מדדי מרכז

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שבעה תלמידים רשמו כמה דקות חיכו לאוטובוס הבוקר. שלושה מספרים מנסים לומר «כמה בערך מחכים»: הממוצע, החציון והשכיח. הזיזו את הנתונים וראו מי מהם זז.

בנתונים 5, 6, 6, 7, 8, 9, 155,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 15: אם 1515 הופך ל-5050, מה יהיה הממוצע, ומה יהיה החציון?

להציג את התשובה והפתרון

הסכום גדל ב-3535, מ-5656 ל-9191, והממוצע 917=13\frac{91}{7}=13. החציון נשאר 77: הוא תלוי רק בנתון האמצעי, ו-5050 עדיין בקצה.

הממוצע

xˉ=x1+x2+⋯+xnn\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}

מטבלת שכיחויות לא כותבים כל נתון מחדש: כל ערך xx מופיע ff פעמים, ולכן תורם לסכום x⋅fx \cdot f.

xˉ=x1f1+x2f2+⋯+xkfkf1+f2+⋯+fk\bar{x}=\frac{x_1 f_1+x_2 f_2+\dots+x_k f_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}

ממוצע מטבלה

בטבלת האחים של י2 (25 תלמידים): 00 אחים — 3, 11 — 8, 22 — 7, 33 — 5, 44 — 2. מהו מספר האחים הממוצע?

0⋅3+1⋅8+2⋅7+3⋅5+4⋅2=450 \cdot 3+1 \cdot 8+2 \cdot 7+3 \cdot 5+4 \cdot 2=45

סכום כל הנתונים: ערך כפול שכיחות

xˉ=4525=1.8\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{45}{25} \\ &= 1.8\end{aligned}

מחלקים במספר התלמידים, לא במספר הערכים

בטבלה לפי מחלקות הנתונים המקוריים אבדו. מחליפים כל נתון באמצע המחלקה שלו, ומחשבים כמו בטבלה רגילה. התוצאה היא הערכה לממוצע. במחלקה פתוחה אין אמצע, ולכן אי אפשר לחשב ממוצע כזה.

בהיסטוגרמה של הגובה: 150−160150-160 — 4 תלמידים, 160−170160-170 — 12, 170−180170-180 — 16, 180−190180-190 — 8. מהו הגובה הממוצע לפי אמצעי המחלקות?

להציג את התשובה והפתרון

155⋅4+165⋅12+175⋅16+185⋅840=688040=172\frac{155 \cdot 4+165 \cdot 12+175 \cdot 16+185 \cdot 8}{40}=\frac{6880}{40}=172 ס״מ.

ממוצע משוקלל

ב-י1 30 תלמידים, והממוצע שלהם במבחן 8080. ב-י2 20 תלמידים, והממוצע 7070. הממוצע של כל 50 התלמידים אינו 7575: ב-י1 יש יותר תלמידים, ולכן היא «מושכת» חזק יותר.

xˉ=n1xˉ1+n2xˉ2n1+n2=30⋅80+20⋅7050=76\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{n_1 \bar{x}_1+n_2 \bar{x}_2}{n_1+n_2} \\ &= \frac{30 \cdot 80+20 \cdot 70}{50} \\ &= 76\end{aligned}

אותו רעיון בדיוק כשהמשקלות הם אחוזים: אם המבחן שווה 70%70\% מהציון והעבודה 30%30\%, תלמיד שקיבל 9090 במבחן ו-8080 בעבודה מקבל 0.7⋅90+0.3⋅80=870.7 \cdot 90+0.3 \cdot 80=87.

השכיח

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. יכולים להיות שני שכיחים או יותר, אם כמה ערכים חוזרים אותו מספר פעמים. בטבלה לפי מחלקות מדברים על המחלקה השכיחה: המחלקה עם השכיחות הגדולה ביותר. השכיח הוא המדד היחיד שאפשר למצוא למשתנה איכותי: אין «ממוצע של צבעים».

החציון

החציון הוא הנתון האמצעי, אחרי שמסדרים את הנתונים מהקטן לגדול. חצי מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו, וחצי גדולים ממנו או שווים לו.

Me=xn+12Me=x_{\frac{n+1}{2}}

מספר הנתונים אי-זוגי: הנתון במקום n+12\frac{n+1}{2}

Me=xn2+xn2+12Me=\frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}

מספר הנתונים זוגי: הממוצע של שני הנתונים האמצעיים

מטבלה מוצאים את המקום בעזרת השכיחות המצטברת. בטבלת האחים n=25n=25, והחציון הוא הנתון ה-1313. השכיחויות המצטברות הן 3, 11, 183,\ 11,\ 18: הנתונים ה-1212 עד ה-1818 הם כולם 22, ולכן החציון 22.

מהו החציון של 12, 3, 8, 5, 10, 712,\ 3,\ 8,\ 5,\ 10,\ 7?

להציג את התשובה והפתרון

מסדרים: 3, 5, 7, 8, 10, 123,\ 5,\ 7,\ 8,\ 10,\ 12. שישה נתונים, ולכן הממוצע של השלישי והרביעי: 7+82=7.5\frac{7+8}{2}=7.5. מי שעונה 55 לקח את האמצעי לפני הסידור.

יתרונות ומגבלות

xˉ\bar{x}

ממוצע: משתמש בכל הנתונים. אבל רגיש לנתון קיצוני, ואי אפשר לחשב אותו למשתנה איכותי או לטבלה עם מחלקה פתוחה

MeMe

חציון: לא מושפע מנתון קיצוני, ואפשר למצוא אותו גם עם מחלקה פתוחה. אבל הוא «לא רואה» את רוב הנתונים

MoMo

שכיח: היחיד שמתאים למשתנה איכותי. אבל יכול להיות רחוק מהמרכז, ויכולים להיות כמה

כשבשכר של עובדי חברה יש מנהל אחד עם שכר גבוה מאוד, החציון מתאר את «העובד הרגיל» טוב יותר מהממוצע. זו הסיבה שמדווחים לעיתים קרובות על «השכר החציוני».

שלוש טעויות של מדדי המרכז.

80+702=75\frac{80+70}{2}=75
30⋅80+20⋅7050=76\frac{30 \cdot 80+20 \cdot 70}{50}=76

ממוצע של ממוצעים נכון רק כשהקבוצות באותו גודל. אחרת משקללים לפי מספר האנשים.

0+1+2+3+45=2\frac{0+1+2+3+4}{5}=2
4525=1.8\frac{45}{25}=1.8

בטבלה מחשבים ממוצע של הנתונים, לא של הערכים שבשורה העליונה. כל ערך נספר כמספר השכיחות שלו.

Me(5, 9, 2)=9Me(5,\ 9,\ 2)=9
Me(2, 5, 9)=5Me(2,\ 5,\ 9)=5

החציון הוא האמצעי אחרי סידור. בלי סידור, «האמצעי» הוא סתם הנתון שנכתב שני.

תרגילים

תרגיל 1

דני רשם במשך 8 ימים כמה דקות חיכה לרכבת: 12, 7, 9, 15, 10, 8, 11, 812,\ 7,\ 9,\ 15,\ 10,\ 8,\ 11,\ 8. מהו זמן ההמתנה הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

12+7+9+15+10+8+11+8=8012+7+9+15+10+8+11+8=80

סכום הנתונים

xˉ=808=10\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{80}{8} \\ &= 10\end{aligned}

מחלקים במספר הנתונים

ה-88 מופיע פעמיים, ושתי הפעמים נכנסות לסכום. מי שמחלק ב-77 ספר ערכים שונים במקום נתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מספר ילדים12345
מספר משפחות37532

בטבלה: מספר הילדים ב-20 משפחות. מהו מספר הילדים הממוצע למשפחה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.7

הפתרון:

1⋅3+2⋅7+3⋅5+4⋅3+5⋅2=541 \cdot 3+2 \cdot 7+3 \cdot 5+4 \cdot 3+5 \cdot 2=54

ערך כפול שכיחות

xˉ=5420=2.7\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{54}{20} \\ &= 2.7\end{aligned}

מחלקים במספר המשפחות

ממוצע של 2.72.7 ילדים הוא תקין, אף שאין משפחה עם 2.72.7 ילדים: ממוצע לא חייב להיות אחד הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שעות שיעורי בית
שעות בשבוע0-44-88-1212-16
מספר תלמידים1020155

בטבלה: מספר השעות בשבוע ש-50 תלמידים הקדישו לשיעורי בית. חשבו את הממוצע לפי אמצעי המחלקות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.2

הפתרון:

2, 6, 10, 142,\ 6,\ 10,\ 14

אמצעי המחלקות

2⋅10+6⋅20+10⋅15+14⋅5=3602 \cdot 10+6 \cdot 20+10 \cdot 15+14 \cdot 5=360

אמצע כפול שכיחות

xˉ=36050=7.2\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{360}{50} \\ &= 7.2\end{aligned}

ממוצע משוער

אמצע המחלקה 4−84-8 הוא 4+82=6\frac{4+8}{2}=6, לא 44 ולא 88. והתוצאה היא הערכה: לא יודעים איפה בדיוק בתוך המחלקה נמצא כל תלמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ב-י1 30 תלמידים, והציון הממוצע שלהם במבחן 8080. ב-י2 20 תלמידים, והציון הממוצע שלהם 7070. מהו הציון הממוצע של כל 50 התלמידים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 76

הפתרון:

30⋅80=240020⋅70=1400\begin{aligned}30 \cdot 80 &= 2400 \\ \quad 20 \cdot 70 &= 1400\end{aligned}

סכום הציונים בכל כיתה

2400+140050=76\frac{2400+1400}{50}=76

ממוצע משוקלל

התשובה 7575 היא ממוצע של שני הממוצעים, והיא נכונה רק כשהכיתות באותו גודל. הכיתה הגדולה «מושכת» את הממוצע אליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

אלה הציונים של 10 תלמידים: 72, 85, 64, 90, 78, 81, 69, 95, 77, 8872,\ 85,\ 64,\ 90,\ 78,\ 81,\ 69,\ 95,\ 77,\ 88. מהו החציון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 79.5

הפתרון:

64, 69, 72, 77, 78, 81, 85, 88, 90, 9564,\ 69,\ 72,\ 77,\ 78,\ 81,\ 85,\ 88,\ 90,\ 95

מסדרים מהקטן לגדול

Me=78+812=79.5\begin{aligned}Me &= \frac{78+81}{2} \\ &= 79.5\end{aligned}

עשרה נתונים: הממוצע של החמישי והשישי

בלי סידור, «החמישי והשישי» הם 7878 ו-8181 במקרה, אבל זה מזל. תמיד מסדרים קודם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ציון12345
מספר לקוחות695128

בטבלה: הציונים (1 עד 5) שנתנו 40 לקוחות לשירות של חנות. מהו החציון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.5

הפתרון:

n=40 ⇒ x20 x21\begin{aligned}n &= 40 \ \Rightarrow \ x_{20} \\ \ x_{21}\end{aligned}

שני הנתונים האמצעיים

F: 6, 15, 20, 32, 40F:\ 6,\ 15,\ 20,\ 32,\ 40

השכיחויות המצטברות

x20=3x21=4\begin{aligned}x_{20} &= 3 \\ \quad x_{21} &= 4\end{aligned}

הנתון ה-2020 הוא האחרון של 33, וה-2121 הראשון של 44

Me=3+42=3.5\begin{aligned}Me &= \frac{3+4}{2} \\ &= 3.5\end{aligned}

הממוצע שלהם

השכיחות המצטברת של 33 היא בדיוק 2020: חצי מהנתונים. לכן החציון נופל בין 33 ל-44. מי שעונה 33 שכח את הנתון ה-2121.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו השכיח של הנתונים 4, 7, 2, 7, 5, 4, 9, 4, 7, 14,\ 7,\ 2,\ 7,\ 5,\ 4,\ 9,\ 4,\ 7,\ 1?

  1. 44
  2. אין שכיח
  3. 77
  4. 44 וגם 77
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 44 וגם 77

הפתרון:

4: 3,7: 34:\ 3,\quad 7:\ 3

שני ערכים מופיעים שלוש פעמים

2, 5, 9, 1: 12,\ 5,\ 9,\ 1:\ 1

כל השאר פעם אחת

הנכונה: 44 וגם 77. כשכמה ערכים מופיעים הכי הרבה פעמים באותה מידה, כולם שכיחים. «אין שכיח» נכון רק כשכל הערכים מופיעים אותו מספר פעמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

משך השיחות
משך שיחה (דקות)0-55-1010-1515-2020 ומעלה
מספר שיחות12182596

בטבלה: משך שיחות הטלפון במוקד שירות, בדקות. מהי המחלקה השכיחה?

  1. 5−105-10
  2. 2020 ומעלה
  3. 10−1510-15
  4. 12.512.5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 10−1510-15

הפתרון:

max⁡f=25\max f=25

השכיחות הגדולה ביותר

10−1510-15

המחלקה שלה

הנכונה: 10−1510-15. 12.512.5 הוא אמצע המחלקה, לא המחלקה. והמחלקה הפתוחה היא בקצה, אבל השכיחות שלה הקטנה ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שאלו 30 תלמידים מהו המקצוע האהוב עליהם. איזה מדד מרכז אפשר למצוא לנתונים האלה?

  1. שלושת המדדים
  2. השכיח והחציון
  3. רק השכיח
  4. רק הממוצע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג רק השכיח

הפתרון:

מתמטיקה\text{מתמטיקה}

הנתונים הם שמות, לא מספרים

הנכונה: רק השכיח. אי אפשר לחבר מקצועות (אין ממוצע), ואי אפשר לסדר אותם מהקטן לגדול (אין חציון). אפשר רק לספור איזה מקצוע נבחר הכי הרבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מספר הצגות1234
מספר חברים5x64

בטבלה: מספר ההצגות שראו חברי חוג תיאטרון בשנה האחרונה. מספר ההצגות הממוצע הוא 2.52.5. מצאו את השכיחות החסרה xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

1⋅5+2x+3⋅6+4⋅45+x+6+4=2.5\frac{1 \cdot 5+2x+3 \cdot 6+4 \cdot 4}{5+x+6+4}=2.5

ממוצע מטבלה, עם הנעלם

39+2x=2.5(15+x)=37.5+2.5x\begin{aligned}39+2x &= 2.5(15+x) \\ &= 37.5+2.5x\end{aligned}

כופלים במכנה

1.5=0.5x ⇒ x=3\begin{aligned}1.5 &= 0.5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

גם המכנה תלוי ב-xx: מספר חברי החוג הוא 15+x15+x. מי שמחלק ב-1515 שכח שגם החברים החסרים נספרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — קליעות לסל

תרגיל 11

01234567895678910מספר קליעותמספר שחקנים

במחנה כדורסל כל אחד מ-25 השחקנים זרק 1010 זריקות לסל. הדיאגרמה מתארת כמה שחקנים קלעו כל מספר של קליעות. א. מהו מספר הקליעות השכיח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

fmax=9f_{max}=9

העמודה הגבוהה ביותר: 9 שחקנים

Mo=6Mo=6

הערך שמתחת לעמודה הזאת

השכיח הוא 6 קליעות. בדיאגרמת עמודות מזהים אותו מיד: הוא הערך שמעליו העמודה הגבוהה ביותר. המלכודת: לענות 99, שהוא מספר השחקנים (הגובה), ולא מספר הקליעות (הערך).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

01234567895678910מספר קליעותמספר שחקנים

במחנה כדורסל כל אחד מ-25 השחקנים זרק 1010 זריקות לסל. הדיאגרמה מתארת כמה שחקנים קלעו כל מספר של קליעות. ב. בלי לחשב: למה הממוצע של מספר הקליעות לא יכול להיות קטן מ-55?

  1. כי השכיח הוא 66, והוא גדול מ-55
  2. כי לערך 55 יש רק 22 שחקנים
  3. כי במחנה 2525 שחקנים, יותר מ-55
  4. כי כל שחקן קלע לפחות 55 פעמים, ויש שחקנים שקלעו יותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כי כל שחקן קלע לפחות 55 פעמים, ויש שחקנים שקלעו יותר

הפתרון:

xmin=5x_{min}=5

מספר הקליעות הקטן ביותר בדיאגרמה

xi≥5 ⇒ xˉ≥5x_i \geq 5 \ \Rightarrow \ \bar{x} \geq 5

ממוצע של מספרים שכולם לפחות 55 הוא לפחות 55

הנכונה: כל שחקן קלע לפחות 55 פעמים. הממוצע נמצא תמיד בין הנתון הקטן לנתון הגדול. כאן יש גם נתונים גדולים מ-55, ולכן הממוצע אפילו גדול מ-55. השכיח ומספר השחקנים לא קובעים גבול כזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

01234567895678910מספר קליעותמספר שחקנים

במחנה כדורסל כל אחד מ-25 השחקנים זרק 1010 זריקות לסל. הדיאגרמה מתארת כמה שחקנים קלעו כל מספר של קליעות. ג. הציגו את הנתונים בטבלת שכיחויות: כמה שחקנים קלעו כל מספר של קליעות?

55 קליעות: ____ 66: ____ 77: ____ 88: ____ 99: ____ 1010: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 55 קליעות: 2 66: 9 77: 6 88: 4 99: 3 1010: 1

הפתרון:

2, 9, 6, 4, 3, 12,\ 9,\ 6,\ 4,\ 3,\ 1

קוראים את גובה כל עמודה על הציר האנכי

2+9+6+4+3+1=252+9+6+4+3+1=25

בדיקה: סכום השכיחויות הוא מספר השחקנים ✓

כל עמודה היא שורה בטבלה: הערך מתחתיה, והשכיחות היא הגובה שלה. סכום השכיחויות חייב להיות 2525, וזו בדיקה טובה לקריאה נכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

01234567895678910מספר קליעותמספר שחקנים

במחנה כדורסל כל אחד מ-25 השחקנים זרק 1010 זריקות לסל. הדיאגרמה מתארת כמה שחקנים קלעו כל מספר של קליעות. השכיחויות: 55 — 2, 66 — 9, 77 — 6, 88 — 4, 99 — 3, 1010 — 1. ד. חשבו את מספר הקליעות הממוצע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

5⋅2+6⋅9+7⋅6+8⋅4+9⋅3+10⋅1=1755 \cdot 2+6 \cdot 9+7 \cdot 6+8 \cdot 4+9 \cdot 3+10 \cdot 1=175

סכום כל הקליעות: כל ערך כפול השכיחות שלו

xˉ=17525=7\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{175}{25} \\ &= 7\end{aligned}

מחלקים במספר השחקנים

הממוצע הוא 7 קליעות. מחלקים ב-2525, מספר השחקנים, ולא ב-66, מספר העמודות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

01234567895678910מספר קליעותמספר שחקנים

במחנה כדורסל כל אחד מ-25 השחקנים זרק 1010 זריקות לסל. הדיאגרמה מתארת כמה שחקנים קלעו כל מספר של קליעות. השכיחויות: 55 — 2, 66 — 9, 77 — 6, 88 — 4, 99 — 3, 1010 — 1. ה. מהו החציון של מספר הקליעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

n=25 ⇒ 25+12=13\begin{aligned}n &= 25 \ \Rightarrow \ \frac{25+1}{2} \\ &= 13\end{aligned}

מספר נתונים אי-זוגי: החציון הוא הנתון ה-1313

F: 2, 11, 17, …F:\ 2,\ 11,\ 17,\ \dots

השכיחויות המצטברות

11<13≤17 ⇒ Me=711 < 13 \leq 17 \ \Rightarrow \ Me=7

הנתונים ה-1212 עד ה-1717 הם 77

החציון הוא 7 קליעות. עד 66 קליעות יש רק 1111 שחקנים, והנתון ה-1313 כבר נמצא בעמודה של 77.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

01234567895678910מספר קליעותמספר שחקנים

במחנה כדורסל כל אחד מ-25 השחקנים זרק 1010 זריקות לסל. הדיאגרמה מתארת כמה שחקנים קלעו כל מספר של קליעות. ו. בעזרת איזה ייצוג קל יותר לראות מגמה של עלייה ואחר כך ירידה במספר השחקנים, לפי מספר הקליעות?

  1. בעזרת הדיאגרמה
  2. בעזרת טבלת השכיחויות
  3. אי אפשר לראות מגמה כזאת באף ייצוג
  4. בשני הייצוגים באותה מידה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א בעזרת הדיאגרמה

הפתרון:

2↗9↘12 \nearrow 9 \searrow 1

העמודות עולות עד 66 קליעות, ואחר כך יורדות

הנכונה: הדיאגרמה. בטבלה צריך לקרוא ולהשוות מספרים אחד אחד. בדיאגרמה העין רואה מיד את צורת העמודות: עלייה עד 66, וירידה אחריה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

01234567895678910מספר קליעותמספר שחקנים

במחנה כדורסל כל אחד מ-25 השחקנים זרק 1010 זריקות לסל. הדיאגרמה מתארת כמה שחקנים קלעו כל מספר של קליעות. ז. למחנה מצטרף שחקן נוסף, ומספר הקליעות שלו לא ידוע. (1) האם אפשר לחשב את הממוצע החדש?

  1. כן, הוא נשאר 77
  2. כן, הוא 175+726\frac{175+7}{26}
  3. כן, הוא 17526\frac{175}{26}
  4. לא, כי הסכום החדש תלוי בקליעות של השחקן הנוסף
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא, כי הסכום החדש תלוי בקליעות של השחקן הנוסף

הפתרון:

xˉnew=175+x26\bar{x}_{new}=\frac{175+x}{26}

הסכום החדש תלוי ב-xx, הנתון החסר

x=5⇒xˉnew≈6.92x=10⇒xˉnew≈7.12\begin{aligned}x &= 5 \Rightarrow \bar{x}_{new} \approx 6.92 \\ \quad x &= 10 \Rightarrow \bar{x}_{new} \approx 7.12\end{aligned}

ערכים שונים של xx נותנים ממוצעים שונים

הנכונה: לא. הממוצע משתמש בכל הנתונים, ולכן נתון לא ידוע אחד מספיק כדי שלא נוכל לחשב אותו. 17526\frac{175}{26} מחלק ב-2626 בלי להוסיף את הנתון לסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

01234567895678910מספר קליעותמספר שחקנים

במחנה כדורסל כל אחד מ-25 השחקנים זרק 1010 זריקות לסל. הדיאגרמה מתארת כמה שחקנים קלעו כל מספר של קליעות. ז. למחנה מצטרף שחקן נוסף, ומספר הקליעות שלו לא ידוע. (2) האם השכיח השתנה?

  1. אי אפשר לדעת, זה תלוי בקליעות של השחקן הנוסף
  2. לא, השכיח נשאר 66 בכל מקרה
  3. כן, כי עכשיו יש 2626 שחקנים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא, השכיח נשאר 66 בכל מקרה

הפתרון:

f(6)=9f(7)=6\begin{aligned}f(6) &= 9 \\ \quad f(7) &= 6\end{aligned}

לשכיח יש 99 שחקנים, ולבא אחריו רק 66

6+1=7<96+1=7 < 9

גם אם השחקן הנוסף מגדיל שכיחות אחרת ב-11, היא לא מגיעה ל-99

הנכונה: השכיח נשאר 66. שחקן אחד מוסיף 11 לשכיחות אחת בלבד. השכיח מוביל בפער של 33, ולכן שום ערך אחר לא יעקוף אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

01234567895678910מספר קליעותמספר שחקנים

במחנה כדורסל כל אחד מ-25 השחקנים זרק 1010 זריקות לסל. הדיאגרמה מתארת כמה שחקנים קלעו כל מספר של קליעות. ז. למחנה מצטרף שחקן נוסף, ומספר הקליעות שלו לא ידוע. (3) האם החציון השתנה?

  1. לא, החציון נשאר 77 בכל מקרה
  2. אי אפשר לדעת, זה תלוי בקליעות של השחקן הנוסף
  3. כן, הוא עכשיו ממוצע של שני נתונים ולכן 7.57.5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא, החציון נשאר 77 בכל מקרה

הפתרון:

n=26 ⇒ Me=x13+x142\begin{aligned}n &= 26 \ \Rightarrow \ Me \\ &= \frac{x_{13}+x_{14}}{2}\end{aligned}

עכשיו מספר הנתונים זוגי

x12=x13=…=x17=7\begin{aligned}x_{12} &= x_{13} \\ &= \dots \\ &= x_{17} \\ &= 7\end{aligned}

ברשימה הישנה, הנתונים ה-1212 עד ה-1717 הם 77

Me=7+72=7\begin{aligned}Me &= \frac{7+7}{2} \\ &= 7\end{aligned}

נתון חדש מזיז את המקומות לכל היותר באחד, ושני הנתונים האמצעיים נשארים 77

הנכונה: החציון נשאר 77. השחקן הנוסף נכנס לפני האמצע או אחריו, ומזיז את הנתונים האמצעיים לכל היותר מקום אחד. כל הנתונים סביב האמצע הם 77, ולכן החציון לא משתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — זמני שחייה

תרגיל 20

01234567831323334353637זמן (שניות)מספר שחיינים

כדי לבחור שחיינים לתחרות בין בתי ספר, המאמן מדד לכל המועמדים את הזמן במשחה 5050 מטר חופשי (בשניות שלמות). בדיאגרמה העמודה של 3232 שניות נמחקה. השכיחויות הידועות: 3131 — 2, 3333 — 4, 3434 — 7, 3535 — 8, 3636 — 4, 3737 — 2. א. כמה מועמדים שחו בזמן של 3232 שניות, אם ידוע שהזמן הממוצע הוא 34.234.2 שניות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

31⋅2+32x+33⋅4+34⋅7+35⋅8+36⋅4+37⋅227+x=34.2\frac{31 \cdot 2+32x+33 \cdot 4+34 \cdot 7+35 \cdot 8+36 \cdot 4+37 \cdot 2}{27+x}=34.2

xx השכיחות החסרה, ויש 27+x27+x מועמדים

930+32x=34.2(27+x)=923.4+34.2x\begin{aligned}930+32x &= 34.2(27+x) \\ &= 923.4+34.2x\end{aligned}

כופלים במכנה

6.6=2.2x ⇒ x=3\begin{aligned}6.6 &= 2.2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

3 מועמדים. בשאלה עם שכיחות חסרה גם מספר הנתונים לא ידוע, ולכן המכנה הוא 27+x27+x ולא 2727. בדיקה: 930+9630=102630=34.2\frac{930+96}{30}=\frac{1026}{30}=34.2 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

01234567831323334353637זמן (שניות)מספר שחיינים

כדי לבחור שחיינים לתחרות בין בתי ספר, המאמן מדד לכל המועמדים את הזמן במשחה 5050 מטר חופשי (בשניות שלמות). בדיאגרמה העמודה של 3232 שניות נמחקה. השכיחויות: 3131 — 2, 3232 — 3, 3333 — 4, 3434 — 7, 3535 — 8, 3636 — 4, 3737 — 2. ב. מצאו את השכיח ואת החציון של זמן השחייה (בשניות).

Mo=Mo= ____ , Me=Me= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: Mo=Mo= 35 , Me=Me= 34

הפתרון:

fmax=8 ⇒ Mo=35\begin{aligned}f_{max} &= 8 \ \Rightarrow \ Mo \\ &= 35\end{aligned}

השכיחות הגדולה ביותר

n=30 ⇒ Me=x15+x162\begin{aligned}n &= 30 \ \Rightarrow \ Me \\ &= \frac{x_{15}+x_{16}}{2}\end{aligned}

מספר נתונים זוגי

F: 2, 5, 9, 16, …F:\ 2,\ 5,\ 9,\ 16,\ \dots

השכיחויות המצטברות: הנתונים ה-1010 עד ה-1616 הם 3434

Me=34+342=34\begin{aligned}Me &= \frac{34+34}{2} \\ &= 34\end{aligned}

החציון

השכיח 35 והחציון 34 שניות. שימו לב: השכיח הוא הזמן שחוזר הכי הרבה, לא הזמן הטוב ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

01234567831323334353637זמן (שניות)מספר שחיינים

כדי לבחור שחיינים לתחרות בין בתי ספר, המאמן מדד לכל המועמדים את הזמן במשחה 5050 מטר חופשי (בשניות שלמות). בדיאגרמה העמודה של 3232 שניות נמחקה. השכיחויות: 3131 — 2, 3232 — 3, 3333 — 4, 3434 — 7, 3535 — 8, 3636 — 4, 3737 — 2, והחציון 3434 שניות. ג. כמה אחוזים מהמועמדים שחו בזמן קצר מהחציון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

x<34: 2+3+4=9x<34:\ 2+3+4=9

המועמדים של 3131, 3232 ו-3333 שניות

930⋅100%=30%\frac{9}{30} \cdot 100\%=30\%

חלק מכל 3030 המועמדים

30%30\%. «קצר מהחציון» הוא פחות מ-3434 שניות, ולכן 3434 עצמו לא נספר. אין כאן חצי בדיוק, כי 77 מועמדים שחו בדיוק בזמן החציון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

01234567831323334353637זמן (שניות)מספר שחיינים

כדי לבחור שחיינים לתחרות בין בתי ספר, המאמן מדד לכל המועמדים את הזמן במשחה 5050 מטר חופשי (בשניות שלמות). בדיאגרמה העמודה של 3232 שניות נמחקה. השכיחויות: 3131 — 2, 3232 — 3, 3333 — 4, 3434 — 7, 3535 — 8, 3636 — 4, 3737 — 2. ד. שיא המחוז לנוער במשחה הזה הוא 26.3826.38 שניות. מהו הפער, בשניות, בין הזמן הטוב ביותר בבית הספר לבין שיא המחוז?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.62

הפתרון:

xmin=31x_{min}=31

הזמן הטוב ביותר הוא הזמן הקצר ביותר

31−26.38=4.6231-26.38=4.62

הפער

הפער הוא 4.624.62 שניות. בתחרות שחייה «טוב ביותר» הוא הזמן הקטן ביותר, ולכן לוקחים את 3131 ולא את 3737.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת