עשירונים, רבעונים ושינוי הנתונים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

תלמידה קיבלה במבחן ארצי את ההודעה: «הציון שלך נמצא בעשירון העליון». היא לא יודעת מה הציון של אף תלמיד אחר, אבל היא יודעת משהו חשוב: לפחות 90%90\% מהנבחנים קיבלו ציון נמוך משלה או שווה לו. עשירונים ורבעונים מחלקים את הנתונים המסודרים לחלקים שווים, כמו שהחציון מחלק אותם לשניים.

עשירונים ורבעונים

העשירון ה-kk, שמסמנים DkD_k, הוא הערך שעד אליו, כולל, נמצאים k⋅10%k \cdot 10\% מהנתונים המסודרים. הרבעונים מחלקים לארבעה: הרבעון התחתון Q1Q_1 ב-25%25\%, והרבעון העליון Q3Q_3 ב-75%75\%. החציון הוא בדיוק D5=Q2D_5=Q_2.

Q1Q_1

25%25\% מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו

Me=Q2=D5\begin{aligned}Me &= Q_2 \\ &= D_5\end{aligned}

50%50\%

Q3Q_3

75%75\%

D9D_9

90%90\%: מכאן מתחיל העשירון העליון

מטבלת שכיחויות מוצאים עשירון בעזרת השכיחות היחסית המצטברת: עוברים על הערכים מהקטן לגדול, ועוצרים בערך הראשון שהשכיחות היחסית המצטברת שלו עוברת את האחוז המבוקש.

ספרים שהשאילו 50 תלמידים מהספרייה בחודש
מספר ספרים012345
מספר תלמידים48121484
שכיחות מצטברת41224384650
שכיחות יחסית מצטברת8%24%48%76%92%100%

רבעונים מטבלה

מצאו את Q1Q_1, את החציון ואת Q3Q_3 של מספר הספרים.

8% 24%<25%<48% ⇒ Q1=2\begin{aligned}8\% \\ \ 24\% < 25\% < 48\% \ \Rightarrow \ Q_1 &= 2\end{aligned}

ב-11 עדיין לא הגענו ל-25%25\%; ב-22 עברנו אותו

48%<50%<76% ⇒ Me=348\% < 50\% < 76\% \ \Rightarrow \ Me=3

החציון: הערך שבו עוברים את 50%50\%

48%<75%<76% ⇒ Q3=348\% < 75\% < 76\% \ \Rightarrow \ Q_3=3

גם 75%75\% נופל בתוך הערך 33

x25=x26=3\begin{aligned}x_{25} &= x_{26} \\ &= 3\end{aligned}

בדיקת החציון בדרך הרגילה: n=50n=50, הנתונים ה-2525 וה-2626

לפי הטבלה: מהו העשירון התשיעי D9D_9? ומה אומר המספר הזה?

להציג את התשובה והפתרון

D9=4D_9=4: השכיחות היחסית המצטברת עוברת את 90%90\% בערך 44 (76%<90%<92%76\% < 90\% < 92\%). כלומר 90%90\% מהתלמידים השאילו 4 ספרים או פחות.

אם השכיחות היחסית המצטברת שווה בדיוק לאחוז המבוקש, העשירון הוא הממוצע של הערך הזה ושל הערך הבא — בדיוק כמו החציון של מספר זוגי של נתונים.

כשכל הנתונים משתנים יחד

המורה הוסיפה 5 נקודות לכל הנבחנים. כל נתון זז 5 ימינה, ולכן כל מדד מרכז זז 5: הממוצע, החציון, השכיח, וגם העשירונים והרבעונים. ואם כל שכר בחברה עולה ב-10%10\%, כלומר מוכפל ב-1.11.1, כל מדד מרכז מוכפל ב-1.11.1.

x→x+cx \to x+c

xˉ→xˉ+c\bar{x} \to \bar{x}+c,  Me→Me+c\ Me \to Me+c,  Mo→Mo+c\ Mo \to Mo+c

x→c⋅xx \to c \cdot x

xˉ→c⋅xˉ\bar{x} \to c \cdot \bar{x},  Me→c⋅Me\ Me \to c \cdot Me,  Mo→c⋅Mo\ Mo \to c \cdot Mo

x→ax+bx \to a x+b

xˉ→axˉ+b\bar{x} \to a\bar{x}+b, וכך גם החציון, השכיח והעשירונים

הממוצע של נתונים הוא 1212 והחציון 1010. כל נתון מוכפל ב-33 ואחר כך מוסיפים לו 22. מה הממוצע החדש ומה החציון החדש?

להציג את התשובה והפתרון

3⋅12+2=383 \cdot 12+2=38 ו-3⋅10+2=323 \cdot 10+2=32. הסדר חשוב: קודם כופלים, אחר כך מוסיפים, בדיוק כמו בכל נתון.

כשרק נתון אחד משתנה

כשרק נתון אחד משתנה, הממוצע משתנה תמיד, כי הסכום משתנה. החציון והשכיח לא חייבים להשתנות: אם הנתון שהשתנה נשאר באותו צד של האמצע, החציון לא זז.

שלוש טעויות של שינוי הנתונים.

xˉnew=10+10=20\begin{aligned}\bar{x}_{new} &= 10+10 \\ &= 20\end{aligned}
xˉnew=10+105=12\begin{aligned}\bar{x}_{new} &= 10+\frac{10}{5} \\ &= 12\end{aligned}

כשנתון אחד עולה ב-10, הממוצע עולה ב-10 חלקי מספר הנתונים. רק כשכל הנתונים עולים ב-10, הממוצע עולה ב-10.

x≥Q3 : 75%x \ge Q_3 \ : \ 75\%
x≤Q3 : 75%x \le Q_3 \ : \ 75\%

הרבעון העליון אומר ש-75%75\% מהנתונים קטנים ממנו או שווים לו, לא גדולים ממנו.

Me(x+5)=Me(x)Me(x+5)=Me(x)
Me(x+5)=Me(x)+5Me(x+5)=Me(x)+5

כשמוסיפים 5 לכל הנתונים, הסדר שלהם לא משתנה, אבל הערכים משתנים, וגם האמצעי ביניהם.

תרגילים

תרגיל 1

ספרים שהשאילו 50 תלמידים מהספרייה בחודש
מספר ספרים012345
מספר תלמידים48121484
שכיחות מצטברת41224384650
שכיחות יחסית מצטברת8%24%48%76%92%100%

לפי הטבלה של 50 התלמידים והספרייה: מצאו את הרבעון התחתון ואת העשירון התשיעי.

Q1=Q_1= ____ , D9=D_9= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: Q1=Q_1= 2 , D9=D_9= 4

הפתרון:

24%<25%<48% ⇒ Q1=224\% < 25\% < 48\% \ \Rightarrow \ Q_1=2

הערך הראשון שעובר את 25%25\%

76%<90%<92% ⇒ D9=476\% < 90\% < 92\% \ \Rightarrow \ D_9=4

הערך הראשון שעובר את 90%90\%

מחפשים את הערך שבו השכיחות היחסית המצטברת עוברת את האחוז. ב-11 היא רק 24%24\%, ולכן Q1Q_1 אינו 11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ציוני 25 תלמידים בבוחן
ציון678910
מספר תלמידים24865

בטבלה: הציונים של 25 תלמידים בבוחן. מצאו את Q1Q_1 ואת Q3Q_3.

Q1=Q_1= ____ , Q3=Q_3= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: Q1=Q_1= 8 , Q3=Q_3= 9

הפתרון:

F: 2, 6, 14, 20, 25F:\ 2,\ 6,\ 14,\ 20,\ 25

השכיחויות המצטברות

8%, 24%, 56%, 80%, 100%8\%,\ 24\%,\ 56\%,\ 80\%,\ 100\%

באחוזים

24%<25%<56% ⇒ Q1=824\% < 25\% < 56\% \ \Rightarrow \ Q_1=8

רבעון תחתון

56%<75%<80% ⇒ Q3=956\% < 75\% < 80\% \ \Rightarrow \ Q_3=9

רבעון עליון

את השכיחות המצטברת הופכים לאחוזים לפני שמשווים ל-25%25\% ול-75%75\%. 66 תלמידים מתוך 2525 הם 24%24\%: קרוב, אבל עוד לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במבחן הבגרות בבית ספר, הרבעון העליון של הציונים הוא 8282. מה המשמעות?

  1. 25%25\% מהנבחנים קיבלו בדיוק 8282
  2. 75%75\% מהנבחנים קיבלו 8282 או פחות
  3. 75%75\% מהנבחנים קיבלו 8282 או יותר
  4. הממוצע של הרבע העליון הוא 8282
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 75%75\% מהנבחנים קיבלו 8282 או פחות

הפתרון:

Q3=82Q_3=82

רבעון עליון: 75%75\% מהנתונים עד אליו, כולל

הנכונה: 75%75\% קיבלו 8282 או פחות. מכאן שלכל היותר 25%25\% קיבלו יותר מ-8282. רבעון הוא מקום בנתונים המסודרים, לא ממוצע של חלק מהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

החציון של כל קבוצת נתונים שווה לעשירון החמישי שלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

Me=D5=Q2\begin{aligned}Me &= D_5 \\ &= Q_2\end{aligned}

שלושתם מסמנים את המקום של 50%50\%

הטענה נכונה. החציון, הרבעון השני והעשירון החמישי הם שלושה שמות לאותו מקום: חצי מהנתונים עד אליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הממוצע של ציוני כיתה במבחן היה 7272. המורה החליטה להוסיף 55 נקודות לכל תלמיד. מה הממוצע החדש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 77

הפתרון:

x→x+5x \to x+5

כל ציון עולה ב-55

xˉ→72+5=77\bar{x} \to 72+5=77

הממוצע עולה באותו מספר

הסכום עלה ב-5⋅n5 \cdot n, ואחרי החלוקה ב-nn נשאר 55. לכן לא צריך לדעת כמה תלמידים יש בכיתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

השכר השעתי החציוני בחנות הוא 4040 ש״ח. כל העובדים קיבלו העלאה של 20%20\%. מהו השכר השעתי החציוני החדש, בש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

x→1.2xx \to 1.2x

העלאה של 20%20\%: כפל ב-1.21.2

Me→1.2⋅40=48Me \to 1.2 \cdot 40=48

החציון מוכפל באותו מספר

העלאה באחוזים היא כפל, לא חיבור. מי שעונה 6060 הוסיף 2020 ש״ח במקום 20%20\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לקבוצת נתונים הממוצע 1010, השכיח 88 והחציון 99. כל נתון xx הוחלף ב-2x+32x+3. השלימו את המדדים החדשים.

ממוצע: ____ , שכיח: ____ , חציון: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ממוצע: 23 , שכיח: 19 , חציון: 21

הפתרון:

2⋅10+3=232 \cdot 10+3=23

ממוצע

2⋅8+3=192 \cdot 8+3=19

שכיח

2⋅9+3=212 \cdot 9+3=21

חציון

שלושת המדדים עוברים אותו שינוי כמו כל נתון. מי שמוסיף 33 לפני הכפל מקבל 2626: הסדר 2x+32x+3 פירושו קודם כפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הממוצע של שישה מספרים הוא 1515. אחד המספרים גדל ב-1212, והשאר לא השתנו. מהו הממוצע החדש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

6⋅15=906 \cdot 15=90

הסכום

90+12=10290+12=102

הסכום החדש

1026=17\frac{102}{6}=17

הממוצע החדש

הממוצע עלה ב-126=2\frac{12}{6}=2, לא ב-1212. תוספת לנתון אחד מתחלקת בין כל הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הממוצע של 10 מספרים הוא 2020. מוחקים את המספר 3838. מהו הממוצע של 9 המספרים שנשארו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

10⋅20=20010 \cdot 20=200

הסכום

200−38=162200-38=162

הסכום אחרי המחיקה

1629=18\frac{162}{9}=18

מחלקים במספר הנתונים החדש

אחרי המחיקה מחלקים ב-99. מי שמחלק ב-1010 מקבל 16.216.2 ושוכח שגם מספר הנתונים קטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הנתונים הם 3, 5, 5, 6, 93,\ 5,\ 5,\ 6,\ 9. משנים את 99 ל-1414. מיינו: מה משתנה ומה לא?

  • משתנה
  • לא משתנה
  • החציון
  • הממוצע
  • השכיח
  • סכום הנתונים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע — משתנה · סכום הנתונים — משתנה · החציון — לא משתנה · השכיח — לא משתנה

הפתרון:

xˉ: 285=5.6 → 335=6.6\begin{aligned}\bar{x}:\ \frac{28}{5} &= 5.6 \ \to \ \frac{33}{5} \\ &= 6.6\end{aligned}

הסכום גדל ב-55, והממוצע ב-11

Me=5Mo=5\begin{aligned}Me &= 5 \\ \quad Mo &= 5\end{aligned}

האמצעי ו-55 החוזר לא זזו

הנתון שהשתנה הוא הגדול ביותר, והוא נשאר בקצה. לכן האמצע והשכיח לא זזים. רק מדד שמשתמש בכל הנתונים, הממוצע, מרגיש את השינוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — נתון ששווה לממוצע

תרגיל 11

במועדון ריצה רשמו כמה דקות רץ כל אחד מ-10 החברים ביום ראשון: 64, 80, 72, 58, 90, 66, 80, 72, 50, 8864,\ 80,\ 72,\ 58,\ 90,\ 66,\ 80,\ 72,\ 50,\ 88. א. חשבו את הממוצע של זמני הריצה (בדקות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72

הפתרון:

64+80+72+58+90+66+80+72+50+88=72064+80+72+58+90+66+80+72+50+88=720

סכום הנתונים

xˉ=72010=72\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{720}{10} \\ &= 72\end{aligned}

מחלקים במספר החברים

הממוצע הוא 7272 דקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במועדון ריצה רשמו כמה דקות רץ כל אחד מ-10 החברים ביום ראשון: 64, 80, 72, 58, 90, 66, 80, 72, 50, 8864,\ 80,\ 72,\ 58,\ 90,\ 66,\ 80,\ 72,\ 50,\ 88. הממוצע הוא 7272 דקות. למועדון מצטרף חבר נוסף, שרץ באותו יום 7272 דקות. ב. מה קרה לממוצע כשהוסיפו את החבר ה-1111?

  1. הממוצע גדל
  2. אי אפשר לדעת בלי לחשב את כל הנתונים מחדש
  3. הממוצע לא השתנה
  4. הממוצע קטן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הממוצע לא השתנה

הפתרון:

72−xˉ=072-\bar{x}=0

הנתון החדש לא גבוה ולא נמוך מהממוצע

xˉnew=720+7211=79211=72\begin{aligned}\bar{x}_{new} &= \frac{720+72}{11} \\ &= \frac{792}{11} \\ &= 72\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: הממוצע לא השתנה. נתון מעל הממוצע «מושך» אותו למעלה, ונתון מתחתיו מושך למטה. נתון ששווה לממוצע לא מושך לשום כיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במועדון ריצה רשמו כמה דקות רץ כל אחד מ-10 החברים ביום ראשון: 64, 80, 72, 58, 90, 66, 80, 72, 50, 8864,\ 80,\ 72,\ 58,\ 90,\ 66,\ 80,\ 72,\ 50,\ 88. למועדון מצטרף חבר נוסף, שרץ באותו יום 7272 דקות. ג. כתבו את רשימת 1111 הזמנים, כולל הזמן של החבר החדש, וחשבו את הממוצע של 1111 החברים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72

הפתרון:

64, 80, 72, 58, 90, 66, 80, 72, 50, 88, 7264,\ 80,\ 72,\ 58,\ 90,\ 66,\ 80,\ 72,\ 50,\ 88,\ 72

הרשימה החדשה

720+72=792720+72=792

הסכום החדש

xˉnew=79211=72\begin{aligned}\bar{x}_{new} &= \frac{792}{11} \\ &= 72\end{aligned}

מחלקים ב-1111, לא ב-1010

הממוצע של 1111 החברים הוא 7272 דקות, בדיוק כמו הממוצע המקורי. הסכום גדל ב-7272 ומספר הנתונים גדל ב-11: 10⋅72+7211=11⋅7211\frac{10 \cdot 72+72}{11}=\frac{11 \cdot 72}{11}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ד. האם הטענה נכונה? «כשמוסיפים לקבוצת נתונים נתון ששווה לממוצע שלה, הממוצע לא משתנה.»

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

n⋅xˉ+xˉn+1=(n+1)xˉn+1=xˉ\begin{aligned}\frac{n \cdot \bar{x}+\bar{x}}{n+1} &= \frac{(n+1)\bar{x}}{n+1} \\ &= \bar{x}\end{aligned}

הסכום החדש הוא n⋅xˉ+xˉn \cdot \bar{x}+\bar{x}

הטענה נכונה, לכל קבוצת נתונים. החישוב הכללי מראה שהממוצע החדש הוא שוב xˉ\bar{x}. מועדון הריצה הוא רק דוגמה אחת לזה, ודוגמה לא מוכיחה טענה כללית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — נתון שנשכח

תרגיל 15

רכזת השכבה חישבה את ממוצע שעות ההתנדבות של התלמידים בשכבה, והתקבל ממוצע של 2424 שעות. אחר כך התברר שהשעות של תלמיד אחד לא נכללו בחישוב, וצריך לצרף אותו. א. אם התלמיד הנוסף התנדב 2424 שעות, מה יקרה לממוצע של כל השכבה?

  1. הממוצע יגדל
  2. הממוצע יקטן
  3. הממוצע לא ישתנה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הממוצע לא ישתנה

הפתרון:

x=xˉ=24\begin{aligned}x &= \bar{x} \\ &= 24\end{aligned}

הנתון הנוסף שווה לממוצע

24n+24n+1=24\frac{24n+24}{n+1}=24

הממוצע החדש

הנכונה: הממוצע לא ישתנה. נתון ששווה לממוצע לא מושך אותו לשום כיוון, ולא משנה כמה תלמידים יש בשכבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

רכזת השכבה חישבה את ממוצע שעות ההתנדבות של התלמידים בשכבה, והתקבל ממוצע של 2424 שעות. אחר כך התברר שהשעות של תלמיד אחד לא נכללו בחישוב, וצריך לצרף אותו. ב. אם התלמיד הנוסף התנדב פחות מ-2424 שעות, מה יקרה לממוצע של כל השכבה?

  1. הממוצע יגדל
  2. הממוצע יקטן
  3. אי אפשר לדעת בלי לדעת כמה תלמידים בשכבה
  4. הממוצע לא ישתנה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הממוצע יקטן

הפתרון:

x<24x<24

הנתון הנוסף מתחת לממוצע

24n+x<24n+24=24(n+1)24n+x<24n+24=24(n+1)

הסכום החדש קטן מ-2424 כפול מספר הנתונים החדש

xˉnew=24n+xn+1<24\bar{x}_{new}=\frac{24n+x}{n+1}<24

ולכן הממוצע החדש קטן מ-2424

הנכונה: הממוצע יקטן. מספר התלמידים משפיע רק על כמה הממוצע יקטן, לא על הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

רכזת השכבה חישבה את ממוצע שעות ההתנדבות של התלמידים בשכבה, והתקבל ממוצע של 2424 שעות. אחר כך התברר שהשעות של תלמיד אחד לא נכללו בחישוב, וצריך לצרף אותו. ג. אחרי שצירפו את התלמיד, ממוצע השעות של השכבה גדל. מה אפשר לומר על מספר השעות של התלמיד הנוסף?

  1. אי אפשר לדעת
  2. הוא קטן מ-2424
  3. הוא גדול מ-2424
  4. הוא שווה ל-2424
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הוא גדול מ-2424

הפתרון:

x=24⇒xˉnew=24\begin{aligned}x &= 24 \Rightarrow \bar{x}_{new} \\ &= 24\end{aligned}

נתון ששווה לממוצע לא משנה אותו

x<24⇒xˉnew<24x<24 \Rightarrow \bar{x}_{new}<24

נתון קטן מהממוצע מקטין אותו

xˉnew>24 ⇒ x>24\bar{x}_{new}>24 \ \Rightarrow \ x>24

נשארה רק אפשרות אחת

הנכונה: גדול מ-2424. זו השאלה ההפוכה של סעיפים א ו-ב: רק נתון שגדול מהממוצע יכול להגדיל אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — משכורות ברשת קפה

תרגיל 18

המשכורות החודשיות של עובדי רשת בתי קפה
משכורת חודשית (ש״ח)50006000700080009000
מספר עובדים231465

בטבלה: המשכורות החודשיות (בשקלים) של 30 העובדים ברשת בתי קפה. א. מצאו את המשכורת הממוצעת ואת המשכורת החציונית של עובדי הרשת.

ממוצע: ____ ש״ח , חציון: ____ ש״ח

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ממוצע: 7300 ש״ח , חציון: 7000 ש״ח

הפתרון:

5000⋅2+6000⋅3+7000⋅14+8000⋅6+9000⋅5=2190005000 \cdot 2+6000 \cdot 3+7000 \cdot 14+8000 \cdot 6+9000 \cdot 5=219000

סכום כל המשכורות

xˉ=21900030=7300\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{219000}{30} \\ &= 7300\end{aligned}

הממוצע

F: 2, 5, 19, …F:\ 2,\ 5,\ 19,\ \dots

השכיחויות המצטברות: העובדים ה-66 עד ה-1919 מקבלים 70007000

Me=x15+x162=7000+70002=7000\begin{aligned}Me &= \frac{x_{15}+x_{16}}{2} \\ &= \frac{7000+7000}{2} \\ &= 7000\end{aligned}

n=30n=30 זוגי

הממוצע 73007300 ש״ח והחציון 70007000 ש״ח. הממוצע גדול מהחציון, כי 1111 העובדים של 80008000 ו-90009000 «מושכים» אותו למעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

המשכורות החודשיות של עובדי רשת בתי קפה
משכורת חודשית (ש״ח)50006000700080009000
מספר עובדים231465

בטבלה: המשכורות החודשיות (בשקלים) של 30 העובדים ברשת בתי קפה. המשכורת הממוצעת היא 73007300 ש״ח. לרשת מצטרפים 88 עובדים חדשים, כולם עם אותה משכורת, והמשכורת הממוצעת לא השתנתה. ב. בלי חישוב: מהי המשכורת של כל אחד מהעובדים החדשים (בש״ח)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7300

הפתרון:

xˉnew=xˉ=7300\begin{aligned}\bar{x}_{new} &= \bar{x} \\ &= 7300\end{aligned}

הממוצע לא השתנה

x=7300x=7300

נתונים ששווים לממוצע הם היחידים שלא משנים אותו

כל עובד חדש מקבל 73007300 ש״ח. אם המשכורת המשותפת הייתה גבוהה מהממוצע, הוא היה גדל. אם נמוכה, הוא היה קטן. רק משכורת ששווה לממוצע משאירה אותו במקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

המשכורות החודשיות של עובדי רשת בתי קפה
משכורת חודשית (ש״ח)50006000700080009000
מספר עובדים231465

בטבלה: המשכורות החודשיות (בשקלים) של 30 העובדים ברשת בתי קפה. לרשת הצטרפו 88 עובדים חדשים, כל אחד עם משכורת של 73007300 ש״ח. ג. (1) מהי המשכורת החציונית אחרי שהצטרפו 88 העובדים (בש״ח)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7150

הפתרון:

n=30+8=38 ⇒ Me=x19+x202\begin{aligned}n &= 30+8 \\ &= 38 \ \Rightarrow \ Me \\ &= \frac{x_{19}+x_{20}}{2}\end{aligned}

עכשיו 3838 עובדים, מספר זוגי

x≤7000: 2+3+14=19x \leq 7000:\ 2+3+14=19

העובד ה-1919 מקבל 70007000

x20=7300x_{20}=7300

העובד ה-2020 הוא הראשון מבין החדשים

Me=7000+73002=7150\begin{aligned}Me &= \frac{7000+7300}{2} \\ &= 7150\end{aligned}

החציון החדש

החציון החדש הוא 71507150 ש״ח. הממוצע לא זז, אבל החציון כן: העובדים החדשים נכנסו מעל 70007000, ודחפו את האמצע של הרשימה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

המשכורות החודשיות של עובדי רשת בתי קפה
משכורת חודשית (ש״ח)50006000700080009000
מספר עובדים231465

בטבלה: המשכורות החודשיות (בשקלים) של 30 העובדים ברשת בתי קפה. לרשת הצטרפו 88 עובדים חדשים, כל אחד עם משכורת של 73007300 ש״ח, והמשכורת החציונית של 3838 העובדים היא עכשיו 71507150 ש״ח. ג. (2) הרשת מתכננת לקלוט עוד עובד אחד. מה צריכה להיות המשכורת שלו (בש״ח) כדי שהמשכורת החציונית לא תשתנה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7150

הפתרון:

n=39 ⇒ Me=x20\begin{aligned}n &= 39 \ \Rightarrow \ Me \\ &= x_{20}\end{aligned}

מספר אי-זוגי: החציון הוא נתון אחד, האמצעי

x19=7000x20=7300\begin{aligned}x_{19} &= 7000 \\ \quad x_{20} &= 7300\end{aligned}

שני הנתונים האמצעיים לפני העובד הנוסף

7000<x<7300 ⇒ x20=x7000<x<7300 \ \Rightarrow \ x_{20}=x

עובד שמשכורתו בין שני האמצעיים נכנס בדיוק לאמצע

x=7150x=7150

כדי שהחציון יישאר 71507150

המשכורת צריכה להיות 71507150 ש״ח. עם 3939 עובדים החציון הוא נתון אחד מהרשימה, ולכן הוא חייב להיות בדיוק 71507150: העובד הנוסף עצמו. משכורת אחרת תיתן חציון אחר: 70007000 אם היא לכל היותר 70007000, 73007300 אם היא לפחות 73007300, ואחרת המשכורת עצמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת