סדרה 4 — שאלות מסכמות, מתקדם · מבוא להנדסה אנליטית · כיתה י׳

סדרה 4: שתי שאלות מסכמות ברמת הבגרות. בראשונה — מוצאים מעגל משני תנאים, ובונים עליו משולש ומשיק. בשנייה — משפחת ישרים שכולם עוברים דרך נקודה על המעגל: משיק, מיתר, וקוטר.

כתבו תוכנית בשורה אחת לפני החישוב: «אמצע ← אנך אמצעי ← חיתוך». ובכל שאלה על מעגל חפשו את הזווית הישרה: רדיוס ומשיק, או זווית על קוטר. שמונה סעיפים נכונים ומעלה — עברו לסדרה 5.

תרגילים

תרגיל 1

מעגל עובר דרך הנקודות $A(1,5)$ ו- $B(7,3)$ , ומרכזו $M$ נמצא על הישר $y=x-2$ .

א. מהי משוואת האנך האמצעי של הקטע $AB$ ?

$y=-3x+16$
$y=3x-8$
$y=-\frac{1}{3}x+\frac{16}{3}$
$y=3x+4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y=3x-8$

הפתרון:

\begin{aligned}K &= (4,4) \\ \ m_{AB} &= \frac{3-5}{7-1} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

אמצע ושיפוע

\begin{aligned}m &= 3 \Rightarrow y - 4 \\ &= 3(x - 4) \Rightarrow y \\ &= 3x - 8\end{aligned}

מאונך, דרך האמצע

הבחירה הנכונה: « $y=3x-8$ ». « $y=-\frac{1}{3}x+\frac{16}{3}$ » — הישר $AB$ עצמו. « $y=3x+4$ » — לקח את $y_K=4$ כחיתוך עם ציר $y$ . « $y=-3x+16$ » — הפך רק את השבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מעגל עובר דרך הנקודות $A(1,5)$ ו- $B(7,3)$ , ומרכזו $M$ נמצא על הישר $y=x-2$ . האנך האמצעי של $AB$ הוא $y=3x-8$ .

ב. מצאו את מרכז המעגל $M$ .

$M=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M=($ 3 $,$ 1 $)$

הפתרון:

MA = MB

המרכז רחוק באותה מידה מ- $A$ ומ- $B$ — ולכן הוא על האנך האמצעי

\begin{aligned}3x - 8 &= x - 2 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \ y &= 1\end{aligned}

חיתוך עם הישר הנתון

$M(3,1)$ . זה הרעיון של כל השאלה: מרכז מעגל דרך שתי נקודות נמצא על האנך האמצעי שלהן. התנאי השני — הישר $y=x-2$ — בוחר נקודה אחת עליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מעגל עובר דרך הנקודות $A(1,5)$ ו- $B(7,3)$ , ומרכזו $M$ נמצא על הישר $y=x-2$ . מרכז המעגל $M(3,1)$ .

ג. המשוואה היא $(x-3)^2+(y-1)^2=R^2$ . מהו $R^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}R^2 &= MA^2 \\ &= (1-3)^2 + (5-1)^2 \\ &= 4 + 16 \\ &= 20\end{aligned}

\begin{aligned}MB^2 &= 16 + 4 \\ &= 20\ \checkmark\end{aligned}

בדיקה ב- $B$

$R^2=20$ . בודקים בנקודה השנייה: אם $MB^2\ne 20$ , המרכז שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מעגל עובר דרך הנקודות $A(1,5)$ ו- $B(7,3)$ , ומרכזו $M$ נמצא על הישר $y=x-2$ . המעגל הוא $(x-3)^2+(y-1)^2=20$ .

ד. $AC$ קוטר במעגל. מצאו את $C$ .

$C=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C=($ 5 $,$ -3 $)$

הפתרון:

M = \frac{A + C}{2}

מרכז המעגל הוא אמצע כל קוטר

\begin{aligned}C &= (2\cdot 3 - 1,\ 2\cdot 1 - 5) \\ &= (5,-3)\end{aligned}

$C(5,-3)$ . המלכודת: $C=\frac{A+M}{2}$ — זו נקודה באמצע הרדיוס, לא קצה הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מעגל עובר דרך הנקודות $A(1,5)$ ו- $B(7,3)$ , ומרכזו $M$ נמצא על הישר $y=x-2$ . $M(3,1)$ , $R^2=20$ , ו- $AC$ קוטר, $C(5,-3)$ .

ה. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\angle ABC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר

\begin{aligned}m_{AB} &= -\frac{1}{3} \\ \ m_{BC} &= \frac{-3-3}{5-7} \\ &= 3\end{aligned}

בדיקה: מכפלה $-1$

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= \sqrt{40} \Rightarrow S \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

$20$ . הזווית הישרה ב- $B$ נובעת מהקוטר — לא צריך לחפש גובה. וגם $AB=BC$ : המשולש ישר זווית ושווה שוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מעגל עובר דרך הנקודות $A(1,5)$ ו- $B(7,3)$ , ומרכזו $M$ נמצא על הישר $y=x-2$ . $M(3,1)$ , $R^2=20$ , ו- $AC$ קוטר, $C(5,-3)$ .

ו. המשיק למעגל בנקודה $C$ חותך את המשך הקטע $AB$ בנקודה $E$ . מצאו את $E$ .

$E=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $E=($ 13 $,$ 1 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{MC} &= \frac{-3-1}{5-3} \\ &= -2 \Rightarrow m \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס $MC$

y = \frac{1}{2}x - \frac{11}{2}

המשיק דרך $C$

y = -\frac{1}{3}x + \frac{16}{3}

הישר $AB$

\begin{aligned}\frac{1}{2}x - \frac{11}{2} &= -\frac{1}{3}x + \frac{16}{3} \Rightarrow \frac{5}{6}x \\ &= \frac{65}{6} \Rightarrow x \\ &= 13\end{aligned}

כופלים ב- $6$ : $3x-33=-2x+32$

E(13,1)

$E(13,1)$ . כופלים את המשוואה ב- $6$ לפני כל דבר אחר — השברים הם המקום שבו טועים כאן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ ומשפחת הישרים $y=k(x-4)-2$ .

א. כל ישרי המשפחה עוברים דרך נקודה אחת $F$ . מצאו אותה.

$F=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $F=($ 4 $,$ -2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 4 \Rightarrow y \\ &= k\cdot 0 - 2 \\ &= -2\end{aligned}

ה- $x$ שמבטל את $k$

$F(4,-2)$ . ושימו לב: $(4-1)^2+(-2-2)^2=9+16=25$ — הנקודה $F$ נמצאת על המעגל. כל ישר במשפחה חותך את המעגל ב- $F$ , ואולי בעוד נקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ ומשפחת הישרים $y=k(x-4)-2$ . כל ישרי המשפחה עוברים דרך $F(4,-2)$ , שעל המעגל.

ב. לאיזה ערך של $k$ הישר משיק למעגל? (כשבר עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

\begin{aligned}m_{MF} &= \frac{-2-2}{4-1} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס ל- $F$

\begin{aligned}k &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

המשיק ב- $F$ מאונך לרדיוס

$0.75$ . אין צורך בהצבה וב- $\Delta$ : הנקודה על המעגל ידועה, ולכן המשיק בה מאונך לרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ ומשפחת הישרים $y=k(x-4)-2$ . הישרים עוברים דרך $F(4,-2)$ , שעל המעגל.

ג. עבור $k=0$ , מצאו את נקודת החיתוך השנייה $G$ של הישר עם המעגל.

$G=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $G=($ -2 $,$ -2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}k &= 0 \Rightarrow y \\ &= -2\end{aligned}

ישר אופקי

\begin{aligned}(x-1)^2 + 16 &= 25 \Rightarrow x - 1 \\ &= \pm 3\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 4\ (F) \\ \ x &= -2 \Rightarrow G(-2,-2)\end{aligned}

$G(-2,-2)$ . אחד הפתרונות הוא תמיד $F$ — כך בודקים שההצבה נכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ ומשפחת הישרים $y=k(x-4)-2$ . הישרים עוברים דרך $F(4,-2)$ , שעל המעגל.

ד. לאיזה ערך של $k$ המיתר שהישר חותך במעגל הוא הארוך ביותר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.33

הפתרון:

M(1,2) \in y = k(x-4) - 2

המיתר הארוך ביותר הוא קוטר — הישר צריך לעבור דרך המרכז $M(1,2)$

\begin{aligned}k &= m_{FM} \\ &= \frac{2-(-2)}{1-4} \\ &= -\frac{4}{3} \approx -1.33\end{aligned}

$-\frac{4}{3}\approx -1.33$ . המיתר הארוך ביותר במעגל הוא הקוטר — אין צורך לחשב אורך כפונקציה של $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתון המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ ומשפחת הישרים $y=k(x-4)-2$ . עבור $k=0$ הישר חותך את המעגל ב- $F(4,-2)$ וב- $G(-2,-2)$ , ועבור $k=-\frac{4}{3}$ הוא חותך אותו ב- $F$ וב- $H(-2,6)$ .

ה. חשבו את שטח המשולש $FGH$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\angle FGH = 90^\circ

$FH$ קוטר, ו- $\angle FGH$ זווית היקפית הנשענת עליו

\begin{aligned}FG &= 6 \\ \ GH &= 8\end{aligned}

$FG$ אופקי, $GH$ אנכי

\begin{aligned}S &= \frac{6\cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

$24$ . הקוטר מהסעיף הקודם נותן זווית ישרה ב- $G$ . ובדיקה: $FH=\sqrt{36+64}=10=2R$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev