פותרים יחד · מבוא להנדסה אנליטית · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, כל אחת על צורה אחרת שחוזרת במבחנים: משולש ישר זווית, ישר עם פרמטר מול פרבולה, מעגל שמרכזו על ישר, משיק ושטח, ומרובע שצריך לזהות. בכל שלב אתם בוחרים את הצעד הבא; בחירה שגויה מסבירה למה ומאפשרת לנסות שוב.

לפני שלוחצים — אמרו לעצמכם את הצעד. הפער בין מה שחשבתם לבין הצעד הנכון הוא מה שמלמד, לא קריאת הפתרון. אחרי כל שאלה יש שאלת «תורכם» — פתרו אותה לבד לפני שפותחים את התשובה.

1. משולש ישר זווית ומעגל חוסם

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 1

נתונות הנקודות $A(-1,2)$ , $B(3,4)$ ו- $C(5,0)$ . (א) הוכיחו כי המשולש $ABC$ ישר זווית. (ב) חשבו את שטחו. (ג) מצאו את משוואת המעגל העובר דרך שלושת הקודקודים.

איך מוכיחים שיש במשולש זווית ישרה?

מחשבים את שלוש הצלעות ובודקים את משפט פיתגורס ההפוך.

להציג את התשובה והפתרון

הדרך הזאת מגיעה לתשובה, אבל היא ארוכה: שלושה אורכים עם שורשים. בשיפועים מספיקים שני חישובים קצרים — וזה הצעד שנבחר כאן.

מחשבים שיפועים של שתי צלעות ובודקים אם המכפלה $-1$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. מאונכות מזהים בשיפועים, וזה הכלי הקצר ביותר.

משרטטים ורואים שהזווית ב- $B$ נראית ישרה.

להציג את התשובה והפתרון

שרטוט אינו הוכחה. צריך נימוק מחושב.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4-2}{3+1} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{0-4}{5-3} \\ &= -2\end{aligned}

המכפלה $\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1$ , ולכן $AB \perp BC$ והזווית הישרה ב- $B$ .

איך מחשבים את השטח?

$\frac{AB \cdot BC}{2}$ — מכפלת הניצבים חלקי 2.

להציג את התשובה והפתרון

כן. $AB$ ו- $BC$ הם הניצבים, כי הזווית הישרה ב- $B$ .

$\frac{AB \cdot AC}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

$AC$ הוא היתר, לא ניצב. מכפלת ניצב ביתר אינה נותנת שטח.

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= \sqrt{20} \Rightarrow S \\ &= \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= 10\end{aligned}

המשולש גם שווה שוקיים: שני הניצבים באורך $\sqrt{20}$ .

איפה מרכז המעגל העובר דרך שלושת הקודקודים?

באמצע היתר $AC$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ולכן אמצע היתר רחוק באותה מידה משלושת הקודקודים.

בקודקוד $B$ , שבו הזווית הישרה.

להציג את התשובה והפתרון

$B$ נמצא על המעגל, לא במרכזו.

בנקודה $(0,0)$ .

להציג את התשובה והפתרון

אין שום נתון שקושר את הראשית למשולש.

\begin{aligned}M &= (2,1) \\ \quad R^2 &= \frac{AC^2}{4} \\ &= \frac{40}{4} \\ &= 10\end{aligned}

משוואת המעגל: $(x-2)^2+(y-1)^2=10$ . בדיקה ב- $B$ : $1+9=10$ .

להציג את התשובה והפתרון

(א) $m_{AB}\cdot m_{BC}=-1$ . (ב) $S=10$ . (ג) $(x-2)^2+(y-1)^2=10$ . המלכודת ב-(ג): לחפש את המרכז בקודקוד הזווית הישרה.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: הוכיחו שבמשולש $P(0,0)$ , $Q(1,3)$ , $R(7,1)$ הזווית ב- $Q$ ישרה, וחשבו את שטחו.

להציג את התשובה והפתרון

$m_{PQ}=3$ , $m_{QR}=\frac{1-3}{7-1}=-\frac{1}{3}$ , מכפלה $-1$ . $PQ=\sqrt{10}$ , $QR=\sqrt{40}$ , והשטח $\frac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{40}}{2}=\frac{20}{2}=10$ .

2. ישר עם פרמטר מול פרבולה

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 2

נתונים הפרבולה $y=x^2-2x+3$ והישר $y=kx+2$ . (א) לאילו ערכי $k$ הישר משיק לפרבולה? (ב) מצאו את נקודות ההשקה.

מה הצעד הראשון?

משווים את שני הביטויים של $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. נקודות המפגש מקיימות את שתי המשוואות.

גוזרים את הפרבולה.

להציג את התשובה והפתרון

בפרק הזה עוד אין נגזרת — ואין בה צורך: מספר נקודות המפגש נקבע מהמשוואה.

מציבים $x=0$ .

להציג את התשובה והפתרון

כך מוצאים רק את נקודת החיתוך עם ציר $y$ , לא את המפגש.

\begin{aligned}x^2 - 2x + 3 &= kx + 2 \Rightarrow x^2 - (2+k)x + 1 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ממעלה שנייה עם פרמטר.

מתי הישר משיק?

כאשר $\Delta > 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

אז יש שתי נקודות מפגש — הישר חותך.

כאשר $\Delta = 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. פתרון יחיד — נקודת השקה אחת.

כאשר $k = 0$ בלבד.

להציג את התשובה והפתרון

$k=0$ הוא אחד הפתרונות — אבל יש עוד אחד. צריך לפתור, לא לנחש.

\begin{aligned}\Delta &= (2+k)^2 - 4 \\ &= 0 \Rightarrow 2 + k \\ &= \pm 2 \Rightarrow k \\ &= 0 \ \text{או} \ k \\ &= -4\end{aligned}

שני ישרים משיקים.

איך מוצאים את נקודת ההשקה כש- $k=-4$ ?

מציבים $k=-4$ במשוואה ופותרים: $x^2+2x+1=0$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. הפתרון היחיד הוא שיעור ה- $x$ של ההשקה.

מציבים $x=-4$ בפרבולה.

להציג את התשובה והפתרון

$-4$ הוא ערך של $k$ , לא של $x$ .

\begin{aligned}k &= 0: \ (1,2); \qquad k \\ &= -4: \ (x+1)^2 \\ &= 0 \Rightarrow (-1,6)\end{aligned}

בדיקה בפרבולה: $1+2+3=6$ .

להציג את התשובה והפתרון

$k=0$ עם השקה ב- $(1,2)$ , ו- $k=-4$ עם השקה ב- $(-1,6)$ . המלכודת: לעצור אחרי ערך אחד של $k$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: לאילו ערכי $k$ הישר $y=kx+1$ משיק לפרבולה $y=x^2+2x+5$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$x^2+(2-k)x+4=0$ , $\Delta=(2-k)^2-16=0$ , ולכן $2-k=\pm 4$ : $k=-2$ או $k=6$ . ההשקות: $(-2,5)$ ו- $(2,13)$ .

3. מעגל שמרכזו על ישר נתון

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 3

מרכז מעגל נמצא על הישר $y=x+1$ , והמעגל עובר דרך $A(1,0)$ ו- $B(5,4)$ . מצאו את משוואת המעגל.

מה יודעים על מרכז מעגל שעובר דרך $A$ ו- $B$ ?

הוא אמצע הקטע $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

רק אם $AB$ קוטר — וזה לא נתון.

הוא נמצא על האנך האמצעי של $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. המרכז במרחק שווה מ- $A$ ומ- $B$ , וזה בדיוק האנך האמצעי.

הוא נמצא על הישר $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

אז הוא היה יכול להיות במרחק שווה מ- $A$ ומ- $B$ רק באמצע — שוב הנחה שאינה נתונה.

\begin{aligned}M_{AB} &= (3,2) \\ \ m_{AB} &= 1 \Rightarrow y - 2 \\ &= -(x - 3) \Rightarrow y \\ &= -x + 5\end{aligned}

האנך האמצעי של $AB$ .

ואיך מוצאים את המרכז עצמו?

חותכים את האנך האמצעי עם הישר $y=x+1$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. המרכז נמצא על שני הישרים.

מציבים את $A$ בישר $y=x+1$ .

להציג את התשובה והפתרון

$A$ אינו המרכז — הוא נקודה על המעגל.

\begin{aligned}-x + 5 &= x + 1 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ y &= 3\end{aligned}

המרכז $(2,3)$ .

מה נשאר?

$R^2$ — המרחק בריבוע מהמרכז ל- $A$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן, ובודקים גם עם $B$ .

$R$ — אורך הקטע $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

$AB$ הוא מיתר, לא רדיוס.

\begin{aligned}R^2 &= (2-1)^2 + (3-0)^2 \\ &= 10 \Rightarrow (x-2)^2 + (y-3)^2 \\ &= 10\end{aligned}

בדיקה ב- $B$ : $9+1=10$ .

להציג את התשובה והפתרון

$(x-2)^2+(y-3)^2=10$ . המלכודת: להניח שהמרכז הוא אמצע $AB$ — הנחה שאינה בנתונים.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: מרכז מעגל נמצא על הישר $y=-x+7$ , והמעגל עובר דרך $A(1,2)$ ו- $B(5,2)$ . מהו $R^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

הקטע $AB$ אופקי, ולכן האנך האמצעי שלו אנכי: $x=3$ (אין כאן «הופכי בסימן הפוך» — לישר אנכי אין שיפוע). חיתוך עם $y=-x+7$ : המרכז $(3,4)$ . $R^2=2^2+2^2=8$ , ובדיקה עם $B$ : $4+4=8$ .

4. משיק למעגל ושטח משולש

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 4

\begin{aligned}x^2 + y^2 &= 25 \\ \quad A(-3,4)\end{aligned}

דרך הנקודה $A$ שעל המעגל העבירו משיק, והוא חותך את ציר $x$ בנקודה $P$ . $O$ ראשית הצירים. חשבו את שטח המשולש $OAP$ . לחצו «להתחיל».

A על המעגל

(-3)^2 + 4^2 = 25 \ \checkmark

תמיד בודקים קודם שהנקודה אכן על המעגל.

שיפוע הרדיוס

\begin{aligned}m_1 &= \frac{4-0}{-3-0} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

מהמרכז $O$ אל $A$ .

שיפוע המשיק

m_2 = \frac{3}{4}

הופכי בסימן הפוך.

משוואת המשיק

\begin{aligned}y - 4 &= \frac{3}{4}(x + 3) \Rightarrow y \\ &= \frac{3}{4}x + \frac{25}{4}\end{aligned}

ישר לפי נקודה ושיפוע.

הנקודה P

\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow x \\ &= -\frac{25}{3}\end{aligned}

חיתוך עם ציר $x$ .

השטח

\begin{aligned}S &= \frac{OP \cdot 4}{2} \\ &= \frac{\frac{25}{3} \cdot 4}{2} \\ &= \frac{50}{3}\end{aligned}

הבסיס $OP$ על ציר $x$ , והגובה אליו הוא שיעור ה- $y$ של $A$ .

$S=\frac{50}{3}$ . המלכודת: אורך הוא חיובי — $OP=\frac{25}{3}$ , גם כש- $P$ משמאל לראשית.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: המשיק למעגל $x^2+y^2=13$ בנקודה $(2,3)$ יוצר משולש עם הצירים. מהו שטחו?

להציג את התשובה והפתרון

שיפוע הרדיוס $\frac{3}{2}$ , שיפוע המשיק $-\frac{2}{3}$ : $y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$ . חיתוכים: $(\frac{13}{2},0)$ ו- $(0,\frac{13}{3})$ . השטח $\frac{1}{2}\cdot\frac{13}{2}\cdot\frac{13}{3}=\frac{169}{12}\approx 14.08$ .

5. איזה מרובע זה?

פעילות אינטראקטיבית

שאלה 5

נתונות הנקודות $A(-2,1)$ , $B(2,3)$ , $C(4,-1)$ ו- $D(0,-3)$ . האם המרובע $ABCD$ הוא ריבוע? נמקו.

מאיפה מתחילים?

בודקים אם הצלעות הנגדיות מקבילות.

להציג את התשובה והפתרון

כן. זוג אחרי זוג: קודם מקבילית, אחר כך מה שמעבר לה.

בודקים שכל ארבע הצלעות שוות.

להציג את התשובה והפתרון

צלעות שוות נותנות מעוין — ומעוין אינו בהכרח ריבוע. זה חצי מהדרך.

מודדים את האלכסונים.

להציג את התשובה והפתרון

אפשרי, אבל זה כלי של מלבן. נתחיל מהבסיס — מקבילות.

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= m_{AD} \\ &= -2\end{aligned}

שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות — מקבילית.

מה עוד חסר כדי שזה יהיה ריבוע?

זווית ישרה וזוג צלעות סמוכות שוות.

להציג את התשובה והפתרון

כן. מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן; מלבן עם צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.

שום דבר — מקבילית היא ריבוע.

להציג את התשובה והפתרון

לא כל מקבילית היא ריבוע. חסרות עוד שתי תכונות.

\begin{aligned}\frac{1}{2} \cdot (-2) &= -1 \Rightarrow AB \perp BC; \quad AB^2 \\ &= BC^2 \\ &= 20\end{aligned}

זווית ישרה, וצלעות סמוכות שוות.

להציג את התשובה והפתרון

כן, $ABCD$ ריבוע: מקבילית (שני זוגות מקבילים), עם זווית ישרה ועם צלעות סמוכות שוות. המלכודת: לעצור אחרי «ארבע צלעות שוות» — כך מוכיחים רק מעוין.

לעשות את הפעילות ב-elev

תורכם: האם המרובע $A(1,1)$ , $B(4,2)$ , $C(5,5)$ , $D(2,4)$ הוא ריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $m_{AB}=m_{DC}=\frac{1}{3}$ ו- $m_{BC}=m_{AD}=3$ — מקבילית. $AB^2=BC^2=10$ — מעוין. אבל $\frac{1}{3}\cdot 3=1\neq -1$ — אין זווית ישרה, ולכן זה מעוין שאינו ריבוע.

תרגילים

תרגיל 1

נתונות הנקודות $P(0,1)$ , $Q(2,5)$ ו- $R(10,1)$ . הוכיחו שבמשולש $PQR$ הזווית ב- $Q$ ישרה, וחשבו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}m_{PQ} &= 2 \\ \ m_{QR} &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

מכפלת השיפועים $-1$ — הזווית ב- $Q$ ישרה

\begin{aligned}PQ &= \sqrt{20} \\ \ QR &= \sqrt{80}\end{aligned}

אורכי הניצבים

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{80}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{1600}}{2} \\ &= 20\end{aligned}

$S=20$ . המלכודת: לקחת את $PR=10$ כניצב — $PR$ הוא היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הישר $y=kx+2$ משיק לפרבולה $y=x^2+4x+6$ עבור שני ערכים של $k$ . מהו הערך החיובי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 + 4x + 6 &= kx + 2 \Rightarrow x^2 + (4-k)x + 4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}\Delta &= (4-k)^2 - 16 \\ &= 0 \Rightarrow 4 - k \\ &= \pm 4\end{aligned}

משיק — $\Delta=0$

\begin{aligned}k &= 0 \ \text{או} \ k \\ &= 8\end{aligned}

הערך החיובי: $8$

$k=8$ . המלכודת: לכתוב $4-k=4$ בלבד ולקבל רק $k=0$ — השורש של $16$ הוא $\pm 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מרכז מעגל נמצא על הישר $y=x-1$ , והמעגל עובר דרך $A(0,5)$ ו- $B(4,3)$ . מצאו את $R^2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AB} &= (2,4) \\ \ m_{AB} &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

אמצע ושיפוע של $AB$

\begin{aligned}y - 4 &= 2(x - 2) \Rightarrow y \\ &= 2x\end{aligned}

האנך האמצעי

2x = x - 1 \Rightarrow (-1,-2)

המרכז — חיתוך עם הישר הנתון

\begin{aligned}R^2 &= 1^2 + 7^2 \\ &= 50\end{aligned}

המרחק בריבוע אל $A$ ; בדיקה עם $B$ : $25+25=50$

$R^2=50$ . המלכודת: המרכז אינו אמצע $AB$ — $(2,4)$ אינו על הישר $y=x-1$ בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המשיק למעגל $x^2+y^2=10$ בנקודה $(1,3)$ יוצר משולש עם הצירים. חשבו את שטח המשולש, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16.67

הפתרון:

\begin{aligned}m_1 &= 3 \Rightarrow m_2 \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס, ושיפוע המשיק המאונך לו

\begin{aligned}y - 3 &= -\frac{1}{3}(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3}\end{aligned}

משוואת המשיק

(10,0), \ \left(0, \tfrac{10}{3}\right)

חיתוכים עם הצירים

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{10}{3} \\ &= \frac{50}{3} \approx 16.67\end{aligned}

$\frac{50}{3}\approx 16.67$ . המלכודת: לקחת את שיפוע הרדיוס כשיפוע המשיק — ישר כזה עובר דרך הראשית ואין משולש בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: המרובע $ABCD$ שקודקודיו $A(0,0)$ , $B(4,2)$ , $C(6,6)$ , $D(2,4)$ הוא מלבן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= \frac{1}{2} \\ \ m_{BC} &= m_{AD} \\ &= 2\end{aligned}

שני זוגות מקבילים — מקבילית

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \neq -1

הצלעות הסמוכות אינן מאונכות

\begin{aligned}AB^2 &= BC^2 \\ &= 20\end{aligned}

הצלעות שוות — זה מעוין

לא נכון. זה מעוין שאינו מלבן. המלכודת: שיפועים $\frac{1}{2}$ ו- $2$ נראים «הופכיים», אבל למאונכות צריך גם סימן הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1. משולש ישר זווית ומעגל חוסם

2. ישר עם פרמטר מול פרבולה

3. מעגל שמרכזו על ישר נתון

4. משיק למעגל ושטח משולש

5. איזה מרובע זה?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev