סדרה 4 — מתקדם · טריגונומטריה במשולש ישר זווית · כיתה י׳

עשר שאלות של שני צעדים: טרפז שלם, מלבן מהאלכסון, זווית ראש של $120^\circ$ , שטח עם זווית קהה, דלתון, התיכון ליתר, וזווית ראש מהבסיס.

בכל שאלה של שני צעדים, הצלע שמצאתם בצעד הראשון היא הנתון של השני. כתבו אותה על השרטוט לפני שממשיכים.

תרגילים

תרגיל 1

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיס $AB = 20$ , השוקיים $AD = BC = 10$ וזווית הבסיס $\angle A = 60^\circ$ . א. חשבו את הבסיס $DC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}AE &= 10\cos 60^\circ \\ &= 5\end{aligned}

במשולש $AED$ : $AE$ ליד $60^\circ$ , $AD$ היתר

\begin{aligned}DC &= 20 - 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

שני המשולשים ישרי הזווית חופפים

$DC = 10$ . הטרפז הזה מורכב משלושה משולשים שווי צלעות שצלעם $10$ : בדיקה יפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיס $AB = 20$ , השוקיים $AD = BC = 10$ וזווית הבסיס $\angle A = 60^\circ$ . ב. חשבו את שטח הטרפז. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 129.9

הפתרון:

\begin{aligned}DE &= 10\sin 60^\circ \\ &= 5\sqrt{3}\end{aligned}

הגובה: מול $60^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{(20 + 10) \cdot 5\sqrt{3}}{2} \\ &= 75\sqrt{3} \approx 129.9\end{aligned}

שטח טרפז

$S = 75\sqrt{3} \approx 129.9$ . המלכודת: לקחת את השוק $10$ כגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במלבן $ABCD$ האלכסון $AC = 20$ , והזווית בין האלכסון לצלע $AB$ היא $30^\circ$ . חשבו את שטח המלבן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 173.21

הפתרון:

\begin{aligned}BC &= 20\sin 30^\circ \\ &= 10\end{aligned}

במשולש $ABC$ : $BC$ מול, $AC$ היתר

\begin{aligned}AB &= 20\cos 30^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

הניצב שליד

\begin{aligned}S &= 10 \cdot 10\sqrt{3} \\ &= 100\sqrt{3} \approx 173.21\end{aligned}

שטח מלבן

$S = 100\sqrt{3} \approx 173.21$ . בדיקה: $S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin 60^\circ = 100\sqrt{3}$ , כי הזווית בין האלכסונים היא $60^\circ$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC = 8$ ) זווית הראש $\angle BAC = 120^\circ$ . מהו אורך הבסיס $BC$ ?

$16$
$8\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}$
$8$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $8\sqrt{3}$

הפתרון:

\angle BAD = 60^\circ

הגובה $AD$ חוצה את זווית הראש

\begin{aligned}BD &= 8\sin 60^\circ \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}

במשולש $ABD$ : $BD$ מול $60^\circ$

\begin{aligned}BC &= 2 \cdot 4\sqrt{3} \\ &= 8\sqrt{3}\end{aligned}

הגובה הוא גם תיכון

הנכונה: $8\sqrt{3}$ . $4\sqrt{3}$ הוא חצי הבסיס. $16$ היה נכון רק אם הזווית הייתה $180^\circ$ , כלומר לא משולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ : $CA = 9$ , $CB = 8$ והזווית שביניהן $\angle C = 135^\circ$ . חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25.46

הפתרון:

\begin{aligned}\sin 135^\circ &= \sin 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

הזווית המשלימה ל- $180^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 18\sqrt{2} \approx 25.46\end{aligned}

נוסחת השטח

$S = 18\sqrt{2} \approx 25.46$ . אותו שטח כמו עם זווית של $45^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בדלתון $ABCD$ : $AB = AD = 13$ , $CB = CD$ , האלכסון המשני $BD = 10$ , ו- $\angle BCA = 45^\circ$ . חשבו את שטח הדלתון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 85

הפתרון:

\begin{aligned}BO &= 5 \\ \quad AO &= \sqrt{169 - 25} \\ &= 12\end{aligned}

האלכסון הראשי חוצה את המשני ומאונך לו; פיתגורס במשולש $ABO$

\begin{aligned}OC &= \frac{BO}{\tan 45^\circ} \\ &= 5\end{aligned}

במשולש $CBO$ ישר הזווית: $BO$ מול $45^\circ$ , $OC$ ליד

\begin{aligned}AC &= 12 + 5 \\ &= 17 \\ \quad S &= \frac{17 \cdot 10}{2} \\ &= 85\end{aligned}

שטח דלתון: מכפלת האלכסונים חלקי $2$

$S = 85$ . שני צעדים: $BO$ מהמשולש הראשון משמש במשולש השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $\angle A = 30^\circ$ ו- $AB = 12$ . $M$ היא אמצע היתר $AB$ . חשבו את היקף המשולש $BCM$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\begin{aligned}CM &= \frac{1}{2} AB \\ &= 6\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}BC &= 12\sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}

הניצב שמול $30^\circ$ הוא חצי היתר

BM = 6

$M$ אמצע $AB$

\begin{aligned}P &= 6 + 6 + 6 \\ &= 18\end{aligned}

המשולש $BCM$ שווה צלעות

$P = 18$ . שלושה משפטים, שלוש צלעות שוות: $BCM$ שווה צלעות, וגם $\angle B = 60^\circ$ מאשר את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ישר עובר דרך הנקודות $(1,\,2)$ ו- $(4,\,7)$ . מהי הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ ? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 59

הפתרון:

\begin{aligned}m &= \frac{7 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

השיפוע

\alpha = \tan^{-1}\left(\tfrac{5}{3}\right) \approx 59.0^\circ

השיפוע הוא הטנגנס

$\alpha \approx 59.0^\circ$ . מי שחישב $\tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 31.0^\circ$ מצא את הזווית עם ציר ה- $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: אם $\sin\alpha = 0.6$ עבור זווית חדה $\alpha$ , אז $\cos\alpha = 0.4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\cos^2\alpha &= 1 - 0.36 \\ &= 0.64\end{aligned}

הזהות על הריבועים

\cos\alpha = 0.8

ולא $1 - 0.6$

הטענה לא נכונה. $\sin\alpha + \cos\alpha$ אינו $1$ ; $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ הוא. הקוסינוס הוא $0.8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC = 10$ ) הבסיס $BC = 12$ . חשבו את זווית הראש $\angle BAC$ במעלות. עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 73.7

הפתרון:

BD = 6

הגובה $AD$ הוא גם תיכון

\begin{aligned}\sin\angle BAD &= \frac{6}{10} \\ &= 0.6 \ \Rightarrow \ \angle BAD \approx 36.87^\circ\end{aligned}

במשולש $ABD$ : $BD$ מול, $AB$ היתר

\angle BAC = 2 \cdot \angle BAD \approx 73.7^\circ

הגובה חוצה את זווית הראש

$\angle BAC \approx 73.7^\circ$ . המלכודת: לענות $36.87^\circ$ , חצי הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev