נתונים וטבלאות שכיחות · סטטיסטיקה תיאורית · כיתה י׳

בכיתה י2 שאלו כל אחד מ-25 התלמידים: כמה אחים ואחיות יש לך? אלה התשובות, בסדר שבו נאספו:

בלי לספור: איזו תשובה חוזרת הכי הרבה פעמים? האם קל לראות את זה ברשימה?

להציג את התשובה והפתרון

קשה מאוד. ברשימה של 25 מספרים העין לא רואה כלום. לכן מסדרים את הנתונים בטבלה, ושם רואים מיד שהתשובה $1$ חוזרת הכי הרבה, $8$ פעמים.

טבלת שכיחויות

בטבלת שכיחויות כותבים כל ערך פעם אחת, ולידו את השכיחות שלו: כמה פעמים הוא הופיע. סכום השכיחויות הוא מספר הנתונים $n$ .

מספר האחים של תלמידי י2

מספר אחים	0	1	2	3	4	סה״כ
שכיחות (מספר תלמידים)	3	8	7	5	2	25
שכיחות יחסית	0.12	0.32	0.28	0.20	0.08	1
שכיחות יחסית באחוזים	12%	32%	28%	20%	8%	100%
שכיחות מצטברת	3	11	18	23	25	—

השורה האחרונה עונה על שאלה אחרת: כמה תלמידים יש להם לכל היותר מספר אחים מסוים.

f

שכיחות: כמה פעמים הופיע הערך

\frac{f}{n}

שכיחות יחסית: איזה חלק מכל הנתונים. כופלים ב- $100$ ומקבלים אחוזים

f_1+f_2+\dots+f_k

שכיחות מצטברת של הערך ה- $k$ : כל הנתונים שקטנים ממנו או שווים לו

סכום השכיחויות היחסיות הוא תמיד $1$ , כלומר $100\%$ . זו בדיקה מהירה לכל טבלה. והשכיחות המצטברת של הערך האחרון היא תמיד $n$ .

לפי הטבלה: כמה תלמידים יש להם לכל היותר 2 אחים? ואיזה אחוז מהכיתה הם?

להציג את התשובה והפתרון

18 תלמידים, זו השכיחות המצטברת של $2$ : $3+8+7=18$ . באחוזים: $\frac{18}{25}=0.72$ , כלומר $72\%$ .

אותה טבלה, מצוירת: לכל ערך עמודה, וגובה העמודה הוא השכיחות. בפרק הבא נלמד לקרוא ולבנות דיאגרמות כאלה.

אוכלוסייה, מדגם ומשתנה

אוכלוסייה היא כל הפרטים שעליהם שואלים את השאלה. כשהאוכלוסייה גדולה מדי, בודקים רק חלק ממנה, וזה מדגם. מה שמודדים אצל כל פרט הוא המשתנה.

\text{כחול}

משתנה איכותי: התשובה היא שם ולא מספר. צבע עיניים, עיר מגורים, מקצוע אהוב

0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots

משתנה כמותי בדיד: מספר שסופרים, בלי ערכים באמצע. מספר אחים, מספר שערים במשחק

1.55 \le x \le 1.90

משתנה כמותי רציף: מספר שמודדים, וכל ערך בתוך תחום אפשרי. גובה, משקל, זמן

משרד התחבורה בדק 400 אוטובוסים מתוך כל האוטובוסים העירוניים בארץ, ומדד לכל אחד כמה דקות איחר. מהי האוכלוסייה, מהו המדגם, ומאיזה סוג המשתנה?

להציג את התשובה והפתרון

האוכלוסייה: כל האוטובוסים העירוניים בארץ. המדגם: 400 האוטובוסים שנבדקו. המשתנה: זמן האיחור בדקות, כמותי רציף: אפשר לאחר $3.5$ דקות.

טבלה לפי מחלקות

כשהמשתנה רציף, או כשיש הרבה ערכים שונים, מקבצים את הנתונים למחלקות ברוחב שווה. המחלקה $10-20$ כוללת את $10$ ולא את $20$ : תלמיד שנוסע $20$ דקות בדיוק נספר במחלקה הבאה. מחלקה בקצה הטבלה יכולה להיות פתוחה, למשל « $40$ ומעלה».

זמן הנסיעה לבית הספר של 50 תלמידים

זמן נסיעה (דקות)	0-10	10-20	20-30	30-40	40 ומעלה	סה״כ
מספר תלמידים	6	14	18	8	4	50
שכיחות יחסית	12%	28%	36%	16%	8%	100%

לפי הטבלה: כמה תלמידים נוסעים לפחות 20 דקות? האם אפשר לדעת כמה תלמידים נוסעים בדיוק 25 דקות?

להציג את התשובה והפתרון

30 תלמידים: $18+8+4=30$ . אי אפשר לדעת כמה נוסעים בדיוק 25 דקות: הטבלה אומרת רק ש-18 תלמידים נמצאים איפשהו בין 20 ל-30. זה המחיר של הקיבוץ למחלקות.

טבלה עם שכיחות חסרה

בסקר של 40 משפחות שאלו כמה מכוניות יש למשפחה. 5 משפחות בלי מכונית, 18 עם מכונית אחת, 12 עם שתיים, והשאר עם שלוש. מצאו את השכיחות ואת השכיחות היחסית של «שלוש מכוניות».

40-(5+18+12)=5

השכיחות החסרה: מספר המשפחות פחות כל השאר

\begin{aligned}\frac{5}{40} &= 0.125 \\ &= 12.5\%\end{aligned}

השכיחות היחסית

\frac{5}{40}+\frac{18}{40}+\frac{12}{40}+\frac{5}{40}=1

בדיקה: השכיחויות היחסיות מסתכמות ב- $1$

לפני כל חישוב שאלו: מה $n$ ? השכיחות היחסית מחלקת תמיד במספר כל הנתונים, לא במספר הערכים השונים ולא בשכיחות הגדולה ביותר.

שלוש טעויות של טבלת השכיחויות.

\frac{7}{5}

\frac{7}{25}

בטבלת האחים יש 5 ערכים שונים ו-25 תלמידים. השכיחות היחסית של $2$ היא $\frac{7}{25}$ : מחלקים במספר הנתונים, לא במספר העמודות.

F(2)=7

\begin{aligned}F(2) &= 3+8+7 \\ &= 18\end{aligned}

$F$ היא השכיחות המצטברת. השכיחות המצטברת של ערך אינה השכיחות שלו: היא סופרת את כל הנתונים עד הערך הזה, כולל.

20 \in 10-20

20 \in 20-30

בטבלה לפי מחלקות הקצה הימני של מחלקה שייך למחלקה הבאה. לכן כל נתון נספר פעם אחת בלבד.

תרגילים

תרגיל 1

נועה רשמה במשך חודש כמה הודעות קיבלה בכל יום. מאיזה סוג המשתנה «מספר ההודעות ביום»?

זה לא משתנה
כמותי בדיד
איכותי
כמותי רציף

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב כמותי בדיד

הפתרון:

0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots

סופרים הודעות: אין ערך בין $3$ ל- $4$

הנכונה: כמותי בדיד. משתנה שסופרים הוא בדיד. «רציף» הוא משתנה שמודדים, כמו זמן או גובה, שבו כל ערך באמצע אפשרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מיינו את המשתנים הכמותיים: בדיד או רציף?

בדיד
רציף

הטמפרטורה בחצות בבאר שבע
מספר הנעליים של תלמיד
מספר השערים במשחק כדורגל
מספר התלמידים בכיתה
משך השינה בלילה
משקל של אבטיח

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מספר השערים במשחק כדורגל — בדיד · מספר התלמידים בכיתה — בדיד · מספר הנעליים של תלמיד — בדיד · משך השינה בלילה — רציף · משקל של אבטיח — רציף · הטמפרטורה בחצות בבאר שבע — רציף

הפתרון:

0,\ 1,\ 2,\ \dots

שערים, תלמידים, מספר נעליים: סופרים

7.25,\ 36.8

זמן, משקל, טמפרטורה: מודדים, וכל ערך באמצע אפשרי

«מספר הנעליים» הוא בדיד אף שיש מידה $38.5$ : אין מידה $38.37$ , והערכים קופצים בחצאים. השאלה היא האם כל ערך בתחום אפשרי, לא האם יש נקודה עשרונית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

עיריית חיפה שאלה 300 תלמידי תיכון מהעיר כמה שעות בשבוע הם עוסקים בספורט. מהי האוכלוסייה?

כל תלמידי התיכון בחיפה
מספר שעות הספורט בשבוע
כל תושבי חיפה
300 התלמידים שנשאלו

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כל תלמידי התיכון בחיפה

הפתרון:

300

התלמידים שנשאלו: המדגם, חלק מהאוכלוסייה

n=300

גודל המדגם. האוכלוסייה גדולה ממנו

הנכונה: כל תלמידי התיכון בחיפה. 300 התלמידים הם המדגם, ומספר השעות הוא המשתנה. על כל תושבי חיפה הסקר לא שואל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מספר הספרים שקראו 40 תלמידים בחופש הגדול

מספר ספרים	0	1	2	3	4
שכיחות	4	10	12	8	6

בטבלה: מספר הספרים שקראו 40 תלמידים בחופש הגדול. מהי השכיחות היחסית של התלמידים שקראו בדיוק 2 ספרים, באחוזים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

\begin{aligned}f &= 12 \\ \quad n &= 4+10+12+8+6 \\ &= 40\end{aligned}

השכיחות של $2$ , ומספר כל התלמידים

\begin{aligned}\frac{12}{40} &= 0.3 \\ &= 30\%\end{aligned}

שכיחות יחסית

מי שמחלק ב- $5$ (מספר הערכים השונים) או ב- $12$ טועה במכנה. תמיד מחלקים ב- $n$ , מספר כל הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מספר הספרים שקראו 40 תלמידים בחופש הגדול

מספר ספרים	0	1	2	3	4
שכיחות	4	10	12	8	6

לפי אותה טבלה של 40 התלמידים: כמה תלמידים קראו לכל היותר 2 ספרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26

הפתרון:

4+10+12=26

השכיחות המצטברת של $2$ : הערכים $0$ , $1$ ו- $2$

«לכל היותר 2» כולל את $2$ עצמו ואת כל מה שמתחתיו, כולל $0$ . מי שעונה $12$ לקח רק את השכיחות של $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מספר חדרים	1	2	3	4	5
שכיחות	3	7	?	9	6

בטבלה: מספר החדרים בדירות שנבדקו בסקר של 40 דירות בנתניה. השלימו את השכיחות החסרה ואת השכיחות היחסית שלה באחוזים.

שכיחות: ____ , שכיחות יחסית: ____ %

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שכיחות: 15 , שכיחות יחסית: 37.5 %

הפתרון:

40-(3+7+9+6)=15

השכיחות החסרה

\begin{aligned}\frac{15}{40} &= 0.375 \\ &= 37.5\%\end{aligned}

שכיחות יחסית

בדיקה: $3+7+15+9+6=40$ . השכיחות היחסית יוצאת $37.5\%$ , ואין סיבה שתהיה מספר שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

זמן הנסיעה לבית הספר של 50 תלמידים

זמן נסיעה (דקות)	0-10	10-20	20-30	30-40	40 ומעלה
מספר תלמידים	6	14	18	8	4

לפי הטבלה: איזה אחוז מהתלמידים נוסעים לבית הספר 20 דקות או יותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

18+8+4=30

שלוש המחלקות מ-20 והלאה, כולל המחלקה הפתוחה

\begin{aligned}\frac{30}{50} &= 0.6 \\ &= 60\%\end{aligned}

חלק מכל 50 התלמידים

המחלקה $20-30$ מתחילה ב-20, ולכן היא נספרת. והמחלקה הפתוחה «40 ומעלה» היא חלק מהתשובה, אף שאין לה קצה עליון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

זמן הנסיעה לבית הספר של 50 תלמידים

זמן נסיעה (דקות)	0-10	10-20	20-30	30-40	40 ומעלה
מספר תלמידים	6	14	18	8	4

לפי אותה טבלה: אפשר לדעת כמה תלמידים נוסעים בדיוק 25 דקות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

20 \le x < 30:\ 18

הטבלה אומרת רק כמה תלמידים נמצאים בתוך המחלקה

הטענה לא נכונה. אחרי הקיבוץ למחלקות הנתונים המקוריים אבדו. יודעים ש-18 תלמידים נוסעים בין 20 ל-30 דקות, ולא יודעים איך הם מתחלקים בתוך המחלקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ציוני החידון

ציון	1	2	3	4	5
שכיחות יחסית מצטברת	15%	40%	75%	90%	100%

בטבלה: השכיחות היחסית המצטברת של הציון שקיבלו 40 משתתפים בחידון (ציון בין 1 ל-5). כמה משתתפים קיבלו בדיוק את הציון 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

75\%-40\%=35\%

השכיחות היחסית של $3$ : הפרש בין שתי שכיחויות מצטברות סמוכות

0.35 \cdot 40=14

מאחוזים למספר משתתפים

מי שעונה $75\% \cdot 40=30$ לקח את כל מי שקיבל עד 3. השכיחות המצטברת סופרת גם את $1$ ואת $2$ , ולכן מחסרים את השכיחות המצטברת של $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בכיתה של 30 תלמידים, 12 בחרו בכדורסל. מצאו את השורה השגויה בחישוב השכיחות היחסית.

n = 30

f = 12

\begin{aligned}\frac{f}{n} &= \frac{30}{12} \\ &= 2.5\end{aligned}

2.5 = 250\%

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{f}{n} = \frac{30}{12} = 2.5$ → $\frac{f}{n} = \frac{12}{30} = 0.4 = 40\%$

הפתרון:

\frac{12}{30}=0.4

השכיחות במונה, מספר הנתונים במכנה

שכיחות יחסית היא חלק מהשלם, ולכן היא תמיד בין $0$ ל- $1$ . תוצאה כמו $250\%$ היא סימן בטוח שהשבר התהפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

טבלת שכיחויות

אוכלוסייה, מדגם ומשתנה

טבלה לפי מחלקות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev