פותרים יחד · טריגונומטריה במשולש ישר זווית · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון שאלון 471, אחת לכל רעיון של הפרק: משולש ישר זווית מזווית וצלע, משולש שווה שוקיים והגובה שלו, טרפז שווה שוקיים, מלבן ואלכסוניו, וישר במערכת צירים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ובכל שלב נכתב המשפט שמצדיק אותו. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם איזה משולש ישר זווית אתם פותרים ואיזה יחס תבחרו. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — משולש ישר זווית: צלע, זווית, ואז הכול

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 1

\begin{aligned}\angle C &= 90^\circ \\ \quad AC &= 8 \\ \quad \angle A &= 40^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». נתונים ניצב וזווית. מבקשים: א. $BC$ , ב. $AB$ , ג. השטח, ד. ההיקף. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

א. BC

\begin{aligned}\tan 40^\circ &= \frac{BC}{8} \ \Rightarrow \ BC \\ &= 8\tan 40^\circ \approx 6.71\end{aligned}

$BC$ מול $A$ , $AC$ ליד: שני ניצבים, טנגנס.

ב. AB

\begin{aligned}\cos 40^\circ &= \frac{8}{AB} \ \Rightarrow \ AB \\ &= \frac{8}{\cos 40^\circ} \approx 10.44\end{aligned}

היתר הוא הנעלם, ולכן מחלקים. בדיקה: $10.44 > 8$ ✓

ג. שטח

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6.71 \approx 26.85

שני הניצבים מאונכים: בסיס וגובה.

ד. היקף

P = 8 + 6.71 + 10.44 \approx 25.16

סכום שלוש הצלעות.

שלושה צעדים, ובכל אחד יחס אחד. את $AB$ אפשר היה למצוא גם בפיתגורס מ- $8$ ומ- $BC$ , אבל עדיף מהנתון המקורי $40^\circ$ , בלי לגרור עיגול.

לעשות את הפעילות ב-elev

היה אפשר לחשב את השטח בנוסחה $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כן. $\frac{1}{2} \cdot 10.44 \cdot 8 \cdot \sin 40^\circ \approx 26.85$ , אותה תוצאה: $AB$ ו- $AC$ הן שתי צלעות, ו- $A$ הזווית שביניהן. במשולש ישר זווית פשוט יותר להשתמש בשני הניצבים.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משולש שווה שוקיים: הגובה עושה את העבודה

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 2

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC = 10$ ) זווית הראש $\angle BAC = 40^\circ$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. א. מצאו את $BC$ . ב. מצאו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

$BC \approx 6.84$ , $S \approx 32.14$

$BC \approx 3.42$ , $S \approx 32.14$

$BC \approx 6.84$ , $S \approx 64.28$

$BC \approx 7.66$ , $S \approx 32.14$

מהי הזווית $\angle BAD$ ?

$20^\circ$ , כי הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש.

להציג את התשובה והפתרון

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית וגם תיכון.

$40^\circ$ , כמו הזווית הנתונה.

להציג את התשובה והפתרון

הגובה מחלק את זווית הראש לשתיים. במשולש $ABD$ עובדים עם החצי.

$50^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

זו הזווית $B$ ( $\frac{180 - 40}{2}$ ). היא נכונה, אבל השאלה על $\angle BAD$ .

\angle BAD = 20^\circ

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה את זווית הראש

איך מוצאים את $BD$ במשולש $ABD$ ?

$BD = 10\sin 20^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

$BD$ מול הזווית $20^\circ$ , והיתר $AB = 10$ .

$BD = 10\cos 20^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

זה $AD$ , הניצב שליד הזווית $20^\circ$ .

\begin{aligned}BD &= 10\sin 20^\circ \approx 3.42 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 2BD \approx 6.84\end{aligned}

הגובה הוא גם תיכון, ולכן $BC = 2BD$

ולשטח, הדרך הקצרה?

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin 40^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

שתי הצלעות $AB$ , $AC$ והזווית $40^\circ$ שביניהן.

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10$ .

להציג את התשובה והפתרון

זה היה נכון רק אם הזווית בין הצלעות הייתה $90^\circ$ .

S = 50\sin 40^\circ \approx 32.14

בדיקה: $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 6.84 \cdot 9.4 \approx 32.14$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $BC \approx 6.84$ , $S \approx 32.14$ . שתי דרכים לשטח נותנות אותו מספר, וזו הבדיקה הטובה ביותר. מי שקיבל $BC \approx 3.42$ שכח להכפיל את $BD$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — טרפז שווה שוקיים: גובה, ועוד גובה

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 3

\begin{aligned}AB \parallel DC \\ \quad AB &= 18 \\ \quad AD &= BC \\ &= 8 \\ \quad \angle A &= 60^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מבקשים: א. את הגובה, ב. את הבסיס $DC$ , ג. את שטח הטרפז. ערכים מדויקים, ואז קירוב.

א. גובה

\begin{aligned}DE &= 8\sin 60^\circ \\ &= 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}

במשולש $AED$ : $DE$ מול $60^\circ$ , $AD$ היתר. ערך מדויק.

\begin{aligned}AE &= 8\cos 60^\circ \\ &= 8 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 4\end{aligned}

הניצב שליד $60^\circ$ . הוא חצי היתר, כי מול $30^\circ$ .

ב. DC

\begin{aligned}DC &= AB - 2 \cdot AE \\ &= 18 - 8 \\ &= 10\end{aligned}

$DEFC$ מלבן, ולכן $EF = DC$ ; המשולשים $AED$ ו- $BFC$ חופפים, ולכן $FB = AE$ .

ג. שטח

\begin{aligned}S &= \frac{(18 + 10) \cdot 4\sqrt{3}}{2} \\ &= 56\sqrt{3} \approx 96.99\end{aligned}

סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי $2$ .

הנימוק ל- $FB = AE$ הוא חפיפת שני המשולשים ישרי הזווית. בלי המשפט הזה, «חצי ההפרש» הוא ניחוש.

לעשות את הפעילות ב-elev

מהו היקף הטרפז?

להציג את התשובה והפתרון

$18 + 10 + 8 + 8 = 44$ . ההיקף לא צריך את הגובה בכלל.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — מלבן: הזווית בין האלכסונים

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 4

במלבן $ABCD$ : $AB = 12$ ו- $BC = 5$ . האלכסונים נפגשים ב- $O$ . א. מצאו את $\angle CAB$ . ב. מצאו את הזווית החדה שבין האלכסונים. ג. חשבו את שטח המלבן בעזרת הזווית מסעיף ב, ובדקו. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

איזה יחס נותן את $\angle CAB$ במשולש $ABC$ ?

$\tan\angle CAB = \frac{5}{12}$ .

להציג את התשובה והפתרון

שני הניצבים ידועים: $BC$ מול, $AB$ ליד.

$\sin\angle CAB = \frac{5}{12}$ .

להציג את התשובה והפתרון

$12$ אינו היתר. היתר הוא $AC = 13$ , ואז $\sin = \frac{5}{13}$ .

\angle CAB = \tan^{-1}\left(\tfrac{5}{12}\right) \approx 22.62^\circ

במחשבון

מה יודעים על המשולש $AOB$ ?

הוא שווה שוקיים, $OA = OB$ .

להציג את התשובה והפתרון

במלבן האלכסונים שווים וחוצים זה את זה, ולכן $OA = OB = \frac{13}{2}$ .

הוא ישר זווית.

להציג את התשובה והפתרון

האלכסונים במלבן אינם מאונכים בדרך כלל. רק בריבוע.

\angle OBA = \angle OAB \approx 22.62^\circ \ \Rightarrow \ \angle AOB \approx 134.76^\circ

זוויות הבסיס שוות; הזווית החדה בין האלכסונים היא $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB \approx 45.24^\circ$

איך מחשבים את השטח מהאלכסונים?

$S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 13 \cdot \sin\angle BOC$ .

להציג את התשובה והפתרון

שתי צלעות (האלכסונים) והזווית שביניהן. הנוסחה מכסה את כל המרובע: כל אחד מארבעת המשולשים תורם $\frac{1}{2} \cdot 6.5 \cdot 6.5 \sin\theta$ .

$S = 13 \cdot 13$ .

להציג את התשובה והפתרון

זה היה השטח של ריבוע שצלעו $13$ .

S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 13 \cdot \sin 45.24^\circ \approx 60.0

בדיקה: $12 \cdot 5 = 60$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\angle CAB \approx 22.62^\circ$ , הזווית בין האלכסונים $\approx 45.24^\circ$ , והשטח $60$ . הבדיקה בסעיף ג היא הרעיון של השאלה: שתי דרכים לאותו שטח.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — ישר במערכת צירים: השיפוע הוא טנגנס

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 5

A(1,\,1) ,\quad B(5,\,1) ,\quad C(5,\,4)

לחצו «להתחיל». א. מצאו את שיפוע $AC$ . ב. מצאו את הזווית שהישר $AC$ יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . ג. חשבו את $AC$ . ד. חשבו את $\sin\angle ACB$ .

משולש

\begin{aligned}AB &= 5 - 1 \\ &= 4 \\ \quad BC &= 4 - 1 \\ &= 3 \\ \quad \angle B &= 90^\circ\end{aligned}

$AB$ מקביל לציר ה- $x$ ו- $BC$ מקביל לציר ה- $y$ , ולכן מאונכים.

א. שיפוע

\begin{aligned}m &= \frac{4 - 1}{5 - 1} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

הפרש ה- $y$ חלקי הפרש ה- $x$ : בדיוק $\frac{BC}{AB}$ .

ב. זווית

\tan\alpha = \frac{3}{4} \ \Rightarrow \ \alpha \approx 36.87^\circ

השיפוע הוא הטנגנס של הזווית עם ציר ה- $x$ , וזו הזווית $A$ במשולש.

ג. AC

\begin{aligned}AC &= \sqrt{4^2 + 3^2} \\ &= 5\end{aligned}

משפט פיתגורס. ערך מדויק.

ד. סינוס

\begin{aligned}\sin\angle ACB &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{4}{5} \\ &= 0.8\end{aligned}

מול $C$ נמצא $AB = 4$ , והיתר $5$ . בלי מעלות בכלל.

כשהמשולש יושב במערכת צירים, ההפרשים בשיעורים הם הניצבים. השיפוע והטנגנס הם אותו מספר.

לעשות את הפעילות ב-elev

מהו $\cos\angle ACB$ ? ומה הקשר בינו לבין $\sin\alpha$ מסעיף ב?

להציג את התשובה והפתרון

$\cos\angle ACB = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5} = 0.6$ , וגם $\sin\alpha = \sin A = \frac{3}{5}$ . שתי הזוויות החדות משלימות ל- $90^\circ$ , ולכן $\cos C = \sin A$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 6$ ו- $\angle A = 50^\circ$ . חשבו את $AB$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.33

הפתרון:

\cos 50^\circ = \frac{6}{AB}

$AC$ ליד $A$ , $AB$ היתר

AB = \frac{6}{\cos 50^\circ} \approx 9.33

היתר הוא הנעלם: מחלקים

$AB \approx 9.33$ . מי שכפל קיבל $3.86$ , קצר מהניצב $6$ , וזה בלתי אפשרי ליתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC = 8$ ) זווית הראש $\angle BAC = 50^\circ$ . חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24.51

הפתרון:

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin 50^\circ

שתי הצלעות והזווית שביניהן

\approx 24.51

במחשבון

$S \approx 24.51$ . הדרך הארוכה, דרך הגובה $8\cos 25^\circ$ והבסיס $2 \cdot 8\sin 25^\circ$ , נותנת אותו מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיס $AB = 16$ , השוקיים $AD = BC = 6$ וזווית הבסיס $\angle A = 60^\circ$ . חשבו את הבסיס $DC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}AE &= 6\cos 60^\circ \\ &= 3\end{aligned}

במשולש $AED$ הגובה $DE$ יוצר זווית ישרה; $AE$ ליד $60^\circ$

\begin{aligned}DC &= 16 - 2 \cdot 3 \\ &= 10\end{aligned}

שני המשולשים ישרי הזווית חופפים, ולכן $FB = AE$

$DC = 10$ . הגובה $3\sqrt{3}$ לא נדרש כאן: רק $AE$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במלבן $ABCD$ : $AB = 8$ ו- $BC = 6$ . חשבו את הזווית $\angle CAB$ שבין האלכסון $AC$ לצלע $AB$ . עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36.9

הפתרון:

\begin{aligned}\tan\angle CAB &= \frac{6}{8} \\ &= 0.75\end{aligned}

במשולש $ABC$ : $BC$ מול, $AB$ ליד

\angle CAB \approx 36.9^\circ

במחשבון

$\angle CAB \approx 36.9^\circ$ . הזווית החדה בין האלכסונים היא כפולה: $73.7^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ישר עובר דרך הנקודות $(2,\,3)$ ו- $(7,\,5)$ . מהי הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ ? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21.8

הפתרון:

\begin{aligned}m &= \frac{5 - 3}{7 - 2} \\ &= \frac{2}{5} \\ &= 0.4\end{aligned}

השיפוע

\tan\alpha = 0.4 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 21.8^\circ

השיפוע הוא הטנגנס

$\alpha \approx 21.8^\circ$ . שיפוע קטן מ- $1$ , ולכן זווית קטנה מ- $45^\circ$ : בדיקת סבירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — משולש ישר זווית: צלע, זווית, ואז הכול

2 — משולש שווה שוקיים: הגובה עושה את העבודה

3 — טרפז שווה שוקיים: גובה, ועוד גובה

4 — מלבן: הזווית בין האלכסונים

5 — ישר במערכת צירים: השיפוע הוא טנגנס

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev