סדרה 3 — שאלות מסכמות, מאתגר · מבוא להנדסה אנליטית · כיתה י׳

סדרה 3: שתי שאלות מסכמות על המשיק. בראשונה — שני משיקים בנקודות שהמעגל חותך על ציר $y$ , ודלתון שהם יוצרים. בשנייה — שני משיקים שיוצאים מנקודה מחוץ למעגל, בעזרת פרמטר ו- $\Delta$ .

לפני כל סעיף שרטטו סקיצה, גם גסה: מרכז, נקודות, משיקים. היא מראה אם התשובה סבירה. שמונה סעיפים נכונים ומעלה — עברו לסדרה 4.

תרגילים

תרגיל 1

נתון המעגל $(x-4)^2+(y+1)^2=25$ , שמרכזו $M$ .

א. המעגל חותך את ציר $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). מצאו אותן.

$A=($ ____ $,$ ____ $)$ , $B=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A=($ 0 $,$ 2 $)$ , $B=($ 0 $,$ -4 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0:\ 16 + (y+1)^2 \\ &= 25 \Rightarrow (y+1)^2 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים $x=0$

\begin{aligned}y + 1 &= \pm 3 \Rightarrow y \\ &= 2 \\ \ y &= -4\end{aligned}

$A(0,2)$ , $B(0,-4)$ . המלכודת: לשכוח את $\pm$ ולמצוא נקודה אחת בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המעגל $(x-4)^2+(y+1)^2=25$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר $y$ ב- $A(0,2)$ וב- $B(0,-4)$ .

ב. מהי משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ ?

$y=-\frac{3}{4}x+2$
$y=-\frac{4}{3}x+2$
$y=\frac{3}{4}x+2$
$y=\frac{4}{3}x+2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $y=\frac{4}{3}x+2$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{2-(-1)}{0-4} \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס

\begin{aligned}m &= \frac{4}{3} \Rightarrow y \\ &= \frac{4}{3}x + 2\end{aligned}

מאונך לרדיוס, ועובר דרך $A(0,2)$

הבחירה הנכונה: « $y=\frac{4}{3}x+2$ ». « $y=-\frac{3}{4}x+2$ » — הרדיוס $MA$ . « $y=\frac{3}{4}x+2$ » — הפך רק את הסימן. « $y=-\frac{4}{3}x+2$ » — הפך רק את השבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון המעגל $(x-4)^2+(y+1)^2=25$ , שמרכזו $M$ . המשיק ב- $A(0,2)$ הוא $y=\frac{4}{3}x+2$ , והמשיק ב- $B(0,-4)$ הוא $y=-\frac{4}{3}x-4$ .

ג. שני המשיקים נחתכים בנקודה $P$ . מצאו אותה (כשבר עשרוני).

$P=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $P=($ -2.25 $,$ -1 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{4}{3}x + 2 &= -\frac{4}{3}x - 4 \Rightarrow \frac{8}{3}x \\ &= -6\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}x &= -\frac{9}{4} \\ &= -2.25 \\ \ y &= -3 + 2 \\ &= -1\end{aligned}

$P(-2.25,-1)$ . בדיקה: $P$ על הישר $y=-1$ , שעובר דרך $M$ — מהסימטריה של שני המשיקים סביב $MP$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון המעגל $(x-4)^2+(y+1)^2=25$ , שמרכזו $M$ . המשיקים ב- $A(0,2)$ וב- $B(0,-4)$ נחתכים ב- $P(-2.25,\,-1)$ .

ד. מהו אורך המשיק $PA$ ? (כשבר עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.75

הפתרון:

\begin{aligned}PA &= \sqrt{(0+2.25)^2 + (2+1)^2} \\ &= \sqrt{5.0625 + 9} \\ &= \sqrt{14.0625}\end{aligned}

נוסחת המרחק

PA = 3.75

\begin{aligned}PA^2 &= PM^2 - R^2 \\ &= 6.25^2 - 25 \\ &= 14.0625\ \checkmark\end{aligned}

בדיקה בפיתגורס: $MA \perp PA$

$3.75$ . דרך מהירה: במשולש $MAP$ הזווית ב- $A$ ישרה, ולכן $PA^2=PM^2-R^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון המעגל $(x-4)^2+(y+1)^2=25$ , שמרכזו $M$ . המשיקים ב- $A(0,2)$ וב- $B(0,-4)$ נחתכים ב- $P(-2.25,\,-1)$ .

ה. הוכיחו או הפריכו: $PA=PB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}PB &= \sqrt{2.25^2 + (-4+1)^2} \\ &= \sqrt{14.0625} \\ &= 3.75\end{aligned}

\begin{aligned}PA &= PB \\ &= 3.75\end{aligned}

נכון — ותמיד: שני משיקים למעגל מנקודה אחת שווים זה לזה. החישוב רק מאשר את המשפט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון המעגל $(x-4)^2+(y+1)^2=25$ , שמרכזו $M$ . המשיקים ב- $A(0,2)$ וב- $B(0,-4)$ נחתכים ב- $P(-2.25,\,-1)$ .

ו. חשבו את שטח המרובע $MAPB$ (כשבר עשרוני).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18.75

הפתרון:

\begin{aligned}MP &= 4 - (-2.25) \\ &= 6.25 \\ \ AB &= 6\end{aligned}

האלכסונים — $MP$ אופקי ו- $AB$ אנכי

MP \perp AB

$MAPB$ דלתון: $MA=MB$ ו- $PA=PB$

\begin{aligned}S &= \frac{6.25 \cdot 6}{2} \\ &= 18.75\end{aligned}

שטח דלתון — מחצית מכפלת האלכסונים

$18.75$ . דרך אחרת: שני משולשים ישרי זווית, $2\cdot\frac{5\cdot 3.75}{2}=18.75$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון המעגל $x^2+y^2=20$ והנקודה $P(0,10)$ .

א. הוכיחו או הפריכו: הנקודה $P$ נמצאת מחוץ למעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

0^2 + 10^2 = 100 > 20

מציבים את $P$ באגף שמאל

נכון. מנקודה מחוץ למעגל יוצאים בדיוק שני משיקים — זה מה ששאר השאלה מחפש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון המעגל $x^2+y^2=20$ והנקודה $P(0,10)$ .

ב. ישר ששיפועו $m$ עובר דרך $P$ . מציבים אותו במשוואת המעגל. איזו משוואה מתקבלת?

$(1+m^2)x^2+10mx+80=0$
$(1+m^2)x^2+20mx+120=0$
$(1+m^2)x^2+20mx+80=0$
$(1+m)^2x^2+20mx+80=0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $(1+m^2)x^2+20mx+80=0$

הפתרון:

y = mx + 10

ישר דרך $P(0,10)$

x^2 + (mx + 10)^2 = 20

הצבה

x^2 + m^2x^2 + 20mx + 100 - 20 = 0

פתיחת סוגריים: $(mx+10)^2=m^2x^2+20mx+100$

הבחירה הנכונה: « $(1+m^2)x^2+20mx+80=0$ ». « $+120$ » — הוסיף את $20$ במקום להעביר אותו. « $10mx$ » — שכח את $2$ באיבר האמצעי. « $(1+m)^2$ » — הוציא גורם משותף שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון המעגל $x^2+y^2=20$ והנקודה $P(0,10)$ . ישר דרך $P$ ששיפועו $m$ נותן את המשוואה $(1+m^2)x^2+20mx+80=0$ .

ג. מצאו את שיפועי שני המשיקים למעגל היוצאים מ- $P$ ( $m_1<m_2$ ).

$m_1=$ ____, $m_2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $m_1=$ -2, $m_2=$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}\Delta &= (20m)^2 - 4\cdot 80(1+m^2) \\ &= 80m^2 - 320\end{aligned}

\begin{aligned}\Delta &= 0 \Rightarrow m^2 \\ &= 4 \Rightarrow m \\ &= \pm 2\end{aligned}

משיק — פתרון יחיד

$m=\pm 2$ , כלומר $y=2x+10$ ו- $y=-2x+10$ . שני המשיקים סימטריים סביב ציר $y$ , כמו שהשרטוט מראה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון המעגל $x^2+y^2=20$ והנקודה $P(0,10)$ . המשיקים מ- $P$ הם $y=2x+10$ ו- $y=-2x+10$ .

ד. מצאו את נקודת ההשקה $A$ של המשיק $y=2x+10$ .

$A=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A=($ -4 $,$ 2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}5x^2 + 40x + 80 &= 0 \Rightarrow x^2 + 8x + 16 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $m=2$ במשוואה

\begin{aligned}(x+4)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -4 \\ \ y &= 2\end{aligned}

16 + 4 = 20\ \checkmark

בדיקה במעגל

$A(-4,2)$ . במשיק ה- $\Delta$ מתאפס, ולכן הפתרון הוא $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{10}$ — בלי נוסחת השורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתון המעגל $x^2+y^2=20$ והנקודה $P(0,10)$ . המשיקים מ- $P$ נוגעים במעגל ב- $A(-4,2)$ וב- $B(4,2)$ .

ה. חשבו את שטח המשולש $PAB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 4 - (-4) \\ &= 8\end{aligned}

הבסיס — על הישר $y=2$

\begin{aligned}h &= 10 - 2 \\ &= 8\end{aligned}

הגובה מ- $P$ לבסיס האופקי

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 8}{2} \\ &= 32\end{aligned}

$32$ . בסיס אופקי — הגובה הוא הפרש שיעורי ה- $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev