מדדי פיזור · סטטיסטיקה תיאורית · כיתה י׳

שתי כיתות, שבעה תלמידים בכל אחת, ואותו ממוצע בדיוק. האם הכיתות דומות? הסתכלו על הנקודות.

הציונים של שבעה תלמידים בכל כיתה

כיתה א
כיתה ב

לשתי הכיתות אותו ממוצע,

75

. אבל בכיתה א כל הציונים צפופים סביבו, ובכיתה ב הם מפוזרים מ-

55

עד

95

איזו כיתה «אחידה» יותר? ומה ההפרש בין הציון הגבוה לנמוך בכל כיתה?

להציג את התשובה והפתרון

כיתה א אחידה יותר. ההפרש בכיתה א: $80-70=10$ . בכיתה ב: $95-55=40$ . מדד מרכז לבד לא מספר את כל הסיפור: צריך גם מדד פיזור.

הטווח

R = x_{max} - x_{min}

הטווח הוא ההפרש בין הנתון הגדול ביותר לקטן ביותר. הוא קל לחישוב, אבל משתמש רק בשני נתונים: נתון קיצוני אחד משנה אותו לגמרי, והוא לא אומר כלום על כל מה שבאמצע.

השונות וסטיית התקן

מדד טוב יותר מודד כמה כל נתון רחוק מהממוצע. את ההפרשים $x-\bar{x}$ אי אפשר פשוט לחבר: סכומם תמיד $0$ , כי מה שמעל הממוצע מאזן את מה שמתחתיו. לכן מעלים כל הפרש בחזקת 2, ומחשבים את הממוצע שלהם. זו השונות. השורש שלה הוא סטיית התקן, והיא באותן יחידות כמו הנתונים.

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n} \qquad \sigma \\ &= \sqrt{\sigma^2}\end{aligned}

סטיית התקן של חמישה נתונים

מצאו את השונות ואת סטיית התקן של $9,\ 11,\ 12,\ 13,\ 15$ .

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{60}{5} \\ &= 12\end{aligned}

קודם הממוצע

x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3

ההפרשים. בדיקה: הסכום $0$

(x-\bar{x})^2:\ 9,\ 1,\ 0,\ 1,\ 9

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{20}{5} \\ &= 4\end{aligned}

השונות: ממוצע ההפרשים בחזקת 2

\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית התקן

מהי סטיית התקן של $6,\ 6,\ 6,\ 6$ ? ומה אפשר לומר על נתונים שסטיית התקן שלהם $0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\sigma=0$ : כל ההפרשים מהממוצע הם $0$ . ולהפך: אם $\sigma=0$ , כל ההפרשים בחזקת 2 הם $0$ , ולכן כל הנתונים שווים.

מטבלת שכיחויות כל הפרש בחזקת 2 נספר כמספר השכיחות שלו, ומחלקים ב- $n$ , מספר כל הנתונים. בטבלה לפי מחלקות משתמשים שוב באמצע כל מחלקה.

\sigma^2=\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{n}

סטיית תקן מטבלה

בטבלה: מספר ההקפות שרצו 16 תלמידים. $1$ — 2 תלמידים, $3$ — 3, $5$ — 3, $7$ — 1, $9$ — 7.

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1 \cdot 2+3 \cdot 3+5 \cdot 3+7 \cdot 1+9 \cdot 7}{16} \\ &= \frac{96}{16} \\ &= 6\end{aligned}

הממוצע

2 \cdot 25+3 \cdot 9+3 \cdot 1+1 \cdot 1+7 \cdot 9=144

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{144}{16} \\ &= 9 \\ \quad \sigma &= 3\end{aligned}

שונות וסטיית תקן

כשכל הנתונים משתנים יחד

x \to x+c

הנתונים זזים יחד, והמרחקים ביניהם לא משתנים: $R$ , $\sigma$ ו- $\sigma^2$ לא משתנים

x \to c \cdot x

כל מרחק מוכפל ב- $|c|$ : $R \to |c| R$ , $\ \sigma \to |c| \sigma$ , $\ \sigma^2 \to c^2 \sigma^2$

לנתונים סטיית תקן $4$ . כל נתון מוכפל ב- $3$ ואחר כך מוסיפים לו $10$ . מהן סטיית התקן והשונות החדשות?

להציג את התשובה והפתרון

$\sigma=3 \cdot 4=12$ : הכפל משנה, התוספת לא. השונות $12^2=144$ , כלומר $9$ פעמים השונות הקודמת $16$ .

השוואה בין שתי קבוצות

משווים שתי קבוצות בשני שלבים: מדד מרכז אומר איזו קבוצה «גבוהה» יותר, ומדד פיזור אומר איזו אחידה יותר. קבוצה עם סטיית תקן קטנה יותר היא הומוגנית יותר: הנתונים שלה קרובים יותר לממוצע.

ביתרונות ובמגבלות: הטווח קל אבל רואה רק שני נתונים. סטיית התקן משתמשת בכל הנתונים ונמדדת ביחידות של הנתונים, אבל גם היא רגישה לנתון קיצוני, כי ההפרש שלו מועלה בחזקת 2.

שלוש טעויות של הפיזור.

\sigma(x+10)=\sigma(x)+10

\sigma(x+10)=\sigma(x)

תוספת קבועה מזיזה את כל הנתונים יחד. המרחקים מהממוצע לא משתנים, ולכן גם לא סטיית התקן.

\sigma(3x)=9\sigma(x)

\sigma(3x)=3\sigma(x)

פי $9$ זו השונות. סטיית התקן היא שורש השונות, ולכן היא גדלה פי $3$ .

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{(-3)+(-1)+0+1+3}{5} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{9+1+0+1+9}{5} \\ &= 4\end{aligned}

בלי ההעלאה בחזקת 2 ההפרשים מבטלים זה את זה, והסכום תמיד $0$ .

תרגילים

תרגיל 1

אלה המהירויות (בקמ״ש) של 7 רוכבי אופניים בתחרות: $34,\ 51,\ 28,\ 47,\ 39,\ 62,\ 45$ . מהו הטווח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 34

הפתרון:

\begin{aligned}x_{max} &= 62 \\ \quad x_{min} &= 28\end{aligned}

הגדול והקטן ביותר

\begin{aligned}R &= 62-28 \\ &= 34\end{aligned}

הטווח

הטווח הוא הפרש בין הקצוות, לא בין הנתון הראשון לאחרון ברשימה ( $45-34$ ). קודם מוצאים את הגדול ואת הקטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את השונות של הנתונים $3,\ 7,\ 11,\ 19,\ 25$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{65}{5} \\ &= 13\end{aligned}

הממוצע

x-\bar{x}:\ -10,\ -6,\ -2,\ 6,\ 12

ההפרשים, וסכומם $0$

100+36+4+36+144=320

ההפרשים בחזקת 2

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{320}{5} \\ &= 64\end{aligned}

השונות

השונות היא $64$ , וסטיית התקן $8$ . שימו לב איזו מהן מבקשים: השונות נמדדת ביחידות בחזקת 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את סטיית התקן של הנתונים $3,\ 8,\ 8,\ 11,\ 18,\ 24$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{72}{6} \\ &= 12\end{aligned}

הממוצע

81+16+16+1+36+144=294

ההפרשים $-9,\ -4,\ -4,\ -1,\ 6,\ 12$ בחזקת 2

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{294}{6} \\ &= 49\end{aligned}

השונות

\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}

סטיית התקן

ה- $8$ מופיע פעמיים, ושני ההפרשים שלו נכנסים לסכום. והשורש בסוף הוא מה שהופך שונות לסטיית תקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מספר פעמים	0	2	4	6	8
מספר תלמידים	2	7	1	1	5

בטבלה: מספר הפעמים ש-16 תלמידים הלכו לבריכה בחודש. הממוצע הוא $4$ . מצאו את סטיית התקן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{0 \cdot 2+2 \cdot 7+4 \cdot 1+6 \cdot 1+8 \cdot 5}{16} \\ &= \frac{64}{16} \\ &= 4\end{aligned}

בדיקת הממוצע

2 \cdot 16+7 \cdot 4+1 \cdot 0+1 \cdot 4+5 \cdot 16=144

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{144}{16} \\ &= 9 \\ \quad \sigma &= 3\end{aligned}

שונות, ואז שורש

מחלקים ב- $16$ , מספר התלמידים, ולא ב- $5$ , מספר הערכים. ומי שעוצר ב- $9$ נתן את השונות ולא את סטיית התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

זמן ההמתנה בתור

זמן המתנה (דקות)	0-10	10-20	20-30	30-40
מספר אנשים	5	10	15	10

בטבלה: מספר הדקות ש-40 אנשים חיכו בתור בקופת חולים. הממוצע לפי אמצעי המחלקות הוא $22.5$ . חשבו את סטיית התקן לפי אמצעי המחלקות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.68

הפתרון:

5,\ 15,\ 25,\ 35

אמצעי המחלקות

(-17.5)^2,\ (-7.5)^2,\ 2.5^2,\ 12.5^2

ההפרשים מ- $22.5$ , בחזקת 2: $306.25,\ 56.25,\ 6.25,\ 156.25$

5 \cdot 306.25+10 \cdot 56.25+15 \cdot 6.25+10 \cdot 156.25=3750

כפול השכיחויות

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{3750}{40} \\ &= 93.75 \\ \quad \sigma &= \sqrt{93.75} \approx 9.68\end{aligned}

שונות וסטיית תקן

כל אנשי המחלקה $10-20$ «עומדים» באמצע, $15$ . לכן זו הערכה של סטיית התקן, כמו שהממוצע לפי מחלקות הוא הערכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לקבוצת נתונים סטיית תקן $4$ . מוסיפים $10$ לכל נתון. מהי סטיית התקן החדשה?

$14$
$4$
$40$
$16$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $4$

הפתרון:

x \to x+10

כל הנתונים זזים יחד

\bar{x} \to \bar{x}+10

גם הממוצע זז

(x+10)-(\bar{x}+10)=x-\bar{x}

ההפרשים לא משתנים

הנכונה: $4$ . הממוצע עולה ב- $10$ , אבל המרחק של כל נתון מהממוצע נשאר אותו מרחק. $14$ מוסיף את התוספת גם לפיזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לקבוצת נתונים הממוצע $20$ וסטיית התקן $5$ . כל נתון $x$ מוחלף ב- $3x-4$ . השלימו.

ממוצע: ____ , סטיית תקן: ____ , שונות: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ממוצע: 56 , סטיית תקן: 15 , שונות: 225

הפתרון:

3 \cdot 20-4=56

הממוצע עובר את השינוי כולו

3 \cdot 5=15

סטיית התקן מוכפלת ב- $3$ , וה- $-4$ לא משפיע

15^2=225

השונות: פי $9$ מ- $25$

הממוצע מרגיש גם את הכפל וגם את החיסור. סטיית התקן מרגישה רק את הכפל. ומי שעונה $11$ בסטיית התקן החיל עליה גם את ה- $-4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בשתי כיתות נמדד מספר שעות השינה בלילה. ב-י1: ממוצע $7.5$ , סטיית תקן $0.6$ . ב-י2: ממוצע $7.5$ , סטיית תקן $1.4$ . מה נכון?

י2 ישנה יותר
הכיתות ישנות בממוצע אותו זמן, ו-י1 הומוגנית יותר
י1 ישנה יותר
אי אפשר להשוות, כי הממוצעים שווים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הכיתות ישנות בממוצע אותו זמן, ו-י1 הומוגנית יותר

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x}_1 &= \bar{x}_2 \\ &= 7.5\end{aligned}

מדד המרכז: אין הבדל

0.6 < 1.4

מדד הפיזור: ב-י1 שעות השינה קרובות יותר לממוצע

הנכונה: הממוצעים שווים, ו-י1 הומוגנית יותר. סטיית תקן גדולה אינה אומרת «יותר שינה»: היא אומרת «יותר הבדלים בין התלמידים».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נכון או לא נכון: אם סטיית התקן של קבוצת נתונים היא $0$ , כל הנתונים שווים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\sigma &= 0 \ \Rightarrow \ \sum (x-\bar{x})^2 \\ &= 0\end{aligned}

סכום של מספרים אי-שליליים שווה $0$

x-\bar{x}=0

לכן כל הפרש הוא $0$ , וכל נתון שווה לממוצע

הטענה נכונה. כל הפרש מועלה בחזקת 2, ולכן אינו שלילי. סכום של מספרים לא שליליים מתאפס רק כשכל אחד מהם אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לארבע הקבוצות הבאות אותו ממוצע, $10$ . לאיזו מהן סטיית התקן הגדולה ביותר? ענו בלי לחשב.

$8,\ 9,\ 11,\ 12$
$10,\ 10,\ 10,\ 10$
$9,\ 10,\ 10,\ 11$
$4,\ 6,\ 14,\ 16$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $4,\ 6,\ 14,\ 16$

הפתרון:

|x-10|:\ 6,\ 4,\ 4,\ 6

בקבוצה הזאת כל נתון רחוק מהממוצע

|x-10|:\ 2,\ 1,\ 1,\ 2

כאן כולם קרובים

\sigma(10,\ 10,\ 10,\ 10)=0

בלי פיזור בכלל

הנכונה: $4,\ 6,\ 14,\ 16$ . סטיית התקן מודדת כמה הנתונים רחוקים מהממוצע, והקבוצה הזאת רחוקה ממנו בכל ארבעת הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הטווח

השונות וסטיית התקן

כשכל הנתונים משתנים יחד

השוואה בין שתי קבוצות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev