פותרים יחד · סטטיסטיקה תיאורית · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: טבלה עם שכיחות חסרה, היסטוגרמה, סטיית תקן והשוואה, שינוי של כל הנתונים, ובניית נתונים לפי המדדים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — טבלה עם שכיחות חסרה

כמה פעמים הלכו לקולנוע בחודש

מספר פעמים	0	1	2	3	4
מספר חברים	2	x	4	5	2

פעילות אינטראקטיבית

20 חברי מועדון רשמו כמה פעמים הלכו לקולנוע בחודש האחרון. אחת השכיחויות חסרה. א. מצאו את $x$ אם ידוע שהממוצע הוא $1.9$ . ב. מצאו את החציון ואת השכיח.

\bar{x}=1.9

לחצו «להתחיל». הנעלם נמצא גם במונה וגם במכנה של הממוצע.

א. הממוצע

\frac{0 \cdot 2+1 \cdot x+2 \cdot 4+3 \cdot 5+4 \cdot 2}{2+x+4+5+2}=\frac{31+x}{13+x}

ערך כפול שכיחות, חלקי מספר החברים.

א. משוואה

\begin{aligned}\frac{31+x}{13+x} &= 1.9 \ \Rightarrow \ 31+x \\ &= 24.7+1.9x\end{aligned}

כופלים במכנה.

א. פתרון

\begin{aligned}6.3 &= 0.9x \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

בדיקה: $2+7+4+5+2=20$ חברים ✓

ב. חציון

\begin{aligned}n &= 20:\ x_{10} \\ \ x_{11};\quad F:\ 2 \\ \ 9 \\ \ 13\end{aligned}

השכיחויות המצטברות. הנתונים ה- $10$ עד ה- $13$ הם כולם $2$ .

ב. חציון

\begin{aligned}Me &= \frac{2+2}{2} \\ &= 2\end{aligned}

שני הנתונים האמצעיים שווים.

ב. שכיח

Mo=1

השכיחות הגדולה ביותר, $7$ , שייכת לערך $1$ .

שלושה מדדים, שלוש תשובות שונות: $\bar{x}=1.9$ , $Me=2$ , $Mo=1$ . כל אחד עונה על שאלה אחרת.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה החציון אינו $2.5$ , אף שהערכים הם $0$ עד $4$ והאמצעי ביניהם הוא $2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

החציון הוא האמצעי של 20 הנתונים, לא של 5 הערכים. שני הנתונים האמצעיים, העשירי והאחד-עשר, שניהם $2$ . במקרה כאן גם אמצע הערכים הוא $2$ , אבל זה מקרה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — היסטוגרמה ומחלקות

משקל התיקים של 40 תלמידים

פעילות אינטראקטיבית

בהיסטוגרמה: משקל התיקים של 40 תלמידים. א. מהי המחלקה השכיחה? ב. באיזו מחלקה נמצא החציון? ג. חשבו את המשקל הממוצע לפי אמצעי המחלקות. ד. איזה אחוז מהתלמידים נושאים תיק של 8 ק״ג או יותר?

n=40

לחצו «להתחיל». כל עמודה היא מחלקה ברוחב 2 ק״ג.

א.

f_{max}=14 \ \Rightarrow \ 6-8

העמודה הגבוהה ביותר.

ב.

x_{20},\ x_{21};\quad F:\ 6,\ 18,\ 32

הנתון ה- $18$ הוא האחרון במחלקה $4-6$ , ולכן ה- $20$ וה- $21$ שניהם במחלקה $6-8$ .

ג. אמצעים

3,\ 5,\ 7,\ 9

אמצע כל מחלקה.

ג.

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{3 \cdot 6+5 \cdot 12+7 \cdot 14+9 \cdot 8}{40} \\ &= \frac{248}{40} \\ &= 6.2\end{aligned}

ממוצע משוער, בק״ג.

ד.

\frac{8}{40}=20\%

רק המחלקה $8-10$ .

כאן המחלקה השכיחה ומחלקת החציון יצאו אותה מחלקה, $6-8$ . זה לא חייב לקרות, ובודקים כל אחת בנפרד.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם אפשר לדעת מההיסטוגרמה מהו המשקל הכבד ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

לא. יודעים רק שהוא נמצא במחלקה $8-10$ , כלומר פחות מ-10 ק״ג. הערכים המדויקים אבדו כשקיבצו למחלקות.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — סטיית תקן והשוואה בין קבוצות

שבט א: שעות התנדבות בחודש

שעות התנדבות	1	3	5	7	9
מספר חניכים	7	5	3	1	4

פעילות אינטראקטיבית

בטבלה: שעות ההתנדבות בחודש של 20 חניכים בשבט א. א. מצאו את הממוצע. ב. מצאו את סטיית התקן. ג. בשבט ב הממוצע $4$ שעות וסטיית התקן $2$ . באיזה שבט החניכים אחידים יותר?

\sigma_B=2

לחצו «להתחיל». סטיית התקן צריכה קודם את הממוצע.

א.

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1 \cdot 7+3 \cdot 5+5 \cdot 3+7 \cdot 1+9 \cdot 4}{20} \\ &= \frac{80}{20} \\ &= 4\end{aligned}

ערך כפול שכיחות.

ב. הפרשים

x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 1,\ 3,\ 5

לכל ערך בטבלה.

ב. סכום

7 \cdot 9+5 \cdot 1+3 \cdot 1+1 \cdot 9+4 \cdot 25=180

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2.

ב.

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{180}{20} \\ &= 9 \\ \quad \sigma &= 3\end{aligned}

מחלקים ב- $n=20$ , ואז שורש.

ג.

\begin{aligned}\bar{x}_A &= \bar{x}_B \\ &= 4 \\ \quad \sigma_A &= 3 > \sigma_B \\ &= 2\end{aligned}

מרכז שווה, פיזור שונה.

המסקנה: שבט ב אחיד יותר. הממוצעים שווים, ובשבט ב שעות ההתנדבות קרובות יותר לממוצע.

לעשות את הפעילות ב-elev

בשבט א ארבעה חניכים התנדבו $9$ שעות. איך הם משפיעים על סטיית התקן?

להציג את התשובה והפתרון

הם הרחוקים ביותר מהממוצע: ההפרש שלהם $5$ , ובחזקת 2 הוא $25$ . ארבעתם תורמים $100$ מתוך $180$ , יותר מחצי. נתונים רחוקים מהממוצע שולטים בסטיית התקן.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — כשכל הנתונים משתנים

פעילות אינטראקטיבית

העלאה באחוזים ותוספת קבועה

השכר השעתי של עובדי מסעדה: ממוצע $45$ ש״ח, חציון $42$ ש״ח, סטיית תקן $6$ ש״ח. הבעלים העלו לכל עובד את השכר ב- $10\%$ , ואחר כך הוסיפו לכל עובד $2$ ש״ח. מצאו את הממוצע, החציון וסטיית התקן החדשים.

ממוצע $51.5$ , חציון $48.2$ , סטיית תקן $6.6$

ממוצע $51.5$ , חציון $48.2$ , סטיית תקן $8.6$

ממוצע $51.7$ , חציון $48.4$ , סטיית תקן $6.6$

ממוצע $57$ , חציון $54$ , סטיית תקן $18$

איך כותבים את השינוי של כל נתון?

$x \to 1.1x+2$

להציג את התשובה והפתרון

העלאה של $10\%$ היא כפל ב- $1.1$ , ואחריה התוספת.

$x \to 1.1(x+2)$

להציג את התשובה והפתרון

כך הייתה התוספת באה לפני ההעלאה. בשאלה היא באה אחריה.

$x \to x+10+2$

להציג את התשובה והפתרון

$10\%$ אינם $10$ ש״ח.

x \to 1.1x+2

כפל ואז חיבור

מה קורה לממוצע ולחציון?

שניהם עוברים אותו שינוי: $1.1 \cdot 45+2$ ו- $1.1 \cdot 42+2$

להציג את התשובה והפתרון

כל מדד מרכז עובר את השינוי של כל נתון.

רק הממוצע משתנה

להציג את התשובה והפתרון

כשכל הנתונים זזים, גם הנתון האמצעי זז.

\begin{aligned}\bar{x} &= 1.1 \cdot 45+2 \\ &= 51.5 \\ \quad Me &= 1.1 \cdot 42+2 \\ &= 48.2\end{aligned}

מדדי המרכז

ומה קורה לסטיית התקן?

רק הכפל משפיע: $1.1 \cdot 6$

להציג את התשובה והפתרון

התוספת מזיזה את כולם יחד ולא משנה מרחקים.

$1.1 \cdot 6+2$

להציג את התשובה והפתרון

התוספת של $2$ לא משנה את המרחקים מהממוצע.

\begin{aligned}\sigma &= 1.1 \cdot 6 \\ &= 6.6\end{aligned}

מדד הפיזור

להציג את התשובה והפתרון

ממוצע $51.5$ , חציון $48.2$ , סטיית תקן $6.6$ . מי שבחר $8.6$ הוסיף את ה- $2$ גם לסטיית התקן. מי שבחר $51.7$ הוסיף את ה- $2$ לפני ההעלאה.

לעשות את הפעילות ב-elev

ומה קרה לשונות?

להציג את התשובה והפתרון

היא הייתה $6^2=36$ , ועכשיו $6.6^2=43.56$ : פי $1.1^2=1.21$ . השונות מוכפלת בריבוע של מקדם הכפל.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — בונים נתונים לפי המדדים

פעילות אינטראקטיבית

ארבעה שכרים

השכר השעתי של ארבעה עובדים הוא מספר שלם של שקלים. הממוצע $50$ ש״ח, השכיח $40$ ש״ח והחציון $45$ ש״ח. מצאו את ארבעת השכרים.

$40,\ 40,\ 50,\ 70$

$40,\ 40,\ 45,\ 75$

$40,\ 45,\ 45,\ 70$

$40,\ 40,\ 40,\ 80$

מסדרים: $a \le b \le c \le d$ . מה אומר השכיח $40$ ?

$40$ מופיע לפחות פעמיים, ולכן $a=b=40$

להציג את התשובה והפתרון

אם $b=c=40$ , החציון היה $40$ ולא $45$ .

רק $a=40$

להציג את התשובה והפתרון

ערך שמופיע פעם אחת אינו שכיח כשאין עוד ערך חוזר.

\begin{aligned}a &= b \\ &= 40\end{aligned}

השכיח קובע את שני הקטנים

מה אומר החציון $45$ ?

$\frac{b+c}{2}=45$ , ולכן $c=50$

להציג את התשובה והפתרון

ארבעה נתונים: החציון הוא הממוצע של השני והשלישי.

$c=45$

להציג את התשובה והפתרון

בארבעה נתונים החציון הוא ממוצע של שניים, לא נתון אחד.

\begin{aligned}\frac{40+c}{2} &= 45 \ \Rightarrow \ c \\ &= 50\end{aligned}

החציון קובע את השלישי

ומה אומר הממוצע $50$ ?

הסכום $200$ , ולכן $d=200-40-40-50=70$

להציג את התשובה והפתרון

ממוצע כפול מספר הנתונים הוא הסכום.

$d=50$

להציג את התשובה והפתרון

אז הסכום היה $180$ והממוצע $45$ .

\begin{aligned}40+40+50+d &= 200 \ \Rightarrow \ d \\ &= 70\end{aligned}

הממוצע קובע את הרביעי

להציג את התשובה והפתרון

$40,\ 40,\ 50,\ 70$ . בדיקה: ממוצע $\frac{200}{4}=50$ ✓, שכיח $40$ ✓, חציון $\frac{40+50}{2}=45$ ✓. באפשרות $40,\ 40,\ 40,\ 80$ החציון $40$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם אפשר לבנות חמישה נתונים שהממוצע שלהם $10$ והחציון שלהם גדול מהממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

כן. למשל $1,\ 11,\ 12,\ 13,\ 13$ : הסכום $50$ , הממוצע $10$ , והחציון $12$ . נתון קטן אחד מושך את הממוצע למטה, והחציון לא זז.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

מספר משחקים	0	1	2	3	4
מספר שחקנים	2	x	3	4	5

בטבלה: מספר המשחקים בשבוע של שחקנים בליגת נוער. אחת השכיחויות חסרה, והממוצע הוא $2.2$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\frac{0 \cdot 2+1 \cdot x+2 \cdot 3+3 \cdot 4+4 \cdot 5}{14+x}=\frac{38+x}{14+x}

ממוצע מטבלה

\begin{aligned}38+x &= 2.2(14+x) \\ &= 30.8+2.2x\end{aligned}

כופלים במכנה

\begin{aligned}7.2 &= 1.2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

פותרים. בדיקה: $\frac{38+6}{20}=2.2$ ✓

המכנה הוא $14+x$ : גם השחקנים החסרים נספרים. מי שמחלק ב- $14$ מקבל משוואה בלי פתרון שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גילי המבקרים

גיל	0-20	20-40	40-60	60-80
מספר מבקרים	8	12	14	6

בטבלה: הגילים של 40 מבקרים במוזיאון בירושלים. חשבו את הגיל הממוצע לפי אמצעי המחלקות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 39

הפתרון:

10,\ 30,\ 50,\ 70

אמצעי המחלקות

10 \cdot 8+30 \cdot 12+50 \cdot 14+70 \cdot 6=1560

אמצע כפול שכיחות

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1560}{40} \\ &= 39\end{aligned}

ממוצע משוער

אמצע המחלקה $20-40$ הוא $30$ . מי שמשתמש בקצה התחתון של כל מחלקה מקבל $29$ , ממוצע נמוך מדי בדיוק בחצי רוחב מחלקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מספר טיולים	0	2	4	6	8
מספר משפחות	2	7	5	1	1

בטבלה: מספר הטיולים השנתיים של 16 משפחות. הממוצע הוא $3$ . מצאו את סטיית התקן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{0+14+20+6+8}{16} \\ &= 3\end{aligned}

בדיקת הממוצע

2 \cdot 9+7 \cdot 1+5 \cdot 1+1 \cdot 9+1 \cdot 25=64

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{64}{16} \\ &= 4 \\ \quad \sigma &= 2\end{aligned}

שונות, ואז שורש

השונות $4$ והתשובה $2$ . מי שכותב $4$ שכח את השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לקבוצת נתונים הממוצע $30$ וסטיית התקן $4$ . כל נתון $x$ מוחלף ב- $0.5x+10$ . השלימו.

ממוצע: ____ , סטיית תקן: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ממוצע: 25 , סטיית תקן: 2

הפתרון:

0.5 \cdot 30+10=25

הממוצע עובר את כל השינוי

0.5 \cdot 4=2

סטיית התקן: רק הכפל

הכפל ב- $0.5$ מקרב את כל הנתונים זה לזה, ולכן הפיזור קטן. התוספת של $10$ מזיזה, ולא משנה את הפיזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

השכר השעתי של ארבעה עובדים הוא מספר שלם של שקלים. הממוצע $60$ ש״ח, השכיח $50$ ש״ח והחציון $55$ ש״ח. מצאו את השכר השלישי ואת השכר הגבוה ביותר, בסדר עולה.

השכרים: $50,\ 50,$ ____ $,$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השכרים: $50,\ 50,$ 60 $,$ 80

הפתרון:

\begin{aligned}a &= b \\ &= 50\end{aligned}

השכיח: שני הקטנים

\begin{aligned}\frac{50+c}{2} &= 55 \ \Rightarrow \ c \\ &= 60\end{aligned}

החציון

\begin{aligned}4 \cdot 60 &= 240 \ \Rightarrow \ d \\ &= 240-160 \\ &= 80\end{aligned}

הממוצע: הסכום

כל מדד קובע נתון אחד: השכיח את שני הקטנים, החציון את השלישי, הממוצע את הרביעי. בדיקה: $50+50+60+80=240$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — טבלה עם שכיחות חסרה

2 — היסטוגרמה ומחלקות

3 — סטיית תקן והשוואה בין קבוצות

4 — כשכל הנתונים משתנים

5 — בונים נתונים לפי המדדים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev