סדרה 3 — מאתגר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות שדורשות למצוא את המשולש ישר הזווית לפני שמחשבים: טרפז, משולש שווה שוקיים, מעוין, דלתון, זווית מתוך שטח, והיקף עם ערכים מדויקים.

ציירו את הגובה או האלכסון, סמנו את הזווית הישרה, וכתבו איזה משפט מצדיק אותו: תיכון, חוצה זווית, אלכסונים מאונכים.

תרגילים

תרגיל 1

ABCDE

בטרפז שווה שוקיים ABCDABCD (AB∥DCAB \parallel DC) הבסיסים AB=22AB = 22 ו-DC=10DC = 10, וזווית הבסיס ∠A=45∘\angle A = 45^\circ. חשבו את גובה הטרפז.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

AE=22−102=6\begin{aligned}AE &= \frac{22 - 10}{2} \\ &= 6\end{aligned}

הגובה DEDE חותך את חצי ההפרש בין הבסיסים

DE=6tan⁡45∘=6\begin{aligned}DE &= 6\tan 45^\circ \\ &= 6\end{aligned}

במשולש AEDAED: DEDE מול 45∘45^\circ, AEAE ליד

הגובה 66. עם 45∘45^\circ המשולש ישר זווית שווה שוקיים, והגובה שווה ל-AEAE.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

BCAD

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) הבסיס BC=16BC = 16 וזווית הבסיס ∠B=35∘\angle B = 35^\circ. חשבו את הגובה לבסיס. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.6

הפתרון:

BD=8BD = 8

הגובה לבסיס הוא גם תיכון

AD=8tan⁡35∘≈5.6AD = 8\tan 35^\circ \approx 5.6

במשולש ABDABD: ADAD מול BB, BDBD ליד

AD≈5.6AD \approx 5.6. חצי הבסיס, לא הבסיס כולו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCDO

במעוין ABCDABCD הצלע 66 ו-∠A=120∘\angle A = 120^\circ. מהו אורך האלכסון ACAC?

  1. 66
  2. 333\sqrt{3}
  3. 1212
  4. 636\sqrt{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 66

הפתרון:

∠B=180∘−120∘=60∘\begin{aligned}\angle B &= 180^\circ - 120^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות סמוכות במעוין משלימות ל-180∘180^\circ

∠OBA=30∘OA=6sin⁡30∘=3\begin{aligned}\angle OBA &= 30^\circ \\ \quad OA &= 6\sin 30^\circ \\ &= 3\end{aligned}

האלכסון BDBD חוצה את הזווית BB; במשולש AOBAOB הישר זווית, OAOA מול 30∘30^\circ

AC=2⋅OA=6\begin{aligned}AC &= 2 \cdot OA \\ &= 6\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

הנכונה: 66. ACAC הוא האלכסון הקצר, מול הזווית 60∘60^\circ: המשולש ABCABC שווה שוקיים עם זווית 60∘60^\circ ב-BB, כלומר שווה צלעות. 636\sqrt{3} הוא האלכסון הארוך BDBD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

CAB

שטח המשולש ABCABC הוא 2424, CA=12CA = 12 ו-CB=8CB = 8. הזווית CC חדה. מהי ∠C\angle C, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

24=12⋅12⋅8⋅sin⁡C=48sin⁡C\begin{aligned}24 &= \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \sin C \\ &= 48\sin C\end{aligned}

נוסחת השטח

sin⁡C=12 ⇒ ∠C=30∘\begin{aligned}\sin C &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \angle C \\ &= 30^\circ\end{aligned}

הזווית החדה

∠C=30∘\angle C = 30^\circ. הזווית הקהה 150∘150^\circ נותנת אותו שטח, ולכן השאלה ציינה «חדה».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, ∠A=30∘\angle A = 30^\circ ו-AB=12AB = 12. מהו ACAC?

  1. 12312\sqrt{3}
  2. 434\sqrt{3}
  3. 636\sqrt{3}
  4. 66
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 636\sqrt{3}

הפתרון:

AC=12cos⁡30∘=12⋅32=63\begin{aligned}AC &= 12\cos 30^\circ \\ &= 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

ACAC ליד 30∘30^\circ, היתר 1212

BC=6AC=144−36=108=63\begin{aligned}BC &= 6 \\ \quad AC &= \sqrt{144 - 36} \\ &= \sqrt{108} \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

בדיקה: הניצב שמול 30∘30^\circ הוא 66, ואז פיתגורס

הנכונה: 636\sqrt{3}. 66 הוא BCBC, הניצב שמול 30∘30^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

CAB

במשולש ישר זווית שווה שוקיים היתר 1010. חשבו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

x=10sin⁡45∘=10⋅22=52\begin{aligned}x &= 10\sin 45^\circ \\ &= 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}

כל ניצב

S=12⋅52⋅52=12⋅50=25\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 50 \\ &= 25\end{aligned}

הניצבים מאונכים

S=25S = 25. המלכודת: 12⋅10⋅10⋅sin⁡45∘\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin 45^\circ. היתר 1010 מופיע במשולש פעם אחת, לא פעמיים; הנוסחה עם סינוס דורשת שתי צלעות והזווית שביניהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

עבור זווית חדה α\alpha נתון tan⁡α=2.4\tan\alpha = 2.4. חשבו את sin⁡α\sin\alpha. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.923

הפתרון:

tan⁡α=125\tan\alpha = \frac{12}{5}

משולש ישר זווית עם ניצבים 1212 (מול) ו-55 (ליד)

c=144+25=13\begin{aligned}c &= \sqrt{144 + 25} \\ &= 13\end{aligned}

פיתגורס

sin⁡α=1213≈0.923\sin\alpha = \frac{12}{13} \approx 0.923

מול חלקי יתר

sin⁡α≈0.923\sin\alpha \approx 0.923. הטנגנס קובע את צורת המשולש עד כדי דמיון, ולכן מספיק לבחור משולש נוח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCDO

בדלתון ABCDABCD: AB=AD=10AB = AD = 10 ו-∠BAC=40∘\angle BAC = 40^\circ, כאשר ACAC הוא האלכסון הראשי. חשבו את BDBD. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.86

הפתרון:

∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ

האלכסון הראשי של דלתון מאונך לאלכסון המשני וחוצה אותו

BO=10sin⁡40∘≈6.43BO = 10\sin 40^\circ \approx 6.43

במשולש ABOABO: BOBO מול, ABAB היתר

BD=2⋅BO≈12.86BD = 2 \cdot BO \approx 12.86

האלכסון הראשי חוצה את המשני

BD≈12.86BD \approx 12.86. מי שעצר ב-6.436.43 מצא רק חצי אלכסון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

CAB

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה, AB=20AB = 20 ו-∠A=30∘\angle A = 30^\circ. חשבו את היקף המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 47.32

הפתרון:

BC=20sin⁡30∘=10\begin{aligned}BC &= 20\sin 30^\circ \\ &= 10\end{aligned}

הניצב שמול 30∘30^\circ הוא חצי היתר

AC=20cos⁡30∘=103\begin{aligned}AC &= 20\cos 30^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

הניצב שליד

P=20+10+103≈47.32P = 20 + 10 + 10\sqrt{3} \approx 47.32

ההיקף

P=30+103≈47.32P = 30 + 10\sqrt{3} \approx 47.32.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שורה אחת שגויה. מצאו אותה ותקנו.

sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}
cos⁡30∘=12\cos 30^\circ = \frac{1}{2}
tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: cos⁡30∘=12\cos 30^\circ = \frac{1}{2} → cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

הפתרון:

cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

ליד 30∘30^\circ נמצא הניצב הארוך 3\sqrt{3}

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}

החצי שייך ל-60∘60^\circ

השורה השנייה. cos⁡30∘=sin⁡60∘=32\cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}: הזוויות משלימות, וה-12\frac{1}{2} הוא cos⁡60∘\cos 60^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת