תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: משוואת הישר, מקבילים ומאונכים, אמצע ומרחק, ישר עם פרמטר, ישר ופרבולה, ומשוואת המעגל והמשיק לו.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מהו שיפוע הישר 5x+2y−8=05x+2y-8=0? (כתבו כשבר עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2.5

הפתרון:

2y=−5x+82y = -5x + 8

מבודדים את yy

y=−52x+4y = -\frac{5}{2}x + 4

צורה מפורשת

m=−2.5m = -2.5

השיפוע

המקדם של xx בצורה הכללית, 5, אינו השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מה נכון לגבי הישר x=5x=5?

  1. הוא מקביל לציר yy, ואינו פונקציה
  2. הוא מקביל לציר xx, והוא פונקציה קבועה
  3. השיפוע שלו 55
  4. השיפוע שלו 00, והוא עובר דרך (0,5)(0,5)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הוא מקביל לציר yy, ואינו פונקציה

הפתרון:

(5,0), (5,1), (5,−3), …(5,0), \ (5,1), \ (5,-3), \ \ldots

לערך x=5x=5 מתאימים אינסוף ערכי yy

ישר אנכי אינו פונקציה, ואין לו שיפוע. y=5y=5 הוא הישר האופקי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הישרים y=−34x+2y=-\frac{3}{4}x+2 ו-4x−3y+1=04x-3y+1=0 מאונכים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

−3y=−4x−1⇒y=43x+13\begin{aligned}-3y &= -4x - 1 \Rightarrow y \\ &= \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\end{aligned}

מבודדים את yy בישר השני

−34⋅43=−1-\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = -1

מכפלת השיפועים

נכון. השיפוע השני הוא ההופכי של הראשון, בסימן הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

מהו אורך הקטע ABAB, כאשר A(−3,4)A(-3,4) ו-B(9,−1)B(9,-1)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

x2−x1=9−(−3)=12\begin{aligned}x_2 - x_1 &= 9-(-3) \\ &= 12\end{aligned}

הפרש ה-xx

y2−y1=−1−4=−5\begin{aligned}y_2 - y_1 &= -1-4 \\ &= -5\end{aligned}

הפרש ה-yy

d=144+25=169=13\begin{aligned}d &= \sqrt{144 + 25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13\end{aligned}

נוסחת המרחק

הריבוע מבטל את הסימן של −5-5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לאיזה ערך של kk הישר y=(2k+1)x+k−3y=(2k+1)x+k-3 מקביל לישר y=5x−2y=5x-2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

2k+1=52k + 1 = 5

מקבילים — שיפועים שווים

k=2k = 2

פותרים

k=2: y=5x−1\begin{aligned}k &= 2: \ y \\ &= 5x - 1\end{aligned}

בדיקה: אותו שיפוע, ונקודת חיתוך אחרת עם ציר yy

הישרים לא מתלכדים, כי −1≠−2-1 \neq -2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מעגל שמרכזו M(−1,3)M(-1,3) עובר דרך הנקודה P(2,7)P(2,7). מהי משוואתו?

  1. (x−2)2+(y−7)2=25(x-2)^2+(y-7)^2=25
  2. (x+1)2+(y−3)2=25(x+1)^2+(y-3)^2=25
  3. (x+1)2+(y−3)2=5(x+1)^2+(y-3)^2=5
  4. (x−1)2+(y+3)2=25(x-1)^2+(y+3)^2=25
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב (x+1)2+(y−3)2=25(x+1)^2+(y-3)^2=25

הפתרון:

R2=MP2=(2+1)2+(7−3)2=9+16=25\begin{aligned}R^2 &= MP^2 \\ &= (2+1)^2 + (7-3)^2 \\ &= 9 + 16 \\ &= 25\end{aligned}

הרדיוס — המרחק מהמרכז לנקודה

(x−(−1))2+(y−3)2=25(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 25

מציבים בנוסחת המעגל

באגף הימני R2=25R^2 = 25, לא R=5R = 5. והמרכז הוא MM, לא PP.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הפרבולה y=x2−5x+4y=x^2-5x+4 והישר y=x−4y=x-4 נפגשים בשתי נקודות. מהו שיעור ה-yy של הנקודה ששיעור ה-xx שלה קטן יותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

x2−5x+4=x−4x^2 - 5x + 4 = x - 4

משווים את שני הביטויים של yy

x2−6x+8=0⇒(x−2)(x−4)=0\begin{aligned}x^2 - 6x + 8 &= 0 \Rightarrow (x-2)(x-4) \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים לאגף אחד ומפרקים

x=2⇒y=2−4=−2\begin{aligned}x &= 2 \Rightarrow y \\ &= 2 - 4 \\ &= -2\end{aligned}

מציבים בישר

נקודות המפגש: (2,−2)(2,-2) ו-(4,0)(4,0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

הנקודה A(5,5)A(5,5) נמצאת על המעגל (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2+(y-1)^2=25. דרך AA העבירו משיק למעגל. באיזו נקודה חותך המשיק את ציר yy? כתבו את שיעור ה-yy (כשבר עשרוני).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.75

הפתרון:

m1=5−15−2=43\begin{aligned}m_1 &= \frac{5-1}{5-2} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס — מהמרכז (2,1)(2,1) אל AA

m2=−34m_2 = -\frac{3}{4}

שיפוע המשיק — הופכי בסימן הפוך

y−5=−34(x−5)y - 5 = -\frac{3}{4}(x - 5)

ישר לפי נקודה ושיפוע

x=0: y=5+154=8.75\begin{aligned}x &= 0: \ y \\ &= 5 + \frac{15}{4} \\ &= 8.75\end{aligned}

מציבים x=0x=0

המשיק הוא y=−34x+354y=-\frac{3}{4}x+\frac{35}{4}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לאיזה ערך של cc הישר y=2x+cy=2x+c משיק לפרבולה y=x2−2x+3y=x^2-2x+3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x2−2x+3=2x+cx^2 - 2x + 3 = 2x + c

משווים

x2−4x+3−c=0x^2 - 4x + 3 - c = 0

מעבירים לאגף אחד

Δ=16−4(3−c)=4+4c=0\begin{aligned}\Delta &= 16 - 4(3-c) \\ &= 4 + 4c \\ &= 0\end{aligned}

משיק — פתרון אחד

c=−1c = -1

פותרים

בדיקה: x2−4x+4=(x−2)2x^2-4x+4=(x-2)^2, ונקודת ההשקה היא (2,3)(2,3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

אנטנה סלולרית נמצאת במפה בנקודה (1,2)(1,2), והקליטה מגיעה עד מרחק 8\sqrt{8} ק״מ ממנה. כביש עובר לאורך הישר x+y=7x+y=7. מה המצב של הכביש ביחס לגבול אזור הקליטה?

  1. הכביש חותך את הגבול בשתי נקודות
  2. הכביש אינו פוגש את הגבול
  3. הכביש משיק לגבול בנקודה (3,4)(3,4)
  4. הכביש משיק לגבול בנקודה (4,3)(4,3)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הכביש משיק לגבול בנקודה (3,4)(3,4)

הפתרון:

(x−1)2+(y−2)2=8(x-1)^2 + (y-2)^2 = 8

גבול הקליטה הוא מעגל

y=7−x⇒(x−1)2+(5−x)2=8\begin{aligned}y &= 7 - x \Rightarrow (x-1)^2 + (5-x)^2 \\ &= 8\end{aligned}

מציבים את הישר

2x2−12x+18=0⇒(x−3)2=0\begin{aligned}2x^2 - 12x + 18 &= 0 \Rightarrow (x-3)^2 \\ &= 0\end{aligned}

פתרון אחד — משיק

x=3⇒y=4\begin{aligned}x &= 3 \Rightarrow y \\ &= 4\end{aligned}

נקודת ההשקה

בדיקה: שיפוע הרדיוס מ-(1,2)(1,2) אל (3,4)(3,4) הוא 11, שיפוע הכביש −1-1, והמכפלה −1-1. הנקודה (4,3)(4,3) אינה על המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת