבית: 36 כלב, 24 חתול, 12 דג, 8 ציפור. חשבו את זווית הגזרה של כל חיה.

3680⋅360∘=162∘\frac{36}{80} \cdot 360^{\circ}=162^{\circ}

כלב

2480⋅360∘=108∘\frac{24}{80} \cdot 360^{\circ}=108^{\circ}

חתול

1280⋅360∘=54∘\frac{12}{80} \cdot 360^{\circ}=54^{\circ}

דג

880⋅360∘=36∘\frac{8}{80} \cdot 360^{\circ}=36^{\circ}

ציפור

162+108+54+36=360162+108+54+36=360

בדיקה: הזוויות מסתכמות ב-360∘360^{\circ}

בכל שאלה של «בחרו ייצוג» התשובה מתחילה בסוג המשתנה, ואחר כך בשאלה: חלק מהשלם, השוואה, או מגמה בזמן. נימוק טוב מזכיר את שניהם.

שלוש טעויות בקריאת דיאגרמות.

α=30\alpha = 30
α=0.3⋅360∘=108∘\begin{aligned}\alpha &= 0.3 \cdot 360^{\circ} \\ &= 108^{\circ}\end{aligned}

אחוז אינו מעלות. 30%30\% מהעיגול הם 108∘108^{\circ}.

160−170 ⇒ 12160-170 \ \Rightarrow \ 12

בהיסטוגרמה הגובה של העמודה הוא השכיחות, והרוחב הוא המחלקה. המספר 12 אומר כמה תלמידים בגובה 160160 עד 170170, לא אורך בסנטימטרים.

820 ? 1240\frac{8}{20} \ ? \ \frac{12}{40}
40%>30%40\% > 30\%

בעמודות כפולות משווים מספרים רק כששתי הקבוצות באותו גודל. אם בכיתה אחת 20 תלמידים ובשנייה 40, משווים אחוזים: 8 מתוך 20 הם יותר מ-12 מתוך 40.

תרגילים

תרגיל 1

024685081624324מספר שעריםמספר משחקים

בדיאגרמה: מספר השערים שהבקיעה קבוצת כדורגל בכל אחד מהמשחקים שלה בעונה. בכמה משחקים הבקיעה הקבוצה לפחות 2 שערים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

6+4+2=126+4+2=12

העמודות של 22, 33 ו-44

«לפחות 2» כולל את 22. מי שעונה 66 קרא רק את העמודה של 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איך מגיעים לבית הספר
45%30%15%10%
  • הליכה45%
  • אוטובוס30%
  • רכב פרטי15%
  • אופניים10%

בדיאגרמה: איך מגיעים לבית הספר 200 תלמידים. מהי זווית הגזרה של «אוטובוס», במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

30%=0.330\% = 0.3

השכיחות היחסית

0.3⋅360∘=108∘0.3 \cdot 360^{\circ} = 108^{\circ}

חלק מהעיגול השלם

הגודל של הגזרה נקבע לפי האחוז, לא לפי מספר התלמידים: 200200 לא נכנס לחישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

החוג שבחרו התלמידים
35%25%20%?
  • ספורט35%
  • מוזיקה25%
  • תיאטרון20%
  • מחשבים?

בבית ספר 600 תלמידים. הדיאגרמה מראה את החוג שבחר כל תלמיד. כמה תלמידים בחרו בחוג מחשבים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

100%−(35%+25%+20%)=20%100\%-(35\%+25\%+20\%)=20\%

הגזרה החסרה

0.2⋅600=1200.2 \cdot 600 = 120

מאחוזים לתלמידים

הגזרה החסרה היא השלמה ל-100%100\%. מי שעוצר ב-2020 ענה באחוזים ולא במספר תלמידים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הגובה של 40 תלמידים
412168150160170180190024681012141618גובה (ס״מ)מספר תלמידים

בהיסטוגרמה: הגובה של 40 תלמידים. כמה תלמידים גובהם 170 ס״מ או יותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

170−180: 16,180−190: 8170-180:\ 16,\quad 180-190:\ 8

שתי המחלקות מ-170 והלאה

16+8=2416+8=24

מחברים

המחלקה 170−180170-180 מתחילה ב-170, ולכן היא בפנים. מי שעונה 88 לקח רק את המחלקה העליונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הגובה של 40 תלמידים
412168150160170180190024681012141618גובה (ס״מ)מספר תלמידים

לפי אותה היסטוגרמה: איזה אחוז מהתלמידים נמוכים מ-160 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

150−160: 4150-160:\ 4

המחלקה הראשונה בלבד

440=0.1=10%\begin{aligned}\frac{4}{40} &= 0.1 \\ &= 10\%\end{aligned}

מחלקים בכל 40 התלמידים

תלמיד שגובהו 160160 בדיוק נמצא במחלקה 160−170160-170, ולכן הוא לא נמוך מ-160.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ציוני המבחן בשתי כיתות
6789100246810ציוןמספר תלמידים
  • י1
  • י2

בדיאגרמה: ציוני המבחן של הכיתות י1 ו-י2 (25 תלמידים בכל כיתה). בכמה תלמידים גדול מספר התלמידים שקיבלו 9 או 10 ב-י2 מאשר ב-י1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

8+4=128+4=12

י2: העמודות המקווקוות של 9 ושל 10

6+2=86+2=8

י1: העמודות המלאות

12−8=412-8=4

ההפרש

לכל ציון יש שתי עמודות. המקרא אומר איזו עמודה שייכת לאיזו כיתה, וכדאי לקרוא אותו לפני המספרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מספר הנוסעים שעלו לקו 5 בכל שעה
6789101112020406080100120140160180200שעהמספר נוסעים

לפי הגרף: מספר הנוסעים שעלו לקו 5 ירד בכל שעה, משעה 8 ועד שעה 12.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

180>110>70>50180 > 110 > 70 > 50

משעה 8 עד שעה 11 הגרף יורד

50<6050 < 60

משעה 11 לשעה 12 הוא עולה

הטענה לא נכונה. הגרף יורד עד שעה 11 ועולה בשעה 12. בגרף בודקים את כל הקטעים, גם את האחרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

התאימו לכל סקר את הייצוג המתאים ביותר.

  • המקצוע שבחרו תלמידי השכבה למגמה, כחלק מכל השכבה
  • הגובה של 120 שחקני כדורסל, במחלקות של 5 ס״מ
  • מספר המבקרים בספרייה בכל חודש בשנה
  • מספר השעות של שיעורי בית בשתי כיתות
  • גרף
  • דיאגרמת עיגול
  • דיאגרמת עמודות כפולה
  • היסטוגרמה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המקצוע שבחרו תלמידי השכבה למגמה, כחלק מכל השכבה — דיאגרמת עיגול · הגובה של 120 שחקני כדורסל, במחלקות של 5 ס״מ — היסטוגרמה · מספר המבקרים בספרייה בכל חודש בשנה — גרף · מספר השעות של שיעורי בית בשתי כיתות — דיאגרמת עמודות כפולה

הפתרון:

fn\frac{f}{n}

חלקים של שלם: עיגול

150−155150-155

רציף במחלקות: היסטוגרמה

tt

לאורך זמן: גרף

חלק מהשלם הולך לעיגול, משתנה רציף במחלקות להיסטוגרמה, שינוי בזמן לגרף, ושתי קבוצות לעמודות כפולות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

רשמו את צבע 200 המכוניות שעברו בצומת. איזה ייצוג אינו מתאים לנתונים האלה?

  1. דיאגרמת עיגול
  2. טבלת שכיחויות
  3. דיאגרמת עמודות
  4. היסטוגרמה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד היסטוגרמה

הפתרון:

כחול\text{כחול}

צבע הוא משתנה איכותי: אין לו ציר מספרים

הנכונה: היסטוגרמה. היסטוגרמה צריכה מחלקות על ציר מספרים, וצבע אינו מספר. עיגול, עמודות וטבלה מתאימים כולם למשתנה איכותי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בסקר השתתפו 250 אנשים. בדיאגרמת עיגול של תוצאות הסקר, הגזרה של התשובה «כן» היא בת 72∘72^{\circ}. כמה אנשים ענו «כן»?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

72360=0.2\frac{72}{360}=0.2

איזה חלק מהעיגול

0.2⋅250=500.2 \cdot 250=50

אותו חלק מהאנשים

הדרך ההפוכה: מהזווית לשכיחות היחסית, ורק אז למספר האנשים. מי שמחלק 250250 ב-7272 ערבב בין מעלות לאנשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת