סדרה 2 — שאלות מסכמות, בינוני · מבוא להנדסה אנליטית · כיתה י׳

סדרה 2: שתי שאלות מסכמות. הראשונה מתחילה בשלושה קודקודים של מקבילית ומגיעה עד המעגל החוסם. השנייה — ישר עם פרמטר שמסתובב סביב נקודה, ומה קורה לו מול פרבולה.

בכל סעיף שאלו: מה הסעיף הקודם נתן לי — זווית ישרה? מרכז? כמעט תמיד הוא הכלי לסעיף הבא. תשעה סעיפים נכונים ומעלה — עברו לסדרה 3.

תרגילים

תרגיל 1

$ABCD$ מקבילית, ונתונים שלושה מקודקודיה: $A(1,0)$ , $B(5,2)$ , $C(4,4)$ .

א. מצאו את הקודקוד הרביעי $D$ .

$D=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D=($ 0 $,$ 2 $)$

הפתרון:

\frac{A + C}{2} = \frac{B + D}{2}

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה

\begin{aligned}D &= A + C - B \\ &= (1+4-5,\ 0+4-2) \\ &= (0,2)\end{aligned}

$D(0,2)$ . המלכודת: $D=B+C-A=(8,6)$ — זו המקבילית $ABDC$ , לא $ABCD$ . בדקו בשרטוט שהקודקודים מסודרים לפי הסדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$ABCD$ מקבילית, ונתונים שלושה מקודקודיה: $A(1,0)$ , $B(5,2)$ , $C(4,4)$ . $D(0,2)$ .

ב. הוכיחו כי $ABCD$ מלבן.

$ABCD$ מקבילית
$A(1,0)$ , $B(5,2)$ , $C(4,4)$

$ABCD$ מלבן

להציג את התשובה והפתרון

$m_{AB} = \frac{1}{2}$ — $\frac{2-0}{5-1}$
$m_{BC} = -2$ — $\frac{4-2}{4-5}$
$AB \perp BC$ — מכפלת השיפועים $\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1$
$ABCD$ מלבן — מקבילית שיש בה זווית ישרה היא מלבן

הפתרון:

m_{AB} = \frac{1}{2}

$\frac{2-0}{5-1}$

m_{BC} = -2

$\frac{4-2}{4-5}$

AB \perp BC

מכפלת השיפועים $\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1$

\Rightarrow

$ABCD$ מלבן — מקבילית שיש בה זווית ישרה היא מלבן

מספיקה זווית ישרה אחת: היא כבר מקבילית. המלכודת: להוכיח $AB \parallel DC$ — זה נכון לכל מקבילית ואינו מראה מלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$ABCD$ מקבילית, ונתונים שלושה מקודקודיה: $A(1,0)$ , $B(5,2)$ , $C(4,4)$ . $D(0,2)$ , ו- $ABCD$ מלבן.

ג. חשבו את שטח המלבן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{16+4} \\ &= \sqrt{20} \\ \ BC &= \sqrt{1+4} \\ &= \sqrt{5}\end{aligned}

שתי צלעות סמוכות

\begin{aligned}S &= \sqrt{20}\cdot\sqrt{5} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

$10$ . מכפילים שורשים לפני שמחשבים אותם: $\sqrt{20}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{100}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$ABCD$ מקבילית, ונתונים שלושה מקודקודיה: $A(1,0)$ , $B(5,2)$ , $C(4,4)$ . $D(0,2)$ , ו- $ABCD$ מלבן.

ד. מצאו את מרכז המעגל החוסם את המלבן (כשבר עשרוני).

המרכז: $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המרכז: $($ 2.5 $,$ 2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}N &= \left(\frac{1+4}{2}, \frac{0+4}{2}\right) \\ &= (2.5,\, 2)\end{aligned}

במלבן האלכסונים שווים וחוצים זה את זה: מפגשם רחוק באותה מידה מארבעת הקודקודים

$(2.5,2)$ . אפשר גם כאמצע $BD$ — ויוצאת אותה נקודה. זו בדיקה טובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$ABCD$ מקבילית, ונתונים שלושה מקודקודיה: $A(1,0)$ , $B(5,2)$ , $C(4,4)$ . $ABCD$ מלבן, ומרכז המעגל החוסם אותו הוא $N(2.5,\,2)$ .

ה. מהי משוואת המעגל החוסם?

$(x-2.5)^2+(y-2)^2=25$
$(x+2.5)^2+(y+2)^2=6.25$
$(x-2.5)^2+(y-2)^2=5$
$(x-2.5)^2+(y-2)^2=6.25$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $(x-2.5)^2+(y-2)^2=6.25$

הפתרון:

\begin{aligned}R^2 &= NA^2 \\ &= (2.5-1)^2 + (2-0)^2 \\ &= 2.25 + 4 \\ &= 6.25\end{aligned}

הרדיוס — מהמרכז לקודקוד

הבחירה הנכונה: « $(x-2.5)^2+(y-2)^2=6.25$ ». « $=25$ » — $AC^2$ , ריבוע הקוטר ולא של הרדיוס. « $(x+2.5)^2+(y+2)^2$ » — סימנים הפוכים של המרכז. « $=5$ » — $BC^2$ , צלע ולא רדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$ABCD$ מקבילית, ונתונים שלושה מקודקודיה: $A(1,0)$ , $B(5,2)$ , $C(4,4)$ . המעגל החוסם את המלבן הוא $(x-2.5)^2+(y-2)^2=6.25$ .

ו. הוכיחו או הפריכו: המעגל משיק לציר $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0:\ 6.25 + (y-2)^2 \\ &= 6.25 \Rightarrow (y-2)^2 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $x=0$

y = 2

פתרון יחיד — נקודה משותפת אחת: $D(0,2)$

נכון. פתרון יחיד פירושו השקה. ובלי הצבה: המרחק מהמרכז לציר $y$ הוא $2.5$ — בדיוק הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפרבולה $y=x^2-4x+5$ ומשפחת הישרים $y=kx+1$ .

א. הוכיחו או הפריכו: כל ישרי המשפחה עוברים דרך הנקודה $F(0,1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= k\cdot 0 + 1 \\ &= 1\end{aligned}

לכל ערך של $k$

נכון. כש- $x=0$ הפרמטר נעלם. זו הדרך למצוא נקודה משותפת למשפחה: לחפש את ה- $x$ שמבטל את $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפרבולה $y=x^2-4x+5$ ומשפחת הישרים $y=kx+1$ .

ב. עבור $k=1$ , מצאו את נקודות החיתוך $P$ ו- $Q$ של הישר עם הפרבולה ( $x_P<x_Q$ ).

$P=($ ____ $,$ ____ $)$ , $Q=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $P=($ 1 $,$ 2 $)$ , $Q=($ 4 $,$ 5 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 4x + 5 &= x + 1 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים

(x-1)(x-4) = 0

P(1,2),\ Q(4,5)

מציבים בישר $y=x+1$

$P(1,2)$ , $Q(4,5)$ . מציבים בישר — חישוב קצר יותר מאשר בפרבולה, ובודקים בשני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפרבולה $y=x^2-4x+5$ ומשפחת הישרים $y=kx+1$ . עבור $k=1$ הישר חותך את הפרבולה ב- $P(1,2)$ וב- $Q(4,5)$ , ו- $V$ קודקוד הפרבולה.

ג. חשבו את שטח המשולש $PQV$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}x_V &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \\ \ y_V &= 4 - 8 + 5 \\ &= 1\end{aligned}

קודקוד הפרבולה $V(2,1)$

\begin{aligned}m_{VP} &= \frac{2-1}{1-2} \\ &= -1 \\ \ m_{PQ} &= 1\end{aligned}

$VP \perp PQ$ — הזווית ב- $P$ ישרה

\begin{aligned}VP &= \sqrt{2} \\ \ PQ &= \sqrt{18} \\ &= 3\sqrt{2}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}{2} \\ &= 3\end{aligned}

$3$ . לפני שמחפשים גובה — בודקים אם יש זווית ישרה. כאן היא ב- $P$ , ושני הניצבים כבר בידינו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפרבולה $y=x^2-4x+5$ ומשפחת הישרים $y=kx+1$ .

ד. לאילו ערכים של $k$ הישר משיק לפרבולה? ( $k_1<k_2$ )

$k_1=$ ____, $k_2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k_1=$ -8, $k_2=$ 0

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 4x + 5 &= kx + 1 \Rightarrow x^2 - (4+k)x + 4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומסדרים

\begin{aligned}\Delta &= (4+k)^2 - 16 \\ &= 0\end{aligned}

השקה — פתרון יחיד

\begin{aligned}4 + k &= \pm 4 \Rightarrow k \\ &= 0 \\ \ k &= -8\end{aligned}

$k=-8$ ו- $k=0$ . המלכודת: לפתוח את $(4+k)^2$ ולפתור משוואה ריבועית — אפשר להוציא שורש מיד. ועוד: $\pm$ — שני משיקים יוצאים מ- $F$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה הפרבולה $y=x^2-4x+5$ ומשפחת הישרים $y=kx+1$ . הישר משיק לפרבולה כאשר $k=-8$ וכאשר $k=0$ .

ה. לאילו ערכים של $k$ הישר אינו פוגש את הפרבולה?

$-8<k<0$
אין ערך כזה: כל ישר עובר דרך $F$ , ולכן פוגש את הפרבולה
$k>0$ בלבד
$k<-8$ או $k>0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $-8<k<0$

הפתרון:

\Delta = (4+k)^2 - 16 < 0 \Rightarrow |4 + k| < 4

אין פתרון

-8 < k < 0

הבחירה הנכונה: « $-8<k<0$ ». « $k<-8$ או $k>0$ » — ההפך: שם יש שתי נקודות חיתוך. «אין ערך כזה» — $F(0,1)$ אינה על הפרבולה ( $5\ne 1$ ), ולכן ישר דרכה יכול להחטיא אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev