סדרה 3 — מאתגר · סטטיסטיקה תיאורית · כיתה י׳

עשר שאלות שבהן צריך לבחור את הכלי הנכון: שכיחות חסרה, סכומים במקום ממוצעים, סטיית תקן מטבלה, עשירונים, תיקון שגיאה, מחלקה פתוחה.

כשמופיע ממוצע, חשבו על הסכום: ממוצע כפול מספר הנתונים. רוב השאלות בסדרה הזאת נפתרות דרכו.

תרגילים

תרגיל 1

מספר סרטים	1	2	3	4	5
מספר חברים	4	x	6	5	3

בטבלה: מספר הסרטים שראו חברי מועדון קולנוע בחודש. אחת השכיחויות חסרה, ומספר הסרטים הממוצע הוא $3$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\frac{1 \cdot 4+2x+3 \cdot 6+4 \cdot 5+5 \cdot 3}{18+x}=\frac{57+2x}{18+x}

ממוצע מטבלה

\begin{aligned}57+2x &= 3(18+x) \\ &= 54+3x\end{aligned}

כופלים במכנה

x=3

פותרים

גם במכנה יש $x$ . בדיקה: $\frac{57+6}{21}=3$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ב-י3 24 תלמידים, והממוצע שלהם במבחן $78$ . ב-י4 16 תלמידים. הממוצע של כל 40 התלמידים הוא $81$ . מהו הממוצע של י4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 85.5

הפתרון:

40 \cdot 81=3240

סכום כל הציונים

24 \cdot 78=1872

סכום הציונים של י3

\begin{aligned}\frac{3240-1872}{16} &= \frac{1368}{16} \\ &= 85.5\end{aligned}

הממוצע של י4

עובדים עם סכומים, לא עם ממוצעים: ממוצע כפול מספר התלמידים. מי שפותר $\frac{78+y}{2}=81$ מקבל $84$ ומתעלם מגודל הכיתות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מספר כוסות	1	2	3	4	5
מספר ספורטאים	2	5	6	5	2

בטבלה: מספר כוסות המים ששתו 20 ספורטאים בזמן אימון. מצאו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.14

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{2+10+18+20+10}{20} \\ &= 3\end{aligned}

הממוצע

2 \cdot 4+5 \cdot 1+6 \cdot 0+5 \cdot 1+2 \cdot 4=26

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{26}{20} \\ &= 1.3 \\ \quad \sigma &= \sqrt{1.3} \approx 1.14\end{aligned}

שונות ושורש

מעגלים רק בסוף. מי שמעגל את השונות ל- $1$ לפני השורש מקבל $1$ במקום $1.14$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מספר אחים	1	2	3	4	5	6
מספר משתתפים	3	6	10	11	7	3

בטבלה: מספר האחים של 40 משתתפים בטיול שנתי. מצאו את העשירון הראשון ואת העשירון התשיעי.

$D_1=$ ____ , $D_9=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D_1=$ 2 , $D_9=$ 5

הפתרון:

F:\ 3,\ 9,\ 19,\ 30,\ 37,\ 40

השכיחויות המצטברות

7.5\%,\ 22.5\%,\ 47.5\%,\ 75\%,\ 92.5\%,\ 100\%

באחוזים

7.5\% < 10\% < 22.5\% \ \Rightarrow \ D_1=2

העשירון הראשון

75\% < 90\% < 92.5\% \ \Rightarrow \ D_9=5

העשירון התשיעי

העשירון הראשון אינו $1$ : רק $7.5\%$ מהמשתתפים הם עם אח אחד, פחות מ- $10\%$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הממוצע של 20 ציונים חושב כ- $75$ . אחר כך התגלה שציון אחד נרשם $58$ במקום $85$ . מהו הממוצע הנכון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 76.35

הפתרון:

20 \cdot 75=1500

הסכום השגוי

1500-58+85=1527

מתקנים את הסכום

\frac{1527}{20}=76.35

הממוצע הנכון

התיקון הוסיף $27$ לסכום, ולכן $\frac{27}{20}=1.35$ לממוצע. לא $27$ לממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לקבוצת נתונים סטיית תקן $3$ . כל נתון $x$ מוחלף ב- $-2x+1$ . מהי סטיית התקן החדשה?

$-6$
$-5$
$6$
$36$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $6$

הפתרון:

|-2| \cdot 3=6

מכפילים בערך המוחלט של המקדם

+1

התוספת לא משנה פיזור

הנכונה: $6$ . סטיית תקן לעולם אינה שלילית: הכפל ב- $-2$ «הופך» את הנתונים, אבל המרחקים ביניהם גדלים פי $2$ . $36$ היא השונות החדשה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הכנסות של 80 משפחות

הכנסה (אלפי ש״ח)	0-5	5-10	10-15	15-20	20 ומעלה
מספר משפחות	12	26	30	8	4

בטבלה: ההכנסה החודשית של משפחות בשכונה, באלפי ש״ח. המחלקה האחרונה פתוחה. אילו מדדים אפשר למצוא מהטבלה?

אפשר
אי אפשר

הטווח
המחלקה השכיחה
המחלקה שבה נמצא החציון
הממוצע לפי אמצעי המחלקות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המחלקה השכיחה — אפשר · המחלקה שבה נמצא החציון — אפשר · הממוצע לפי אמצעי המחלקות — אי אפשר · הטווח — אי אפשר

הפתרון:

f_{max}=30

המחלקה השכיחה: $10-15$

x_{40},\ x_{41}:\ 10-15

החציון: השכיחות המצטברת $12,\ 38,\ 68$

20 \le x

למחלקה הפתוחה אין אמצע ואין קצה עליון

המחלקה הפתוחה «20 ומעלה» אינה מספרת כמה גבוהות ההכנסות בה. לכן אין לה אמצע, אין ממוצע, ואין נתון גדול ביותר לטווח. שכיח וחציון תלויים רק בספירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בדיאגרמה: המקצוע שבחרו 240 תלמידים לבגרות מורחבת. רוצים לצייר את אותם נתונים בדיאגרמת עיגול. מהי זווית הגזרה של «ביולוגיה», במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

90+60+50+40=240

בדיקה: כל התלמידים

\frac{60}{240}=0.25

השכיחות היחסית של ביולוגיה

0.25 \cdot 360^{\circ}=90^{\circ}

הזווית

מעבירים שכיחות לזווית דרך השכיחות היחסית. $60^{\circ}$ היא טעות: מספר התלמידים אינו מספר המעלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נכון או לא נכון: כשמאחדים שתי קבוצות, הממוצע של הקבוצה המאוחדת נמצא תמיד בין שני הממוצעים של הקבוצות, או שווה לאחד מהם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\bar{x}=\frac{n_1 \bar{x}_1+n_2 \bar{x}_2}{n_1+n_2}

ממוצע משוקלל

\bar{x}_1 \le \bar{x} \le \bar{x}_2

שני המשקלים חיוביים, ולכן התוצאה בין השניים

הטענה נכונה. ממוצע משוקלל «נוטה» לקבוצה הגדולה, אבל לעולם לא יוצא מהקטע שבין שני הממוצעים. זה בדיוק מה שנקודת האיזון של הנדנדה מראה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גיל	8	9	10	11	12
מספר ילדים	4	6	5	9	6

בטבלה: הגילים של 30 ילדים בקייטנה. מהו הגיל החציוני?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.5

הפתרון:

x_{15},\ x_{16}

שלושים נתונים

F:\ 4,\ 10,\ 15,\ 24

הנתון ה- $15$ הוא האחרון של $10$

\begin{aligned}x_{15} &= 10 \\ \quad x_{16} &= 11\end{aligned}

ה- $16$ הוא הראשון של $11$

\begin{aligned}Me &= \frac{10+11}{2} \\ &= 10.5\end{aligned}

הממוצע שלהם

השכיחות המצטברת של $10$ היא בדיוק $15$ , חצי מהנתונים. לכן החציון נופל בין $10$ ל- $11$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev