סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שני צעדים: זהויות, ערכים מדויקים, צלע מצלע וזווית, זווית במחשבון, סינוס של זווית קהה, שטח, ואלכסון במלבן.

כשהיתר הוא הנעלם מחלקים, וכשהוא נתון כופלים. בדקו בסוף: היתר יצא הארוך ביותר?

תרגילים

תרגיל 1

עבור זווית חדה α\alpha נתון sin⁡α=0.28\sin\alpha = 0.28. חשבו את cos⁡α\cos\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.96

הפתרון:

cos⁡2α=1−0.282=1−0.0784=0.9216\begin{aligned}\cos^2\alpha &= 1 - 0.28^2 \\ &= 1 - 0.0784 \\ &= 0.9216\end{aligned}

הזהות sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

cos⁡α=0.9216=0.96\begin{aligned}\cos\alpha &= \sqrt{0.9216} \\ &= 0.96\end{aligned}

חיובי, כי הזווית חדה

cos⁡α=0.96\cos\alpha = 0.96. סינוס קטן, זווית קטנה, קוסינוס קרוב ל-11: הגיוני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הערך המדויק של cos⁡30∘\cos 30^\circ?

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. 33\frac{\sqrt{3}}{3}
  4. 12\frac{1}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 32\frac{\sqrt{3}}{2}

הפתרון:

cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

ליד 30∘30^\circ נמצא הניצב הארוך 3\sqrt{3}, והיתר 22

הנכונה: 32\frac{\sqrt{3}}{2}. 12\frac{1}{2} הוא sin⁡30∘\sin 30^\circ; 33\frac{\sqrt{3}}{3} הוא tan⁡30∘\tan 30^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AC=9AC = 9 ו-∠A=35∘\angle A = 35^\circ. חשבו את BCBC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.3

הפתרון:

tan⁡35∘=BC9\tan 35^\circ = \frac{BC}{9}

BCBC מול, ACAC ליד: טנגנס

BC=9tan⁡35∘≈6.3BC = 9\tan 35^\circ \approx 6.3

כופלים ב-99

BC≈6.3BC \approx 6.3. מי שהשתמש בסינוס חישב כאילו 99 הוא היתר, אבל 99 הוא ניצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, BC=6BC = 6 ו-∠A=25∘\angle A = 25^\circ. חשבו את ABAB. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14.2

הפתרון:

sin⁡25∘=6AB\sin 25^\circ = \frac{6}{AB}

BCBC מול AA, ABAB היתר

AB=6sin⁡25∘≈14.2AB = \frac{6}{\sin 25^\circ} \approx 14.2

היתר הוא הנעלם: מחלקים

AB≈14.2AB \approx 14.2, הרבה יותר מ-66: זווית קטנה מול ניצב 66 דורשת יתר ארוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, BC=9BC = 9 ו-AC=12AC = 12. חשבו את ∠A\angle A במעלות. עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36.9

הפתרון:

tan⁡A=912=0.75\begin{aligned}\tan A &= \frac{9}{12} \\ &= 0.75\end{aligned}

שני ניצבים: טנגנס

A=tan⁡−1(0.75)≈36.9∘A = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ

במחשבון

∠A≈36.9∘\angle A \approx 36.9^\circ. ∠B≈53.1∘\angle B \approx 53.1^\circ: השתיים משלימות ל-90∘90^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו הערך המדויק של sin⁡150∘\sin 150^\circ?

  1. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. 12\frac{1}{2}
  3. −12-\frac{1}{2}
  4. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 12\frac{1}{2}

הפתרון:

sin⁡150∘=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡30∘=12\begin{aligned}\sin 150^\circ &= \sin(180^\circ - 30^\circ) \\ &= \sin 30^\circ \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

לזווית ולמשלימה שלה ל-180∘180^\circ אותו סינוס

הנכונה: 12\frac{1}{2}. סינוס של זווית קהה חיובי; −12-\frac{1}{2} אינו סינוס של אף זווית במשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

CAB

במשולש ABCABC: CA=10CA = 10, CB=7CB = 7 והזווית שביניהן ∠C=45∘\angle C = 45^\circ. חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24.75

הפתרון:

S=12⋅10⋅7⋅sin⁡45∘=35⋅22\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 \cdot \sin 45^\circ \\ &= 35 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

שתי צלעות והזווית שביניהן

=3522≈24.75= \frac{35\sqrt{2}}{2} \approx 24.75

ערך מדויק, ואז קירוב

S=3522≈24.75S = \frac{35\sqrt{2}}{2} \approx 24.75.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCD

במלבן ABCDABCD: AB=12AB = 12 ו-BC=5BC = 5. חשבו את הזווית בין האלכסון ACAC לצלע ABAB. עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22.6

הפתרון:

tan⁡∠CAB=BCAB=512\begin{aligned}\tan\angle CAB &= \frac{BC}{AB} \\ &= \frac{5}{12}\end{aligned}

במשולש ABCABC, ∠B=90∘\angle B = 90^\circ

∠CAB≈22.6∘\angle CAB \approx 22.6^\circ

במחשבון

∠CAB≈22.6∘\angle CAB \approx 22.6^\circ. האלכסון עצמו הוא 1313, אבל לא צריך אותו: טנגנס עובד עם שני הניצבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה. הוכיחו או הפריכו: sin⁡A=cos⁡B\sin A = \cos B.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

sin⁡A=BCABcos⁡B=BCAB\begin{aligned}\sin A &= \frac{BC}{AB} \\ \quad \cos B &= \frac{BC}{AB}\end{aligned}

BCBC מול AA וליד BB, ואותו יתר

A+B=90∘A + B = 90^\circ

הזוויות החדות משלימות

הטענה נכונה. זו הזהות sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha במשולש אחד: אותה צלע, פעם «מול» ופעם «ליד».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ישר עובר דרך הנקודות (2, 3)(2,\,3) ו-(6, 11)(6,\,11). מהי הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-xx? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 63.4

הפתרון:

m=11−36−2=2\begin{aligned}m &= \frac{11 - 3}{6 - 2} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

tan⁡α=2 ⇒ α≈63.4∘\tan\alpha = 2 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 63.4^\circ

השיפוע הוא הטנגנס

α≈63.4∘\alpha \approx 63.4^\circ. שיפוע גדול מ-11: זווית גדולה מ-45∘45^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת