מערכות, פרמטרים, ישר ופרבולה

תמליל

מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים היא שאלה על שני גרפים: הפתרון הוא נקודת החיתוך. ומה שרואים בשרטוט אומר מראש כמה פתרונות יהיו. לשני ישרים יש שלושה מצבים. m 1 שונה מ m 2 — נחתכים בנקודה אחת, פתרון יחיד.

שיפועים שווים ו- b שונה — ישרים מקבילים, אין פתרון. שיפועים שווים ו- b שווה — אותו ישר, אינסוף פתרונות. בלי לפתור: כמה פתרונות יש למערכת y שווה 3x-2 ו- 6x-2y שווה 4 ?

מבודדים בשנייה: -2y שווה -6x ועוד 4, כלומר y שווה 3x-2 — אותו ישר. יש אינסוף פתרונות: כל נקודה על הישר. כשבמשוואה מופיע פרמטר k, השאלה מתורגמת לתנאי על השיפוע. לאיזה ערך של k אין פתרון למערכת kx ועוד 2y שווה 6 ו- 3x ועוד y שווה 1 ?

השיפועים: -k חלקי 2 ו- -3. שווים כאשר k שווה 6. אז הישרים הם y שווה -3x ועוד 3 ו- y שווה -3x ועוד 1 — מקבילים שאינם מתלכדים, ולכן אין פתרון. ישר ופרבולה:

משווים את שני הביטויים של y ומקבלים משוואה ריבועית. דלתא גדולה מ- 0 — שתי נקודות חיתוך. דלתא שווה 0 — הישר משיק לפרבולה. דלתא קטנה מ- 0 — הישר אינו פוגש אותה. לאיזה ערך של c הישר y שווה 2x ועוד c משיק לפרבולה y שווה x בריבוע ?

x בריבוע שווה 2x ועוד c, כלומר x בריבוע -2x-c שווה 0. משיק כאשר דלתא שווה 4 ועוד 4c שווה 0, ולכן c שווה -1. נקודת ההשקה (1,1). נקודת מפגש היא זוג שיעורים: אחרי x מציבים ומוצאים גם את y. ודיסקרימיננטה אפס נותנת פתרון אחד — נקודת השקה — לא אפס פתרונות.