סדרה 1 — שאלות מסכמות, בסיס · מבוא להנדסה אנליטית · כיתה י׳

סדרה 1 בנויה כמו הבגרות: שתי שאלות ארוכות, כל אחת בחמישה או שישה סעיפים. הראשונה — משולש שמתברר כשווה שוקיים, ומעוין שבונים ממנו. השנייה — מעגל, מיתר ומשיק.

כל סעיף נשען על הקודם, ולכן הסעיף הבא מזכיר את התוצאה של הקודם. טעיתם בסעיף? המשיכו מהנתון שבראש הסעיף הבא. תשעה סעיפים נכונים ומעלה — עברו לסדרה 2.

תרגילים

תרגיל 1

נתונות הנקודות $A(-2,1)$ , $B(4,3)$ ו- $C(0,5)$ .

א. מהי משוואת הישר $AB$ ?

$y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$
$y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$
$y=\frac{1}{3}x+1$
$y=3x+7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3-1}{4+2} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע לפי שתי נקודות

\begin{aligned}y - 1 &= \frac{1}{3}(x + 2) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}\end{aligned}

ישר לפי שיפוע ונקודה $A$

הבחירה הנכונה: « $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$ ». « $y=3x+7$ » — הפך את השבר: $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ במקום $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . « $y=\frac{1}{3}x+1$ » — שכח לכפול את $2$ בשיפוע. « $y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$ » — טעות בסימן של $x_A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונות הנקודות $A(-2,1)$ , $B(4,3)$ ו- $C(0,5)$ .

ב. מצאו את $K$ , אמצע הקטע $AB$ .

$K=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $K=($ 1 $,$ 2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}K &= \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+3}{2}\right) \\ &= (1,2)\end{aligned}

ממוצע השיעורים

$K(1,2)$ . הטעות: לחסר במקום לחבר — זה נותן את חצי ההפרש, לא את האמצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונות הנקודות $A(-2,1)$ , $B(4,3)$ ו- $C(0,5)$ . $K(1,2)$ הוא אמצע $AB$ .

ג. הוכיחו כי $CK \perp AB$ .

$A(-2,1)$ , $B(4,3)$ , $C(0,5)$
$K(1,2)$ אמצע $AB$

$CK \perp AB$

להציג את התשובה והפתרון

$m_{AB} = \frac{1}{3}$ — $\frac{3-1}{4-(-2)}=\frac{2}{6}$
$m_{CK} = -3$ — $\frac{2-5}{1-0}$
$CK \perp AB$ — מכפלת השיפועים $\frac{1}{3}\cdot(-3)=-1$

הפתרון:

m_{AB} = \frac{1}{3}

$\frac{3-1}{4-(-2)}=\frac{2}{6}$

m_{CK} = -3

$\frac{2-5}{1-0}$

CK \perp AB

מכפלת השיפועים $\frac{1}{3}\cdot(-3)=-1$

התיכון $CK$ הוא גם גובה — ולכן המשולש $ABC$ שווה שוקיים. זה מה שהסעיף הבא שואל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונות הנקודות $A(-2,1)$ , $B(4,3)$ ו- $C(0,5)$ .

ד. הוכיחו או הפריכו: המשולש $ABC$ שווה שוקיים, $CA=CB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}CA &= \sqrt{(0+2)^2 + (5-1)^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

\begin{aligned}CB &= \sqrt{(0-4)^2 + (5-3)^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נכון. אפשר גם בלי חישוב: בסעיף ג התיכון $CK$ יצא מאונך ל- $AB$ , ותיכון שהוא גם גובה קיים רק במשולש שווה שוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונות הנקודות $A(-2,1)$ , $B(4,3)$ ו- $C(0,5)$ . $K(1,2)$ אמצע $AB$ , ו- $CK \perp AB$ .

ה. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36+4} \\ &= \sqrt{40} \\ &= 2\sqrt{10}\end{aligned}

הבסיס

\begin{aligned}CK &= \sqrt{1+9} \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

הגובה — כי $CK \perp AB$

\begin{aligned}S &= \frac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}{2} \\ &= 10\end{aligned}

$10$ . הגובה לבסיס $AB$ הוא $CK$ — זה מה שסעיף ג נתן. בלי סעיף ג היה צריך לחפש את עקב הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונות הנקודות $A(-2,1)$ , $B(4,3)$ ו- $C(0,5)$ . $K(1,2)$ אמצע $AB$ .

ו. מצאו את הנקודה $D$ כך שהמרובע $ACBD$ יהיה מעוין.

$D=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D=($ 2 $,$ -1 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}K &= \frac{C + D}{2} \Rightarrow D \\ &= (2\cdot 1 - 0,\ 2\cdot 2 - 5) \\ &= (2,-1)\end{aligned}

במעוין האלכסונים חוצים זה את זה: $K$ גם אמצע $CD$

\begin{aligned}CD \perp AB \\ \ CA &= CB\end{aligned}

האלכסונים מאונכים (סעיף ג), ולכן זו מקבילית שהיא מעוין

$D(2,-1)$ . המלכודת: לחפש את $D$ כך ש- $ABCD$ — בסדר הזה — יהיה מקבילית. סדר הקודקודים $ACBD$ שם את $AB$ ואת $CD$ כאלכסונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון המעגל שמרכזו $M(2,-1)$ , והוא עובר דרך הנקודה $P(5,3)$ .

א. השלימו את משוואת המעגל.

$(x-2)^2+(y+1)^2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x-2)^2+(y+1)^2=$ 25

הפתרון:

\begin{aligned}R^2 &= MP^2 \\ &= (5-2)^2 + (3+1)^2 \\ &= 25\end{aligned}

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה על המעגל

$25$ . הטעות: לכתוב $R=5$ באגף ימין — במשוואה מופיע $R^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון המעגל שמרכזו $M(2,-1)$ , והוא עובר דרך הנקודה $P(5,3)$ . משוואת המעגל: $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ .

ב. הנקודה $Q(-1,3)$ נמצאת על המעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}(-1-2)^2 + (3+1)^2 &= 9 + 16 \\ &= 25\end{aligned}

מציבים את $Q$ במשוואה

נכון. מקבלים בדיוק $25$ . אם היה יוצא פחות מ- $25$ — הנקודה בתוך המעגל, ויותר — מחוצה לו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון המעגל שמרכזו $M(2,-1)$ , והוא עובר דרך הנקודה $P(5,3)$ . הנקודות $P(5,3)$ ו- $Q(-1,3)$ על המעגל.

ג. מהו אורך המיתר $PQ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}PQ &= 5 - (-1) \\ &= 6\end{aligned}

שתי הנקודות על הישר $y=3$ — המרחק הוא הפרש שיעורי ה- $x$

$6$ . מיתר אופקי: אין צורך בנוסחת המרחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון המעגל שמרכזו $M(2,-1)$ , והוא עובר דרך הנקודה $P(5,3)$ .

ד. מהי משוואת המשיק למעגל בנקודה $P$ ?

$y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$
$y=-\frac{4}{3}x+\frac{29}{3}$
$y=\frac{4}{3}x-\frac{11}{3}$
$y=-\frac{3}{4}x+\frac{27}{4}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $y=-\frac{3}{4}x+\frac{27}{4}$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{MP} &= \frac{3+1}{5-2} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס

m = -\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y - 3 &= -\frac{3}{4}(x - 5) \Rightarrow y \\ &= -\frac{3}{4}x + \frac{27}{4}\end{aligned}

דרך $P$

הבחירה הנכונה: « $y=-\frac{3}{4}x+\frac{27}{4}$ ». « $y=\frac{4}{3}x-\frac{11}{3}$ » — הרדיוס $MP$ עצמו. « $y=-\frac{4}{3}x+\frac{29}{3}$ » — הפך רק את הסימן. « $y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$ » — הפך רק את השבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתון המעגל שמרכזו $M(2,-1)$ , והוא עובר דרך הנקודה $P(5,3)$ . המשיק למעגל ב- $P$ הוא $y=-\frac{3}{4}x+\frac{27}{4}$ , והוא חותך את ציר $x$ בנקודה $T$ .

ה. חשבו את שטח המשולש $MPT$ (כשבר עשרוני).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.5

הפתרון:

0 = -\frac{3}{4}x + \frac{27}{4} \Rightarrow T(9,0)

חיתוך עם ציר $x$

\begin{aligned}MP &= 5 \\ \ PT &= \sqrt{(9-5)^2 + (0-3)^2} \\ &= 5\end{aligned}

שני הניצבים

\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 5}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

הזווית ב- $P$ ישרה — רדיוס מאונך למשיק

$12.5$ . הזווית הישרה נמצאת ב- $P$ , נקודת ההשקה — ולכן $MP$ ו- $PT$ הם הניצבים, בלי לחשב גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev