סדרה 5 — לקראת הבגרות · טריגונומטריה במשולש ישר זווית · כיתה י׳

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים א, ב, ג: משולש ישר זווית והתיכון ליתר, טרפז שווה שוקיים שלם, מעוין, ומשולש במערכת צירים.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: השרטוט, המשולש ישר הזווית, היחס, המשפט שמצדיק, ורק אז המספר. סעיף ב משתמש בתוצאה של סעיף א.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 8$ ו- $BC = 6$ . $M$ היא אמצע היתר $AB$ . א. חשבו את $\angle A$ במעלות. עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36.9

הפתרון:

\begin{aligned}\tan A &= \frac{BC}{AC} \\ &= \frac{6}{8} \\ &= 0.75\end{aligned}

שני ניצבים: טנגנס

A = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ

במחשבון

$\angle A \approx 36.9^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 8$ ו- $BC = 6$ . $M$ היא אמצע היתר $AB$ . ב. חשבו את $CM$ ונמקו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{64 + 36} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}CM &= \frac{1}{2} AB \\ &= 5\end{aligned}

התיכון ליתר במשולש ישר זווית שווה למחצית היתר

$CM = 5$ . הנימוק בבחינה הוא המשפט, לא חישוב: «התיכון ליתר שווה למחצית היתר».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 8$ ו- $BC = 6$ . $M$ היא אמצע היתר $AB$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ACM$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \\ &= 24\end{aligned}

שני הניצבים

\begin{aligned}S_{ACM} &= \frac{1}{2} S_{ABC} \\ &= 12\end{aligned}

התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח

\begin{aligned}S_{ACM} &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin\angle MAC \\ \quad \sin A &= 0.6 \ \Rightarrow \ S \\ &= 12\end{aligned}

בדיקה עם $AM = 5$ , $AC = 8$ והזווית $A$ ✓

$S_{ACM} = 12$ . שתי דרכים: משפט התיכון, או הנוסחה עם סינוס. $\sin A = \frac{6}{10} = 0.6$ בלי מחשבון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיס $AB = 24$ , הבסיס $DC = 12$ וזווית הבסיס $\angle A = 60^\circ$ . א. חשבו את השוק $AD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}AE &= \frac{24 - 12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

הגובה $DE$ ; שני המשולשים ישרי הזווית חופפים

\begin{aligned}\cos 60^\circ &= \frac{6}{AD} \ \Rightarrow \ AD \\ &= \frac{6}{\frac{1}{2}} \\ &= 12\end{aligned}

$AE$ ליד $60^\circ$ , $AD$ היתר

$AD = 12$ : היתר כפול מהניצב שמול $30^\circ$ (הזווית $\angle ADE$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיס $AB = 24$ , הבסיס $DC = 12$ וזווית הבסיס $\angle A = 60^\circ$ . ב. חשבו את גובה הטרפז. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.39

הפתרון:

\begin{aligned}DE &= 6\tan 60^\circ \\ &= 6\sqrt{3} \approx 10.39\end{aligned}

במשולש $AED$ : $DE$ מול $60^\circ$ , $AE = 6$ ליד

$DE = 6\sqrt{3} \approx 10.39$ . גם $12\sin 60^\circ$ נותן את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיס $AB = 24$ , הבסיס $DC = 12$ וזווית הבסיס $\angle A = 60^\circ$ . ג. חשבו את שטח הטרפז. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 187.06

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \frac{(24 + 12) \cdot 6\sqrt{3}}{2} \\ &= 108\sqrt{3} \approx 187.06\end{aligned}

שטח טרפז: סכום הבסיסים כפול הגובה חלקי $2$

$S = 108\sqrt{3} \approx 187.06$ . ערך מדויק קודם, קירוב בסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במעוין $ABCD$ הצלע $10$ ו- $\angle A = 40^\circ$ . האלכסונים נפגשים ב- $O$ . א. חשבו את האלכסון $BD$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.84

הפתרון:

\begin{aligned}\angle OAD &= 20^\circ \\ \quad \angle AOD &= 90^\circ\end{aligned}

האלכסונים במעוין חוצים את הזוויות ומאונכים זה לזה

OD = 10\sin 20^\circ \approx 3.42

במשולש $AOD$ : $OD$ מול $20^\circ$ , $AD$ היתר

BD = 2 \cdot OD \approx 6.84

האלכסונים חוצים זה את זה

$BD \approx 6.84$ . המלכודת: לעבוד עם $40^\circ$ במקום $20^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במעוין $ABCD$ הצלע $10$ ו- $\angle A = 40^\circ$ . האלכסונים נפגשים ב- $O$ . ב. חשבו את שטח המעוין. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64.28

הפתרון:

S = 10 \cdot 10 \cdot \sin 40^\circ \approx 64.28

שני משולשים $ABD$ ו- $CBD$ , כל אחד $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \sin 40^\circ$

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot 10\cos 20^\circ \approx 18.79 \\ \quad S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \approx 64.28\end{aligned}

בדיקה דרך האלכסונים ✓

$S \approx 64.28$ . שתי דרכים לאותו שטח: הנוסחה עם סינוס, ומכפלת האלכסונים חלקי $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במערכת צירים נתונות הנקודות $A(1,\,1)$ , $B(7,\,1)$ ו- $C(7,\,9)$ . א. חשבו את שיפוע הישר $AC$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.33

הפתרון:

\begin{aligned}m &= \frac{9 - 1}{7 - 1} \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3} \approx 1.33\end{aligned}

הפרש ה- $y$ חלקי הפרש ה- $x$

$m = \frac{4}{3} \approx 1.33$ . במשולש $ABC$ זה $\frac{BC}{AB}$ : $AB = 6$ אופקי, $BC = 8$ אנכי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במערכת צירים נתונות הנקודות $A(1,\,1)$ , $B(7,\,1)$ ו- $C(7,\,9)$ . ב. חשבו את הזווית שהישר $AC$ יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53.1

הפתרון:

\tan\alpha = \frac{4}{3}

השיפוע הוא הטנגנס של הזווית; זו הזווית $A$ במשולש $ABC$

\alpha = \tan^{-1}\left(\tfrac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ

במחשבון

$\alpha \approx 53.1^\circ$ . בדיקה: $AC = 10$ (פיתגורס), ו- $\sin\alpha = \frac{8}{10} = 0.8$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev