קצב שינוי ומדרגות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כל הפרק הזה עונה על שאלה אחת: כמה מהר משתנה גודל? כמה ק״מ עוברים בשעה, בכמה מעלות מתחממת העיר בכל שעה, כמה ליטרים דלק נשרפים בכל ק״מ. לפני כל נוסחה — נסתכל על גרף.

קצב שינוי קבוע: הגרף ישר

מה שראינו בקטעים הישרים נכון לכל פונקציה: בוחרים שתי נקודות, ומחלקים את השינוי ב-yy בשינוי ב-xx. זה קצב השינוי הממוצע בקטע.

ΔyΔx=f(x2)−f(x1)x2−x1\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}
ΔyΔx>0\frac{\Delta y}{\Delta x} > 0

yy גדל כש-xx גדל.

ΔyΔx=0\frac{\Delta y}{\Delta x} = 0

בסוף הקטע yy חזר לאותו ערך.

ΔyΔx<0\frac{\Delta y}{\Delta x} < 0

yy קטן כש-xx גדל.

בכל הרכיבה עברו 18+24+14=5618 + 24 + 14 = 56 ק״מ בארבע שעות. מהו קצב השינוי הממוצע של המרחק מהבית בארבע השעות?

להציג את התשובה והפתרון

7 קמ״ש. בסוף הרכיבה המרחק מהבית הוא 18+0+24−14=2818 + 0 + 24 - 14 = 28 ק״מ, ו-28:4=728 : 4 = 7. קצב השינוי מחשב רק מאיפה התחלנו ולאן הגענו — לא את כל הדרך.

קצב שינוי משתנה: הגרף עקום

בגרף עקום אין שיפוע אחד. נבדוק את f(x)=x2f(x) = x^2 בשני קטעים שאורכם שווה.

אותו אורך קטע, קצב שונה

חשבו את קצב השינוי הממוצע של f(x)=x2f(x) = x^2 בקטע [1,3][1, 3] ובקטע [3,5][3, 5].

f(3)−f(1)3−1=9−12=4\begin{aligned}\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} &= \frac{9 - 1}{2} \\ &= 4\end{aligned}

בקטע הראשון

f(5)−f(3)5−3=25−92=8\begin{aligned}\frac{f(5) - f(3)}{5 - 3} &= \frac{25 - 9}{2} \\ &= 8\end{aligned}

בקטע השני

8>48 > 4

הפונקציה עולה מהר יותר ויותר — הקצב עצמו משתנה

מדרגות

דרך נוחה לראות קצב משתנה: מחליפים את העקומה במדרגות. כל מדרגה זזה Δx\Delta x ימינה ו-Δy\Delta y למעלה, והיחס ביניהם הוא הקצב באותה מדרגה.

מדרגות ברוחב 1 על הגרף של x בריבוע
+1+3+5+7012340246810121416xy

המדרגות גבוהות יותר ויותר: 1,3,5,71, 3, 5, 7. הרוחב קבוע, ולכן הקצב גדל. אבל מדרגה ברוחב 11 גסה מדי כדי לומר מה הקצב בנקודה x=2x = 2. מה קורה כשמצמצמים את המדרגה?

Δx=1: 9−41=5\begin{aligned}\Delta x &= 1: \ \frac{9 - 4}{1} \\ &= 5\end{aligned}

מדרגה רחבה

Δx=0.5: 6.25−40.5=4.5\begin{aligned}\Delta x &= 0.5: \ \frac{6.25 - 4}{0.5} \\ &= 4.5\end{aligned}

צרה יותר

Δx=0.1: 4.41−40.1=4.1\begin{aligned}\Delta x &= 0.1: \ \frac{4.41 - 4}{0.1} \\ &= 4.1\end{aligned}

צרה מאוד

חשבו את הקצב במדרגה שמתחילה ב-x=2x = 2 ורוחבה 0.010.01. לאיזה מספר מתקרבים האומדנים?

להציג את התשובה והפתרון

2.012−40.01=0.04010.01=4.01\frac{2.01^2 - 4}{0.01} = \frac{0.0401}{0.01} = 4.01. האומדנים 5,4.5,4.1,4.015, 4.5, 4.1, 4.01 מתקרבים ל-4: זה הקצב ברגע x=2x = 2.

זום: מקרוב, העקומה נראית ישרה

נסתכל על אותה פרבולה f(x)=x2f(x) = x^2 פעמיים, ליד הנקודה (2,4)(2, 4). בשני הגרפים מצויר גם הישר y=4x−4y = 4x - 4, שעובר דרך הנקודה ושיפועו 44 — המספר שהמדרגות הצרות התקרבו אליו.

מרחוק: הפרבולה והישר נפרדים
(2, 4)01234-40481216xy
מקרוב: חלון מ-1.9 עד 2.1
(2, 4)1.91.9522.052.13.63.844.24.4xy

מרחוק רואים שני קווים שונים. מקרוב — בחלון ברוחב 0.20.2 — הקשת והישר כמעט מתלכדים: הפער הגדול ביותר בחלון הוא 0.010.01. ככל שמגדילים, העקומה נראית ישרה יותר. לישר הזה קוראים המשיק בנקודה, והשיפוע שלו הוא קצב השינוי הרגעי. ביחידה הבאה נגדיר אותו בדיוק.

בחלון המוגדל, מה ההפרש בין הפרבולה לישר בקצה x=2.1x = 2.1?

להציג את התשובה והפתרון

2.12=4.412.1^2 = 4.41 ו-4⋅2.1−4=4.44 \cdot 2.1 - 4 = 4.4. ההפרש 0.010.01 — ובאופן כללי x2−(4x−4)=(x−2)2x^2 - (4x - 4) = (x - 2)^2, ולכן ליד x=2x = 2 הפער קטן הרבה יותר מהר מהמרחק לנקודה.

קצב ממוצע שייך לקטע (Δx\Delta x כלשהו). קצב רגעי שייך לנקודה — הוא מה שהמדרגות מתקרבות אליו כש-Δx\Delta x קטן. ליחידות של הקצב יש משמעות: ק״מ לשעה, מעלות לשעה, ליטרים לדקה.

שתי טעויות בחישוב קצב שינוי.

f(x2)−f(x1)x1−x2\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_1 - x_2}
f(x2)−f(x1)x2−x1\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

הסדר במונה ובמכנה חייב להיות אותו סדר. אחרת הסימן מתהפך — ופונקציה עולה נראית יורדת.

ΔxΔy\frac{\Delta x}{\Delta y}
ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}

הקצב הוא השינוי ב-yy לכל יחידה של xx: ק״מ לשעה, ולא שעות לק״מ.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את קצב השינוי הממוצע של f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x בקטע [1,4][1, 4].

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(4)=16−8=8\begin{aligned}f(4) &= 16 - 8 \\ &= 8\end{aligned}

הערך בסוף הקטע

f(1)=1−2=−1\begin{aligned}f(1) &= 1 - 2 \\ &= -1\end{aligned}

הערך בתחילת הקטע

8−(−1)4−1=93=3\begin{aligned}\frac{8 - (-1)}{4 - 1} &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

השינוי ב-yy חלקי השינוי ב-xx

המלכודת היא f(1)=−1f(1) = -1: מי שמחסר 8−18 - 1 במקום 8−(−1)8 - (-1) מקבל 73\frac{7}{3}. מציבים בסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במיכל מים היו 150 ליטרים שעתיים אחרי תחילת הניקוז, ו-70 ליטרים שש שעות אחרי תחילתו. מהו קצב השינוי הממוצע של כמות המים בין שתי המדידות, בליטרים לשעה?

  1. −80-80
  2. −0.05-0.05
  3. 2020
  4. −20-20
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −20-20

הפתרון:

Δy=70−150=−80\begin{aligned}\Delta y &= 70 - 150 \\ &= -80\end{aligned}

השינוי בכמות

Δx=6−2=4\begin{aligned}\Delta x &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

השינוי בזמן

−804=−20\frac{-80}{4} = -20

ליטרים לשעה

התשובה הנכונה: −20-20. 2020 שוכח שהכמות יורדת; −80-80 הוא השינוי כולו, בלי לחלק בזמן; −0.05-0.05 הוא ΔxΔy\frac{\Delta x}{\Delta y} — שעות לליטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

על הגרף של f(x)=x3f(x) = x^3 בונים מדרגות ברוחב 11. מה הגובה של המדרגה שמתחילה ב-x=1x = 1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

f(2)−f(1)f(2) - f(1)

הגובה הוא השינוי ב-yy לאורך המדרגה

8−1=78 - 1 = 7

מחשבים

הגובה הוא Δy\Delta y — לא f(2)=8f(2) = 8. מדרגה מודדת שינוי, לא ערך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: אם קצב השינוי הממוצע של ff בקטע [0,4][0, 4] הוא 00, אז ff קבועה בקטע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=x(x−4)f(x) = x(x - 4)

דוגמה נגדית

f(0)=f(4)=0⇒0−04=0\begin{aligned}f(0) &= f(4) \\ &= 0 \Rightarrow \frac{0 - 0}{4} \\ &= 0\end{aligned}

הקצב הממוצע אפס

f(2)=−4≠0f(2) = -4 \neq 0

אבל הפונקציה אינה קבועה

הטענה לא נכונה. קצב ממוצע אפס אומר רק שבסוף הקטע חזרנו לאותו ערך. באמצע הפונקציה יכולה לרדת ולעלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

טמפרטורה בעיר לאורך בוקר אחד
68101214051015202530שעהמעלות

הגרף מראה את הטמפרטורה בעיר בבוקר אחד. מהו קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה בין השעה 8:00 לשעה 12:00, במעלות לשעה? כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.75

הפתרון:

T(12)=26 T(8)=15\begin{aligned}T(12) &= 26 \\ \ T(8) &= 15\end{aligned}

קוראים מהגרף

26−1512−8=114=2.75\begin{aligned}\frac{26 - 15}{12 - 8} &= \frac{11}{4} \\ &= 2.75\end{aligned}

מעלות לשעה

המלכודת: לחלק ערך בזמן, למשל 26:1226 : 12. קצב הוא שינוי בטמפרטורה חלקי שינוי בזמן — מחסרים לפני שמחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

האומדנים לקצב של f(x)=x2f(x) = x^2 ב-x=2x = 2 נלקחו ממדרגות ברוחב 11, 0.50.5, 0.10.1 ו-0.010.01. סדרו אותם מהרחוק ביותר מהקצב הרגעי אל הקרוב ביותר.

  • 4.014.01
  • 4.14.1
  • 4.54.5
  • 55
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 55 · 4.54.5 · 4.14.1 · 4.014.01

הפתרון:

(2+Δx)2−4Δx=4+Δx\frac{(2 + \Delta x)^2 - 4}{\Delta x} = 4 + \Delta x

הקצב במדרגה ברוחב Δx\Delta x

5, 4.5, 4.1, 4.01→45,\ 4.5,\ 4.1,\ 4.01 \to 4

ככל שהמדרגה צרה יותר

הקצב במדרגה הוא בדיוק 4+Δx4 + \Delta x. מדרגה צרה יותר נותנת אומדן טוב יותר — אבל אף מדרגה לא נותנת את 44 בעצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

איזה משפט נכון תמיד?

  1. בגרף עקום אי אפשר לחשב קצב שינוי
  2. קצב השינוי הממוצע זהה בכל קטע אם ורק אם הגרף הוא ישר
  3. אם הפונקציה עולה, קצב השינוי שלה קבוע
  4. קצב השינוי הממוצע בקטע שווה לערך הפונקציה באמצע הקטע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב קצב השינוי הממוצע זהה בכל קטע אם ורק אם הגרף הוא ישר

הפתרון:

y=mx+b⇒ΔyΔx=m\begin{aligned}y &= mx + b \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &= m\end{aligned}

בישר הקצב הוא השיפוע, בכל קטע

f(x)=x2: [1,3]→4[3,5]→8\begin{aligned}f(x) &= x^2:\ [1, 3] \to 4 \\ \quad [3, 5] \to 8\end{aligned}

בפרבולה — שני קטעים באותו אורך, שני קצבים

הנכון: «קצב השינוי הממוצע זהה בכל קטע אם ורק אם הגרף הוא ישר». הפרבולה x2x^2 עולה בקטע [1,5][1, 5] וקצבה משתנה, ולכן «עולה» אינו «קצב קבוע».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו את קצב השינוי הממוצע של f(x)=−x2+6xf(x) = -x^2 + 6x בקטע [2,5][2, 5].

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f(5)=−25+30=5\begin{aligned}f(5) &= -25 + 30 \\ &= 5\end{aligned}

בסוף הקטע

f(2)=−4+12=8\begin{aligned}f(2) &= -4 + 12 \\ &= 8\end{aligned}

בתחילת הקטע

5−85−2=−1\frac{5 - 8}{5 - 2} = -1

קצב שלילי

המלכודת: −x2-x^2 ב-x=5x = 5 הוא −25-25, ולא 2525. החזקה חלה על xx בלבד, והמינוס נשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

השלימו עבור f(x)=x2f(x) = x^2 והמדרגה מ-x=3x = 3 ברוחב 0.10.1.

השינוי ב-yy לאורך המדרגה הוא ____, וקצב השינוי במדרגה הוא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השינוי ב-yy לאורך המדרגה הוא 0.61, וקצב השינוי במדרגה הוא 6.1.

הפתרון:

f(3.1)=9.61f(3.1) = 9.61

בסוף המדרגה

Δy=9.61−9=0.61\begin{aligned}\Delta y &= 9.61 - 9 \\ &= 0.61\end{aligned}

הגובה

0.610.1=6.1\frac{0.61}{0.1} = 6.1

הקצב

הגובה 0.610.61 קטן, אבל הקצב 6.16.1 אינו קטן: מחלקים ברוחב. מי שעוצר אחרי Δy\Delta y מחשב שינוי, לא קצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל מצב את יחידת קצב השינוי שלו.

  • מרחק בק״מ לפי זמן בשעות
  • טמפרטורה במעלות לפי זמן בשעות
  • כמות מים בליטרים לפי זמן בדקות
  • מחיר בשקלים לפי משקל בק״ג
  • ליטרים לדקה
  • מעלות לשעה
  • ק״מ לשעה
  • שקלים לק״ג
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מרחק בק״מ לפי זמן בשעות — ק״מ לשעה · טמפרטורה במעלות לפי זמן בשעות — מעלות לשעה · כמות מים בליטרים לפי זמן בדקות — ליטרים לדקה · מחיר בשקלים לפי משקל בק״ג — שקלים לק״ג

הפתרון:

ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}

היחידה של yy חלקי היחידה של xx

היחידה של הקצב היא תמיד יחידת yy לכל יחידת xx. היא אומרת גם מה מחלקים במה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת