סדרה 5 — לקראת הבגרות · סטטיסטיקה תיאורית · כיתה י׳

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים א, ב, ג: טבלה עם שכיחות חסרה, היסטוגרמה ושינוי של כל הנתונים, «נכון או לא נכון — הסבירו או תנו דוגמה נגדית», ובניית נתונים לפי המדדים.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: הנוסחה, ההצבה, והתוצאה עם יחידות. ובכל «נכון או לא נכון»: הסבר כללי לטענה נכונה, דוגמה נגדית לטענה שגויה.

תרגילים

תרגיל 1

מספר ילדים	1	2	3	4	5
מספר משפחות	6	x	14	6	4

בסקר שנערך בקרב 40 משפחות בקריית שמונה נשאלו כמה ילדים יש במשפחה. התוצאות בטבלה. א. מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

6+x+14+6+4=40

סכום השכיחויות הוא מספר המשפחות

x=10

פותרים

את $x$ מוצאים מ- $n$ , לא מהממוצע: הממוצע עוד לא ידוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מספר ילדים	1	2	3	4	5
מספר משפחות	6	10	14	6	4

בסקר שנערך בקרב 40 משפחות בקריית שמונה נשאלו כמה ילדים יש במשפחה (בטבלה, אחרי שמצאנו $x=10$ ). ב. מצאו את מספר הילדים הממוצע ואת החציון.

ממוצע: ____ , חציון: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ממוצע: 2.8 , חציון: 3

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{6+20+42+24+20}{40} \\ &= \frac{112}{40} \\ &= 2.8\end{aligned}

ממוצע מטבלה

F:\ 6,\ 16,\ 30

השכיחויות המצטברות

\begin{aligned}x_{20} &= x_{21} \\ &= 3 \ \Rightarrow \ Me \\ &= 3\end{aligned}

הנתונים ה- $17$ עד ה- $30$ הם $3$

הממוצע $2.8$ קטן מהחציון $3$ : המשפחות עם ילד אחד «מושכות» את הממוצע למטה יותר ממה שהמשפחות הגדולות מושכות אותו למעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מספר ילדים	1	2	3	4	5
מספר משפחות	6	10	14	6	4

לפי הטבלה של 40 המשפחות בקריית שמונה, שהממוצע שלה $2.8$ : ג. חשבו את סטיית התקן של מספר הילדים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.17

הפתרון:

x-\bar{x}:\ -1.8,\ -0.8,\ 0.2,\ 1.2,\ 2.2

ההפרשים מ- $2.8$

6 \cdot 3.24+10 \cdot 0.64+14 \cdot 0.04+6 \cdot 1.44+4 \cdot 4.84=54.4

שכיחות כפול ההפרש בחזקת 2

\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{54.4}{40} \\ &= 1.36 \\ \quad \sigma &= \sqrt{1.36} \approx 1.17\end{aligned}

שונות ושורש

כשהממוצע אינו שלם, ההפרשים עשרוניים: כתבו אותם בשורה אחת לפני שמעלים בחזקת 2. מי שמעגל את הממוצע ל- $3$ מקבל תשובה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

האיחור של 50 אוטובוסים בקו בין-עירוני

בהיסטוגרמה: האיחור, בדקות, של 50 אוטובוסים בקו בין-עירוני ביום מסוים. א. מהי המחלקה השכיחה?

$16-20$
$8-12$
$6$
$4-8$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $4-8$

הפתרון:

f_{max}=16

העמודה הגבוהה ביותר

הנכונה: $4-8$ . $6$ הוא אמצע המחלקה, והמחלקה $8-12$ היא השנייה בגובהה, $14$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

האיחור של 50 אוטובוסים בקו בין-עירוני

בהיסטוגרמה: האיחור, בדקות, של 50 אוטובוסים בקו בין-עירוני ביום מסוים. ב. חשבו את האיחור הממוצע לפי אמצעי המחלקות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.72

הפתרון:

2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18

אמצעי המחלקות

2 \cdot 8+6 \cdot 16+10 \cdot 14+14 \cdot 8+18 \cdot 4=436

אמצע כפול שכיחות

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{436}{50} \\ &= 8.72\end{aligned}

ממוצע משוער

אמצע המחלקה $0-4$ הוא $2$ , לא $0$ . מי שמשתמש בקצוות התחתונים מקבל ממוצע נמוך בדיוק ב- $2$ דקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

האיחור של 50 אוטובוסים בקו בין-עירוני

בהיסטוגרמה: האיחור, בדקות, של 50 אוטובוסים בקו בין-עירוני ביום מסוים. האיחור הממוצע היה $8.72$ דקות. אחרי שינוי בלוח הזמנים, האיחור של כל אוטובוס קטן ב- $25\%$ . ג. מהו האיחור הממוצע החדש, ופי כמה השתנתה סטיית התקן?

ממוצע חדש: ____ , סטיית התקן מוכפלת ב-: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ממוצע חדש: 6.54 , סטיית התקן מוכפלת ב-: 0.75

הפתרון:

x \to 0.75x

קטן ב- $25\%$ : כפל ב- $0.75$

0.75 \cdot 8.72=6.54

הממוצע

\sigma \to 0.75\sigma

סטיית התקן מוכפלת באותו מקדם

ירידה של $25\%$ היא כפל ב- $0.75$ , לא ב- $0.25$ ולא חיסור של $25$ . והפיזור קטן יחד עם הנתונים: האוטובוסים גם מאחרים פחות וגם דומים יותר זה לזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נכון או לא נכון? הסבירו, או תנו דוגמה נגדית. מוסיפים לקבוצת נתונים נתון חדש, השווה לממוצע של הקבוצה. א. הממוצע של הקבוצה לא משתנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

S=n\bar{x}

הסכום לפני ההוספה

\begin{aligned}\frac{n\bar{x}+\bar{x}}{n+1} &= \frac{(n+1)\bar{x}}{n+1} \\ &= \bar{x}\end{aligned}

הממוצע אחרי ההוספה

הטענה נכונה, ובאופן כללי, לא רק בדוגמה. הנתון החדש לא «מעל» ולא «מתחת» לממוצע, ולכן הוא לא מזיז את נקודת האיזון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נכון או לא נכון? הסבירו, או תנו דוגמה נגדית. מוסיפים לקבוצת נתונים נתון חדש, השווה לממוצע של הקבוצה. ב. גם סטיית התקן של הקבוצה לא משתנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}0 \\ \ 4:\ \bar{x} &= 2 \\ \ \sigma^2 &= \frac{4+4}{2} \\ &= 4\end{aligned}

לפני: סטיית התקן $2$

\begin{aligned}0 \\ \ 2 \\ \ 4:\ \sigma^2 &= \frac{4+0+4}{3} \\ &= \frac{8}{3}\end{aligned}

אחרי: סטיית התקן $\sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.63$

הטענה לא נכונה. סכום ההפרשים בחזקת 2 לא השתנה, אבל מחלקים אותו ב- $n+1$ במקום ב- $n$ . לכן סטיית התקן קטנה, חוץ מהמקרה שבו היא $0$ מלכתחילה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

א. באיזו מהקבוצות הבאות, של חמישה מספרים, הממוצע $20$ והחציון גדול מהממוצע?

$18,\ 19,\ 20,\ 21,\ 22$
$12,\ 14,\ 16,\ 28,\ 30$
$10,\ 15,\ 20,\ 25,\ 30$
$2,\ 22,\ 23,\ 26,\ 27$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $2,\ 22,\ 23,\ 26,\ 27$

הפתרון:

\begin{aligned}2+22+23+26+27 &= 100 \ \Rightarrow \ \bar{x} \\ &= 20\end{aligned}

לכל ארבע הקבוצות סכום $100$

Me=23 > 20

החציון של הקבוצה הראשונה

Me=16 < 20

ובאחרונה החציון קטן מהממוצע

הנכונה: $2,\ 22,\ 23,\ 26,\ 27$ . נתון קטן מאוד, $2$ , מושך את הממוצע למטה, והחציון נשאר למעלה. בקבוצות הסימטריות החציון שווה לממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ב. בנו חמישה מספרים שלמים $a \le b \le c \le d \le e$ שהממוצע שלהם $20$ , החציון $25$ , השכיח $28$ , והקטן ביותר $4$ . מהו $b$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

c=25

החציון של חמישה נתונים הוא השלישי

\begin{aligned}d &= e \\ &= 28\end{aligned}

השכיח חייב לחזור, ורק מעל $25$ יש מקום לו

\begin{aligned}5 \cdot 20 &= 100 \ \Rightarrow \ 4+b+25+28+28 \\ &= 100\end{aligned}

הסכום

b=15

פותרים

בדיקה: $4,\ 15,\ 25,\ 28,\ 28$ — ממוצע $20$ ✓, חציון $25$ ✓, שכיח $28$ ✓. $28$ לא יכול להיות $a$ או $b$ , כי הם קטנים מ- $c=25$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev