סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות ברמת הבגרות, בלי רמזים: סטיית תקן מעוגלת, השוואה בין קבוצות, «נכון או לא נכון» עם דוגמה נגדית, מעבר יחידות, רבעון, ובניית נתונים.

בשאלת «נכון או לא נכון»: טענה נכונה צריכה הסבר כללי, וטענה לא נכונה צריכה דוגמה נגדית אחת. דוגמה אחת לא מוכיחה שטענה נכונה.

תרגילים

תרגיל 1

הממוצע של חמשת המספרים 7, 12, 15, 9, x7,\ 12,\ 15,\ 9,\ x הוא 1111. מצאו את xx ואת החציון.

x=x= ____ , חציון: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 12 , חציון: 12

הפתרון:

5⋅11=555 \cdot 11=55

הסכום

x=55−(7+12+15+9)=12\begin{aligned}x &= 55-(7+12+15+9) \\ &= 12\end{aligned}

המספר החסר

7 9 12 12 15 ⇒ Me=12\begin{aligned}7 \\ \ 9 \\ \ 12 \\ \ 12 \\ \ 15 \ \Rightarrow \ Me &= 12\end{aligned}

מסדרים

החציון נמצא רק אחרי שמכניסים את xx לרשימה ומסדרים. בלי xx יש ארבעה נתונים, והחציון שלהם שונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את סטיית התקן של 2, 5, 9, 10, 142,\ 5,\ 9,\ 10,\ 14. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.15

הפתרון:

xˉ=405=8\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{40}{5} \\ &= 8\end{aligned}

הממוצע

36+9+1+4+36=8636+9+1+4+36=86

ההפרשים −6, −3, 1, 2, 6-6,\ -3,\ 1,\ 2,\ 6 בחזקת 2

σ2=865=17.2σ=17.2≈4.15\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{86}{5} \\ &= 17.2 \\ \quad \sigma &= \sqrt{17.2} \approx 4.15\end{aligned}

שונות ושורש

שורש של 17.217.2 קרוב ל-44, כי 42=164^2=16. בדיקה כזאת תופסת מי ששכח לחלק ב-55 (86≈9.27\sqrt{86} \approx 9.27).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

משחק בחוץ
דקות בחוץ0-2020-4040-6060-80
מספר ילדים3764

בטבלה: מספר הדקות ש-20 ילדים משחקים בחוץ ביום. הממוצע לפי אמצעי המחלקות הוא 4141. חשבו את סטיית התקן לפי אמצעי המחלקות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19.47

הפתרון:

10, 30, 50, 7010,\ 30,\ 50,\ 70

אמצעי המחלקות

3⋅961+7⋅121+6⋅81+4⋅841=75803 \cdot 961+7 \cdot 121+6 \cdot 81+4 \cdot 841=7580

ההפרשים −31, −11, 9, 29-31,\ -11,\ 9,\ 29 בחזקת 2, כפול השכיחויות

σ2=758020=379σ≈19.47\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{7580}{20} \\ &= 379 \\ \quad \sigma \approx 19.47\end{aligned}

שונות ושורש

סטיית תקן של כ-1919 דקות, כשרוחב מחלקה הוא 2020, סבירה: רוב הילדים במרחק של מחלקה אחת בערך מהממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בקבוצת כדורסל א גובה השחקנים: ממוצע 180180 ס״מ, סטיית תקן 44 ס״מ. בקבוצה ב: ממוצע 184184 ס״מ, סטיית תקן 99 ס״מ. מה נכון?

  1. כל שחקן בקבוצה ב גבוה מכל שחקן בקבוצה א
  2. שחקני א גבוהים יותר, כי סטיית התקן שלהם קטנה
  3. שחקני ב גבוהים יותר בממוצע ואחידים יותר
  4. שחקני ב גבוהים יותר בממוצע, ושחקני א אחידים יותר בגובה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שחקני ב גבוהים יותר בממוצע, ושחקני א אחידים יותר בגובה

הפתרון:

184>180184 > 180

מדד מרכז: ב גבוהה יותר בממוצע

4<94 < 9

מדד פיזור: א הומוגנית יותר

הנכונה: ב גבוהה בממוצע, א אחידה יותר. ממוצע גבוה אינו אומר שכל שחקן גבוה יותר: עם סטיית תקן 99, יש כנראה בקבוצה ב שחקנים נמוכים מרבים בקבוצה א.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נכון או לא נכון: אם כל הנתונים גדלים ב-10%10\%, גם סטיית התקן גדלה ב-10%10\%.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x→1.1xx \to 1.1x

גדילה ב-10%10\% היא כפל

σ→1.1σ\sigma \to 1.1\sigma

סטיית התקן מוכפלת באותו מקדם

הטענה נכונה. כפל ב-1.11.1 מגדיל כל מרחק מהממוצע פי 1.11.1. השונות, לעומת זאת, גדלה פי 1.211.21, כלומר ב-21%21\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נכון או לא נכון: הממוצע של קבוצת נתונים הוא תמיד אחד הנתונים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

1 2: xˉ=1.5\begin{aligned}1 \\ \ 2:\ \bar{x} &= 1.5\end{aligned}

דוגמה נגדית: 1.51.5 אינו אחד הנתונים

הטענה לא נכונה. דוגמה נגדית אחת מספיקה: 11 ו-22 ממוצעם 1.51.5. החציון של מספר אי-זוגי של נתונים, לעומת זאת, כן תמיד אחד הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

סטיית התקן של גובה תלמידי שכבה היא 0.080.08 מטר. מה סטיית התקן בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

x→100xx \to 100x

ממטרים לסנטימטרים

σ→100⋅0.08=8\sigma \to 100 \cdot 0.08=8

סטיית התקן מוכפלת באותו מקדם

מעבר יחידות הוא כפל של כל הנתונים. סטיית התקן היא באותן יחידות כמו הנתונים, ולכן היא עוברת את אותו כפל. השונות הייתה עוברת כפל ב-1000010000.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פעמים בשבוע01234
מספר אנשים5912104

בטבלה: מספר הפעמים בשבוע ש-40 אנשים משתמשים ברכבת הקלה. מהו הרבעון העליון Q3Q_3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

F: 5, 14, 26, 36, 40F:\ 5,\ 14,\ 26,\ 36,\ 40

השכיחויות המצטברות

12.5%, 35%, 65%, 90%12.5\%,\ 35\%,\ 65\%,\ 90\%

באחוזים

65%<75%<90% ⇒ Q3=365\% < 75\% < 90\% \ \Rightarrow \ Q_3=3

הערך הראשון שעובר את 75%75\%

בערך 22 השכיחות היחסית המצטברת היא 65%65\%, עדיין פחות מ-75%75\%. לכן Q3Q_3 הוא 33, לא 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הציונים בבוחן
20%50%30%
  • ציון 6020%
  • ציון 8050%
  • ציון 9030%

בדיאגרמה: התפלגות הציונים בבוחן. מהו הציון הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 79

הפתרון:

0.2⋅60+0.5⋅80+0.3⋅900.2 \cdot 60+0.5 \cdot 80+0.3 \cdot 90

כל ציון כפול השכיחות היחסית שלו

12+40+27=7912+40+27=79

ממוצע משוקלל

השכיחויות היחסיות הן המשקלות, ולא צריך לדעת כמה תלמידים יש. 60+80+903≈76.7\frac{60+80+90}{3} \approx 76.7 שוכח שחצי מהכיתה קיבלה 8080.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

השכר השעתי של ארבעה עובדים הוא מספר שלם של שקלים. הממוצע 4545 ש״ח, השכיח 3535 ש״ח והחציון 4040 ש״ח. מצאו את השכר השלישי ואת השכר הגבוה ביותר, בסדר עולה.

השכרים: 35, 35,35,\ 35, ____ ,, ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השכרים: 35, 35,35,\ 35, 45 ,, 65

הפתרון:

a=b=35\begin{aligned}a &= b \\ &= 35\end{aligned}

השכיח חייב לחזור, והחציון 40≠3540 \neq 35

35+c2=40 ⇒ c=45\begin{aligned}\frac{35+c}{2} &= 40 \ \Rightarrow \ c \\ &= 45\end{aligned}

החציון

4⋅45=180 ⇒ d=180−115=65\begin{aligned}4 \cdot 45 &= 180 \ \Rightarrow \ d \\ &= 180-115 \\ &= 65\end{aligned}

הממוצע

בדיקה של שלושת המדדים: 1804=45\frac{180}{4}=45 ✓, 3535 חוזר ✓, 35+452=40\frac{35+45}{2}=40 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת