מערכות, פרמטרים, ישר ופרבולה · מבוא להנדסה אנליטית · כיתה י׳

מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים היא שאלה על שני גרפים: הפתרון הוא נקודה ששיעוריה מקיימים את שתי המשוואות יחד — כלומר נקודת החיתוך. מה שרואים בשרטוט אומר מראש כמה פתרונות יהיו.

מערכת של שני ישרים — שלושה מצבים

m_1 \neq m_2

הישרים נחתכים בנקודה אחת — פתרון יחיד.

\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \ b_1 \neq b_2\end{aligned}

ישרים מקבילים — אין פתרון.

\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \ b_1 &= b_2\end{aligned}

אותו ישר — אינסוף פתרונות.

בלי לפתור: כמה פתרונות יש למערכת $y=3x-2$ ו- $6x-2y=4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

מבודדים בשנייה: $-2y=-6x+4$ , כלומר $y=3x-2$ — אותו ישר. יש אינסוף פתרונות: כל נקודה על הישר.

ישר עם פרמטר

כשבמשוואת הישר מופיע פרמטר $k$ , כל ערך של $k$ נותן ישר אחר. השאלות «לאיזה $k$ …» מתורגמות לתנאי על השיפוע או על נקודת החיתוך עם ציר $y$ :

b = 0

הישר עובר דרך ראשית הצירים.

m = 0

הישר מקביל לציר $x$ .

m = m_1

הישר מקביל לישר נתון ששיפועו $m_1$ .

m \cdot m_1 = -1

הישר מאונך לישר נתון ששיפועו $m_1$ .

ארבע שאלות על ישר אחד

נתון הישר $y=(2k-4)x+k+1$ . מצאו את $k$ שעבורו הישר (א) עובר דרך הראשית, (ב) מקביל לציר $x$ , (ג) מאונך לישר $y=\frac{1}{2}x+3$ .

\begin{aligned}k + 1 &= 0 \Rightarrow k \\ &= -1\end{aligned}

(א) נקודת החיתוך עם ציר $y$ היא $0$

\begin{aligned}2k - 4 &= 0 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

(ב) השיפוע $0$

\begin{aligned}2k - 4 &= -2 \Rightarrow k \\ &= 1\end{aligned}

(ג) השיפוע ההופכי בסימן הפוך ל- $\frac{1}{2}$

\begin{aligned}k &= 1: \ y \\ &= -2x + 2\end{aligned}

בדיקה: $-2 \cdot \frac{1}{2} = -1$

לאיזה ערך של $k$ אין פתרון למערכת $kx+2y=6$ ו- $3x+y=1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

השיפועים: $-\frac{k}{2}$ ו- $-3$ . שווים כאשר $k=6$ . אז המשוואה הראשונה היא $y=-3x+3$ והשנייה $y=-3x+1$ — מקבילים שאינם מתלכדים, ולכן אין פתרון כאשר $k=6$ .

ישר ופרבולה

ישר יכול לפגוש פרבולה בשתי נקודות, בנקודה אחת, או לא לפגוש אותה כלל. משווים את שני הביטויים של $y$ ומקבלים משוואה ריבועית. מספר הפתרונות שלה — כמספר נקודות המפגש.

\Delta > 0

שני פתרונות — הישר חותך את הפרבולה בשתי נקודות.

\Delta = 0

פתרון אחד — הישר משיק לפרבולה.

\Delta < 0

אין פתרון — הישר אינו פוגש את הפרבולה.

נקודות המפגש של ישר ופרבולה

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה $y=x^2-2x-3$ עם הישר $y=x-3$ .

x^2 - 2x - 3 = x - 3

משווים את שני הביטויים של $y$

\begin{aligned}x^2 - 3x &= 0 \Rightarrow x(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים הכול לאגף אחד ומוציאים גורם משותף

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

שני פתרונות — שתי נקודות

(0,-3), \ (3,0)

מציבים בישר, שהוא פשוט יותר, כדי למצוא את $y$

לאיזה ערך של $c$ הישר $y=2x+c$ משיק לפרבולה $y=x^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$x^2=2x+c$ , כלומר $x^2-2x-c=0$ . משיק כאשר $\Delta=4+4c=0$ , ולכן $c=-1$ . נקודת ההשקה $(1,1)$ .

שלוש טעויות של הפרק.

b = 0

m = 0

ישר מקביל לציר $x$ : לא $b=0$ אלא $m=0$ . «מקביל לציר $x$ » הוא תנאי על השיפוע. $b=0$ פירושו «עובר דרך הראשית».

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 3 \Rightarrow \text{סיימנו}\end{aligned}

(0,-3), \ (3,0)

נקודת מפגש היא זוג שיעורים. אחרי $x$ מציבים ומוצאים גם את $y$ .

\Delta = 0 \Rightarrow 0

\Delta = 0 \Rightarrow 1

מספר נקודות המפגש: לא «אין מפגש» אלא נקודת השקה אחת. דיסקרימיננטה אפס נותנת פתרון אחד, לא אפס פתרונות.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המערכת $y=2x-1$ , $y=-x+5$ ובדקו בשרטוט שהפתרון הוא נקודת החיתוך.

$x=$ ____, $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 2, $y=$ 3

הפתרון:

2x - 1 = -x + 5

משווים את שני הביטויים של $y$

\begin{aligned}3x &= 6 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}y &= 2 \cdot 2 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים באחד הישרים

$(2,3)$ . בשרטוט רואים את הנקודה — אבל את השיעורים המדויקים נותן רק החישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה פתרונות יש למערכת $2x-y=3$ ו- $4x-2y=6$ ?

פתרון יחיד
שני פתרונות
אינסוף פתרונות
אין פתרון

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אינסוף פתרונות

הפתרון:

\begin{aligned}2x - y &= 3 \Rightarrow y \\ &= 2x - 3\end{aligned}

מבודדים את $y$ בראשונה

\begin{aligned}4x - 2y &= 6 \Rightarrow y \\ &= 2x - 3\end{aligned}

וגם בשנייה — אותו ישר

הבחירה הנכונה: «אינסוף פתרונות». המשוואה השנייה היא הראשונה כפולה ב- $2$ . «אין פתרון» — מי שראה שיפועים שווים ולא בדק את $b$ . «שני פתרונות» — לשני ישרים אין אפשרות כזאת בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לאיזה ערך של $k$ הישר $y=(k+2)x+2k-6$ עובר דרך ראשית הצירים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

(0,0): \ 0 = (k+2) \cdot 0 + 2k - 6

מציבים את הראשית

\begin{aligned}2k - 6 &= 0 \Rightarrow k \\ &= 3\end{aligned}

$k=3$ (והישר $y=5x$ ). הטעות: לאפס את השיפוע, $k=-2$ — זה נותן ישר מקביל לציר $x$ , $y=-10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לאיזה ערך של $k$ הישר $y=(3k-6)x+k$ מקביל לציר $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

3k - 6 = 0

מקביל לציר $x$ — שיפוע $0$

\begin{aligned}k &= 2 \Rightarrow y \\ &= 2\end{aligned}

הישר האופקי $y=2$

$k=2$ . מי שאיפס את $b$ וקיבל $k=0$ מצא ישר דרך הראשית, $y=-6x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לאיזה ערך של $k$ הישר $kx-3y+6=0$ מאונך לישר $y=-\frac{3}{2}x+1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}-3y &= -kx - 6 \Rightarrow y \\ &= \frac{k}{3}x + 2\end{aligned}

קודם מבודדים את $y$

\frac{k}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -1

תנאי המאונכות

\begin{aligned}-\frac{k}{2} &= -1 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

$k=2$ . הטעות: לקחת $k$ עצמו כשיפוע ולקבל $k=\frac{2}{3}$ — בצורה כללית המקדם של $x$ אינו השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לכל ערך של $k$ , הישר $y=kx+2k-1$ עובר דרך הנקודה $(-2,-1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

y = k \cdot (-2) + 2k - 1

מציבים $x=-2$

= -2k + 2k - 1 = -1

ה- $k$ מתבטל — התוצאה לא תלויה ב- $k$

נכון. משפחת הישרים «מסתובבת» סביב $(-2,-1)$ . כדי להפריך «לכל $k$ » מספיקה דוגמה נגדית אחת; כדי להוכיח — צריך חישוב כללי, לא שתי דוגמאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה $y=x^2-4x+1$ עם הישר $y=2x-4$ .

הנקודה השמאלית: $($ ____ $,$ ____ $)$ , הנקודה הימנית: $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הנקודה השמאלית: $($ 1 $,$ -2 $)$ , הנקודה הימנית: $($ 5 $,$ 6 $)$

הפתרון:

x^2 - 4x + 1 = 2x - 4

משווים

\begin{aligned}x^2 - 6x + 5 &= 0 \Rightarrow (x-1)(x-5) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית

\begin{aligned}x &= 1: \ y \\ &= -2; \quad x \\ &= 5: \ y \\ &= 6\end{aligned}

מציבים בישר

$(1,-2)$ ו- $(5,6)$ . הטעות: להעביר רק את $2x$ ולשכוח את $-4$ , ולקבל $x^2-6x+1=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לאיזה ערך של $c$ הישר $y=-2x+c$ משיק לפרבולה $y=x^2+4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 + 4 &= -2x + c \Rightarrow x^2 + 2x + 4 - c \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומסדרים

\begin{aligned}\Delta &= 4 - 4(4 - c) \\ &= 0\end{aligned}

משיק — פתרון אחד

\begin{aligned}4 - c &= 1 \Rightarrow c \\ &= 3\end{aligned}

נקודת ההשקה $(-1,5)$

$c=3$ . הטעות: לחשב את $\Delta$ עם $c$ במקום $4-c$ — האיבר החופשי הוא כל מה שאין בו $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בכמה נקודות נפגשים הפרבולה $y=x^2+2x+5$ והישר $y=-2x+1$ ?

בשתי נקודות
בנקודה אחת
בשלוש נקודות
באף נקודה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בנקודה אחת

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 + 2x + 5 &= -2x + 1 \Rightarrow x^2 + 4x + 4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}\Delta &= 16 - 16 \\ &= 0\end{aligned}

פתרון אחד: $x=-2$

(-2,5)

הישר משיק לפרבולה

הבחירה הנכונה: «בנקודה אחת». «באף נקודה» — מי שבלבל בין $\Delta=0$ ל- $\Delta<0$ . «בשתי נקודות» — מי שהניח שישר תמיד חוצה פרבולה, בלי לחשב את $\Delta$ . «בשלוש נקודות» — בלתי אפשרי: המשוואה ריבועית, ולכן יש לה לכל היותר שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל מערכת את מספר הפתרונות שלה.

$y=3x+1$ ו- $y=3x-2$
$y=3x+1$ ו- $6x-2y+2=0$
$y=3x+1$ ו- $y=-x+1$
$y=x^2$ ו- $y=2x-1$

אין פתרון
אינסוף פתרונות
פתרון יחיד — נקודת השקה
פתרון יחיד, $(0,1)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=3x+1$ ו- $y=3x-2$ — אין פתרון · $y=3x+1$ ו- $6x-2y+2=0$ — אינסוף פתרונות · $y=3x+1$ ו- $y=-x+1$ — פתרון יחיד, $(0,1)$ · $y=x^2$ ו- $y=2x-1$ — פתרון יחיד — נקודת השקה

הפתרון:

\begin{aligned}6x - 2y + 2 &= 0 \Rightarrow y \\ &= 3x + 1\end{aligned}

אותו ישר בדיוק

\begin{aligned}x^2 &= 2x - 1 \Rightarrow (x-1)^2 \\ &= 0\end{aligned}

$\Delta=0$ — השקה ב- $(1,1)$

שיפועים שווים לבדם אינם מספיקים כדי לקבוע: צריך לבדוק גם אם הישרים מתלכדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מערכת של שני ישרים — שלושה מצבים

ישר עם פרמטר

ישר ופרבולה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev