סדרה 5 — לקראת הבגרות · מבוא להנדסה אנליטית · כיתה י׳

סדרה 5 בנויה כמו שאלות הבגרות: שתי שאלות ארוכות, כל אחת בחמישה סעיפים שנשענים זה על זה. הנתונים בראש כל סעיף זהים — משולש ישר זווית ומעגל חוסם, ואחר כך ישר ופרבולה.

עבדו כמו במבחן: 45 דקות לכל הסדרה, בלי לפתוח פתרון באמצע. טעות בסעיף מוקדם מתגלגלת לסעיפים הבאים — ולכן בדקו כל תוצאה בנתונים לפני שממשיכים.

תרגילים

תרגיל 1

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,6)$ , $B(-2,0)$ , $C(4,-2)$ . הוכיחו כי $\angle ABC = 90^\circ$ .

$A(0,6)$ , $B(-2,0)$ , $C(4,-2)$

$\angle ABC = 90^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$m_{AB} = 3$ — $\frac{6-0}{0-(-2)}=\frac{6}{2}$
$m_{BC} = -\frac{1}{3}$ — $\frac{-2-0}{4-(-2)}=\frac{-2}{6}$
$AB \perp BC$ — מכפלת השיפועים $3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$
$\angle ABC = 90^\circ$ — ישרים מאונכים יוצרים זווית ישרה

הפתרון:

m_{AB} = 3

$\frac{6-0}{0-(-2)}=\frac{6}{2}$

m_{BC} = -\frac{1}{3}

$\frac{-2-0}{4-(-2)}=\frac{-2}{6}$

AB \perp BC

מכפלת השיפועים $3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$

\angle ABC = 90^\circ

ישרים מאונכים יוצרים זווית ישרה

המכנה של $m_{AB}$ הוא $0-(-2)=2$ . מי שכותב $0-2$ מקבל $-3$ , ומכפלה $1$ — ומפספס את הזווית הישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,6)$ , $B(-2,0)$ , $C(4,-2)$ . מצאו את מרכז המעגל החוסם את המשולש $ABC$ .

המרכז: $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המרכז: $($ 2 $,$ 2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle B &= 90^\circ \Rightarrow MA \\ &= MB \\ &= MC \\ &= \frac{AC}{2}\end{aligned}

במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר — ולכן אמצע היתר $AC$ רחוק באותה מידה משלושת הקודקודים

\begin{aligned}M &= \left(\frac{0+4}{2}, \frac{6-2}{2}\right) \\ &= (2,2)\end{aligned}

המרכז — אמצע היתר $AC$

$(2,2)$ . המלכודת: לחפש את המרכז בקודקוד $B$ — הזווית הישרה נמצאת על המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,6)$ , $B(-2,0)$ , $C(4,-2)$ . מהו $R^2$ של המעגל החוסם את המשולש $ABC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}AC^2 &= 4^2 + 8^2 \\ &= 80\end{aligned}

ריבוע הקוטר

\begin{aligned}R^2 &= \frac{AC^2}{4} \\ &= 20\end{aligned}

הרדיוס חצי מהקוטר, ולכן $R^2$ רבע מ- $AC^2$

\begin{aligned}MB^2 &= 16 + 4 \\ &= 20 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: $B$ על המעגל

$R^2=20$ . הטעות: $\frac{80}{2}=40$ — חצי מהקוטר הוא $R$ , אבל בריבוע מחלקים ב- $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,6)$ , $B(-2,0)$ , $C(4,-2)$ . מהו שטח המשולש $ABC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{4 + 36} \\ &= \sqrt{40} \\ \ \ BC &= \sqrt{36 + 4} \\ &= \sqrt{40}\end{aligned}

אורכי הניצבים

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{40} \cdot \sqrt{40}}{2} \\ &= 20\end{aligned}

$20$ . אין צורך לחשב $\sqrt{40}$ : $\sqrt{40}\cdot\sqrt{40}=40$ . המלכודת: לקחת את $AC$ כניצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,6)$ , $B(-2,0)$ , $C(4,-2)$ . מהי משוואת המשיק למעגל החוסם בנקודה $A$ ?

$y=\frac{1}{2}x+6$
$y=-2x+6$
$y=-\frac{1}{2}x+6$
$y=3x+6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $y=\frac{1}{2}x+6$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{6-2}{0-2} \\ &= -2\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהמרכז $M(2,2)$

\begin{aligned}m &= \frac{1}{2} \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x + 6\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס, ועובר דרך $A(0,6)$

הבחירה הנכונה: « $y=\frac{1}{2}x+6$ ». « $y=-2x+6$ » — הישר $AC$ , שהוא הרדיוס עצמו. « $y=-\frac{1}{2}x+6$ » — הפך רק את השבר. « $y=3x+6$ » — הישר $AB$ : צלע, לא משיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הישר $y=x-1$ חותך את הפרבולה $y=x^2-4x+3$ בנקודות $P$ ו- $Q$ , כאשר $P$ משמאל ל- $Q$ . מצאו את $P$ ואת $Q$ .

$P=($ ____ $,$ ____ $)$ , $Q=($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $P=($ 1 $,$ 0 $)$ , $Q=($ 4 $,$ 3 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 4x + 3 &= x - 1 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים

(x-1)(x-4) = 0

P(1,0), \ Q(4,3)

מציבים בישר

$P(1,0)$ , $Q(4,3)$ . הטעות: להעביר את $x$ ולשכוח את $-1$ , ולפתור $x^2-5x+3=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הישר $y=x-1$ חותך את הפרבולה $y=x^2-4x+3$ בנקודות $P$ ו- $Q$ , כאשר $P$ משמאל ל- $Q$ . מהו אורך הקטע $PQ$ ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.24

הפתרון:

\begin{aligned}PQ &= \sqrt{(4-1)^2 + (3-0)^2} \\ &= \sqrt{18}\end{aligned}

נוסחת המרחק

= 3\sqrt{2} \approx 4.24

$3\sqrt{2}\approx 4.24$ . בהוכחה משאירים $3\sqrt{2}$ ; מעגלים רק בתשובה מספרית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הישר $y=x-1$ חותך את הפרבולה $y=x^2-4x+3$ בנקודות $P$ ו- $Q$ , כאשר $P$ משמאל ל- $Q$ . ישר המקביל ל- $PQ$ משיק לפרבולה. מצאו את נקודת החיתוך שלו עם ציר $y$ (כשבר עשרוני).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3.25

הפתרון:

y = x + c

מקביל ל- $PQ$ — שיפוע $1$

\begin{aligned}x^2 - 4x + 3 &= x + c \Rightarrow x^2 - 5x + 3 - c \\ &= 0\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}\Delta &= 25 - 4(3 - c) \\ &= 13 + 4c \\ &= 0 \Rightarrow c \\ &= -3.25\end{aligned}

משיק

\begin{aligned}x &= 2.5 \\ \ y &= -0.75\end{aligned}

נקודת ההשקה — בדיקה בפרבולה: $6.25-10+3=-0.75$

$-3.25$ . הטעות: $\Delta = 25-4(3+c)$ — כשמעבירים את $c$ לאגף השמאלי הוא נכנס עם מינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הישר $y=x-1$ חותך את הפרבולה $y=x^2-4x+3$ בנקודות $P$ ו- $Q$ , כאשר $P$ משמאל ל- $Q$ . מהי משוואת האנך האמצעי של $PQ$ ?

$y=-x+\frac{5}{2}$
$y=-x+4$
$y=x-1$
$y=-x+\frac{3}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y=-x+4$

הפתרון:

\begin{aligned}M &= \left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right) \\ \ m_{PQ} &= 1\end{aligned}

אמצע ושיפוע

\begin{aligned}y - \frac{3}{2} &= -\left(x - \frac{5}{2}\right) \Rightarrow y \\ &= -x + 4\end{aligned}

מאונך, דרך האמצע

הבחירה הנכונה: « $y=-x+4$ ». « $y=x-1$ » — הישר $PQ$ עצמו. « $y=-x+\frac{3}{2}$ » — לקח את $y_M$ כנקודת החיתוך עם ציר $y$ . « $y=-x+\frac{5}{2}$ » — לקח את $x_M$ במקומה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הישר $y=x-1$ חותך את הפרבולה $y=x^2-4x+3$ בנקודות $P$ ו- $Q$ , כאשר $P$ משמאל ל- $Q$ . הוכיחו או הפריכו: לכל ערך של $c$ , הישר $y=x+c$ חותך את הפרבולה בשתי נקודות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 - 5x + 3 - c &= 0 \\ \ \Delta &= 13 + 4c\end{aligned}

אותה משוואה כמו בסעיף הקודם

\begin{aligned}c &= -4: \ \Delta \\ &= -3 < 0\end{aligned}

דוגמה נגדית: $y=x-4$ אינו פוגש את הפרבולה

לא נכון. להפרכה של «לכל» מספיקה דוגמה נגדית אחת, למשל $c=-4$ . שתי נקודות יש רק כאשר $c>-3.25$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev