המעגל במערכת צירים · מבוא להנדסה אנליטית · כיתה י׳

מעגל הוא אוסף כל הנקודות שנמצאות במרחק קבוע $R$ מנקודה קבועה — המרכז. יש לנו כבר נוסחת מרחק, ולכן אפשר לכתוב את ההגדרה הזאת כמשוואה.

ארבע נקודות על מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו

5

. בדקו אחת:

3^2+4^2=9+16=25=5^2

. ומה עם

(-4,3)

? גם

16+9=25

המעגל הקנוני — מרכז בראשית

נקודה $(x,y)$ נמצאת על המעגל שמרכזו $O(0,0)$ ורדיוסו $R$ אם ורק אם המרחק שלה מ- $O$ הוא $R$ : $\sqrt{x^2+y^2}=R$ . מעלים בריבוע:

x^2 + y^2 = R^2

המעגל הקנוני — מרכזו בראשית הצירים

האם הנקודה $(1,-5)$ נמצאת על המעגל $x^2+y^2=25$ ? ואם לא — בתוכו או מחוצה לו?

להציג את התשובה והפתרון

$1+25=26>25$ . הנקודה מחוץ למעגל: המרחק שלה מהמרכז, $\sqrt{26}$ , גדול מהרדיוס $5$ .

מעגל שמרכזו בכל נקודה

פעילות אינטראקטיבית

מנוסחת המרחק למשוואת המעגל

M(a,b), \quad R

לחצו «להתחיל». אותה הגדרה בדיוק — רק שהמרכז זז מהראשית אל $M(a,b)$ .

ההגדרה

PM = R

הנקודה $P(x,y)$ על המעגל אם ורק אם מרחקה מהמרכז הוא $R$ .

נוסחת המרחק

\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = R

המרחק בין $P(x,y)$ ל- $M(a,b)$ .

מעלים בריבוע

(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

שני האגפים אינם שליליים, ולכן מותר להעלות בריבוע.

דוגמה

\begin{aligned}M(2,-1) \\ \ R &= 5: \quad (x-2)^2 + (y+1)^2 \\ &= 25\end{aligned}

שימו לב: $y-(-1)$ נכתב $y+1$ .

המשוואה היא נוסחת המרחק בתחפושת. מי שזוכר את זה לא מתבלבל בסימנים של המרכז.

לעשות את הפעילות ב-elev

(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

מעגל שמרכזו $(a,b)$ ורדיוסו $R$

המרכז $(a,\, b)$ , הרדיוס $R$ . באגף הימני יושב הרדיוס בריבוע, ובתוך הסוגריים מינוס — לכן סימני המרכז הפוכים לסימנים שרואים במשוואה.

מהו רדיוס המעגל $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ , ומהו מרכזו?

להציג את התשובה והפתרון

הרדיוס 5, ולא 25. המרכז $(2,-1)$ — הסימן של $b$ מתהפך, כי $y+1=y-(-1)$ .

מציאת משוואת מעגל

כדי לכתוב משוואת מעגל צריך שני דברים בלבד: מרכז ורדיוס. בדרך כלל אחד מהם חבוי בנתונים.

M, \ P

נתונים מרכז ונקודה על המעגל — $R$ הוא המרחק $MP$ .

A, \ B

נתונים קצות קוטר — המרכז הוא אמצע $AB$ , והרדיוס חצי מאורך $AB$ .

מעגל לפי קוטר

הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל, כאשר $A(-1,4)$ ו- $B(5,-4)$ . מצאו את משוואת המעגל.

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{4-4}{2}\right) \\ &= (2,0)\end{aligned}

המרכז — אמצע הקוטר

\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

אורך הקוטר

R = 5

הרדיוס — חצי הקוטר

(x-2)^2 + y^2 = 25

משוואת המעגל

ישר ומעגל

כמו בישר ופרבולה: מציבים את משוואת הישר במשוואת המעגל ומקבלים משוואה ריבועית. מספר הפתרונות הוא מספר נקודות המפגש.

2

הישר חותך את המעגל.

1

הישר משיק לו.

0

הישר אינו פוגש אותו.

המשיק — הרדיוס מאונך לו

מהגאומטריה אנחנו יודעים: הרדיוס אל נקודת ההשקה מאונך למשיק. בהנדסה אנליטית זה אומר שהשיפועים שלהם מקיימים $m_1 \cdot m_2 = -1$ .

1

מוצאים את שיפוע הרדיוס — ממרכז המעגל אל נקודת ההשקה.

2

שיפוע המשיק הוא ההופכי בסימן הפוך.

3

ומשם — משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע.

משיק למעגל

מעגל שמרכזו $(0,0)$ ורדיוסו $5$ . מצאו את המשיק בנקודה $(-4,3)$ .

\begin{aligned}m_1 &= \frac{3 - 0}{-4 - 0} \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס

m_2 = \frac{4}{3}

שיפוע המשיק: הופכי וסימן הפוך

y - 3 = \frac{4}{3}(x + 4)

מציבים את נקודת ההשקה

y = \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}

משוואת המשיק. בדיקה: $\frac{4}{3}\cdot(-4)+\frac{25}{3}=3$

נתונים מרכז מעגל ונקודת השקה. איך מוצאים את שיפוע המשיק?

להציג את התשובה והפתרון

קודם שיפוע הרדיוס — מהמרכז אל נקודת ההשקה — ואז ההופכי בסימן הפוך, כי הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.

שלוש הטעויות של המעגל.

\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+1)^2 &= 25 \Rightarrow R \\ &= 25\end{aligned}

R = 5

באגף הימני יושב הרדיוס בריבוע.

(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25 \Rightarrow M(-2,1)

M(2,-1)

בתוך הסוגריים יש מינוס: $x-2$ פירושו $a=2$ .

m_2 = m_1

m_1 \cdot m_2 = -1

המשיק והרדיוס מאונכים, לא מקבילים.

תרגילים

תרגיל 1

מהו רדיוס המעגל $x^2 + y^2 = 36$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

R^2 = 36

האגף הימני הוא הרדיוס בריבוע

R = 6

שורש — הרדיוס חיובי

$R=6$ . מי שענה $36$ שכח שבאגף הימני יושב $R^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו $5$ . מהו שיפוע המשיק למעגל בנקודה $(3,\, 4)$ ?

$\frac{4}{3}$
$-\frac{3}{4}$
$-\frac{4}{3}$
$\frac{3}{4}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $-\frac{3}{4}$

הפתרון:

\begin{aligned}m_1 &= \frac{4-0}{3-0} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס, מהמרכז לנקודה

m_2 = -\frac{3}{4}

הופכי וסימן הפוך

הבחירה הנכונה: « $-\frac{3}{4}$ ». « $\frac{4}{3}$ » — שיפוע הרדיוס עצמו. « $-\frac{4}{3}$ » — הפך רק את הסימן. « $\frac{3}{4}$ » — הפך רק את השבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הצבת משוואת ישר במשוואת מעגל נתנה משוואה ממעלה שנייה עם פתרון יחיד. מה המצב ההדדי של הישר והמעגל?

הישר עובר דרך מרכז המעגל
הישר חותך את המעגל בשתי נקודות
הישר אינו פוגש את המעגל
הישר משיק למעגל

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הישר משיק למעגל

הפתרון:

\Rightarrow

פתרון אחד נותן נקודת מפגש אחת: כל פתרון של המשוואה הוא שיעור $x$ של נקודת מפגש

הבחירה הנכונה: «הישר משיק למעגל». «עובר דרך המרכז» — ישר כזה חותך את המעגל תמיד בשתי נקודות, קצות קוטר. «אינו פוגש» — מתאים לאפס פתרונות, לא לאחד. «חותך בשתי נקודות» — מתאים לשני פתרונות, לא לאחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו מרכז המעגל $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9$ ?

$(-2,\, -5)$
$(2,\, 5)$
$(2,\, -5)$
$(-2,\, 5)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $(2,\, -5)$

הפתרון:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

הצורה של משוואת מעגל

\begin{aligned}x - 2 \Rightarrow a &= 2; \quad y + 5 \\ &= y - (-5) \Rightarrow b \\ &= -5\end{aligned}

הנוסחה מחסרת

הבחירה הנכונה: « $(2,-5)$ ». « $(-2,5)$ » — הפך את שני הסימנים. « $(2,5)$ » — קרא את $b$ בלי להפוך. « $(-2,-5)$ » — הפך את $a$ ולא את $b$ . פלוס בסוגריים — מינוס במרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מעגל שמרכזו $M(-1,2)$ עובר דרך הנקודה $P(3,5)$ . השלימו את משוואתו.

$(x+1)^2+(y-2)^2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x+1)^2+(y-2)^2=$ 25

הפתרון:

\begin{aligned}R^2 &= MP^2 \\ &= (3-(-1))^2 + (5-2)^2\end{aligned}

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה

= 16 + 9 = 25

אין צורך בשורש — המשוואה צריכה את $R^2$

$25$ . מי שכתב $5$ חישב את $R$ ושכח שבמשוואה יושב $R^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל, כאשר $A(-2,1)$ ו- $B(4,9)$ . מהי משוואת המעגל?

$(x+1)^2+(y+5)^2=25$
$(x-1)^2+(y-5)^2=5$
$(x-1)^2+(y-5)^2=100$
$(x-1)^2+(y-5)^2=25$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $(x-1)^2+(y-5)^2=25$

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+9}{2}\right) \\ &= (1,5)\end{aligned}

המרכז — אמצע הקוטר

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36+64} \\ &= 10 \Rightarrow R \\ &= 5\end{aligned}

הרדיוס — חצי הקוטר

(x-1)^2 + (y-5)^2 = 25

הבחירה הנכונה: « $(x-1)^2+(y-5)^2=25$ ». « $=100$ » — לקח את הקוטר כרדיוס. « $(x+1)^2+(y+5)^2=25$ » — טעות בסימני המרכז. « $=5$ » — כתב $R$ במקום $R^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ . מיינו את הנקודות: בתוך המעגל או מחוצה לו?

בתוך המעגל
מחוץ למעגל

$(-4,1)$
$(0,-2)$
$(3,-2)$
$(4,5)$
$(5,6)$
$(7,0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(4,5)$ — בתוך המעגל · $(5,6)$ — מחוץ למעגל · $(0,-2)$ — בתוך המעגל · $(-4,1)$ — מחוץ למעגל · $(3,-2)$ — בתוך המעגל · $(7,0)$ — מחוץ למעגל

הפתרון:

(4,5): \ 9 + 9 = 18 < 25

מציבים ומשווים ל- $R^2$ : קטן — בפנים

(-4,1): \ 25 + 1 = 26 > 25

גדול — בחוץ

משווים את המרחק בריבוע ל- $R^2=25$ , לא ל- $R=5$ : מי שמשווה $18$ ל- $5$ «מוציא» את כל הנקודות מהמעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הישר $y=x+1$ חותך את המעגל $x^2+y^2=25$ בשתי נקודות. מצאו אותן.

ברביע הראשון: $($ ____ $,$ ____ $)$ ; ברביע השלישי: $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ברביע הראשון: $($ 3 $,$ 4 $)$ ; ברביע השלישי: $($ -4 $,$ -3 $)$

הפתרון:

x^2 + (x+1)^2 = 25

מציבים את הישר במעגל

\begin{aligned}2x^2 + 2x - 24 &= 0 \Rightarrow x^2 + x - 12 \\ &= 0\end{aligned}

פותחים ומחלקים ב- $2$

\begin{aligned}(x+4)(x-3) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -4\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 3: \ y \\ &= 4; \quad x \\ &= -4: \ y \\ &= -3\end{aligned}

מציבים בישר

$(3,4)$ ו- $(-4,-3)$ . הטעות: $(x+1)^2 = x^2+1$ — שוכחים את האיבר האמצעי $2x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הנקודה $(k,2)$ נמצאת על המעגל $(x-3)^2+(y+2)^2=25$ , ו- $k>3$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

(k-3)^2 + (2+2)^2 = 25

מציבים את הנקודה

\begin{aligned}(k-3)^2 &= 9 \Rightarrow k - 3 \\ &= \pm 3\end{aligned}

שני ערכים אפשריים

\begin{aligned}k &= 6 \ \text{או} \ k \\ &= 0\end{aligned}

רק $k=6$ גדול מ- $3$

$k=6$ . הטעות: $(2+2)^2$ נכתב $(2-2)^2=0$ — מי שמציב $y=2$ צריך $y+2=4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הנקודה $A(3,2)$ נמצאת על המעגל $(x-1)^2+(y+2)^2=20$ . דרך $A$ העבירו משיק למעגל. באיזו נקודה חותך המשיק את ציר $y$ ? כתבו את שיעור ה- $y$ (כשבר עשרוני).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.5

הפתרון:

\begin{aligned}(3-1)^2 + (2+2)^2 &= 4 + 16 \\ &= 20 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: $A$ על המעגל

\begin{aligned}m_1 &= \frac{2-(-2)}{3-1} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע הרדיוס $MA$ , כאשר $M(1,-2)$

m_2 = -\frac{1}{2}

המשיק מאונך לרדיוס

\begin{aligned}y - 2 &= -\frac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow y \\ &= -\frac{1}{2}x + 3.5\end{aligned}

משוואת המשיק

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 3.5\end{aligned}

$3.5$ . הטעות הנפוצה: לקחת את המרכז $(-1,2)$ במקום $(1,-2)$ — ואז כל השיפועים יוצאים שגויים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

המעגל הקנוני — מרכז בראשית

מעגל שמרכזו בכל נקודה

מציאת משוואת מעגל

ישר ומעגל

המשיק — הרדיוס מאונך לו

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev