הגדרת הנגזרת

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ביחידה הקודמת המדרגות הצרות התקרבו למספר אחד, והזום הראה ישר שכמעט נצמד לעקומה. עכשיו נהפוך את שני הרעיונות להגדרה אחת: הנגזרת.

מהמיתר אל המשיק

ישר שעובר דרך שתי נקודות על הגרף נקרא מיתר (או חותך). השיפוע שלו הוא קצב השינוי הממוצע בין שתי הנקודות. נקבע נקודה אחת, ונקרב אליה את השנייה.

נסמן את הנקודה הקבועה ב-x0x_0 ואת המרחק לנקודה השנייה ב-hh. השיפוע של המיתר הוא:

mAB=f(x0+h)−f(x0)hm_{AB} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

בווידג׳ט, כש-h=0.5h = 0.5: מהן הקואורדינטות של BB, ומהו שיפוע המיתר?

להציג את התשובה והפתרון

B=(1.5, 2.25)B = (1.5,\ 2.25), כי 1.52=2.251.5^2 = 2.25. השיפוע: 2.25−10.5=2.5\frac{2.25 - 1}{0.5} = 2.5 — ואכן 2+h=2.52 + h = 2.5.

ההגדרה

כש-hh שואף לאפס, המיתר מסתובב ומתקרב למשיק. המספר שאליו מתקרב שיפוע המיתר נקרא הנגזרת של ff בנקודה x0x_0, ומסמנים אותו f′(x0)f'(x_0).

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

אפשר לכתוב גם בחצים: כש-h→0h \to 0, המנה →f′(x0)\to f'(x_0). hh אף פעם אינו שווה לאפס — מפשטים את המנה כל עוד h≠0h \neq 0, ורק אז בודקים לאן היא מתקרבת.

נגזרת לפי ההגדרה

חשבו לפי ההגדרה את f′(3)f'(3) עבור f(x)=x2f(x) = x^2.

f(3+h)=(3+h)2=9+6h+h2\begin{aligned}f(3 + h) &= (3 + h)^2 \\ &= 9 + 6h + h^2\end{aligned}

מציבים 3+h3 + h ופותחים סוגריים

f(3+h)−f(3)=6h+h2f(3 + h) - f(3) = 6h + h^2

מחסרים f(3)=9f(3) = 9

6h+h2h=6+h\frac{6h + h^2}{h} = 6 + h

מחלקים ב-hh — מותר, כי h≠0h \neq 0

h→0 ⇒ 6+h→6h \to 0 \ \Rightarrow \ 6 + h \to 6

משאיפים את hh לאפס

f′(3)=6f'(3) = 6

שיפוע המשיק לפרבולה בנקודה (3,9)(3, 9)

למה אי אפשר להציב h=0h = 0 כבר בשורה הראשונה של המנה?

להציג את התשובה והפתרון

כי מתקבל 9−90=00\frac{9 - 9}{0} = \frac{0}{0}, ביטוי שאין לו ערך. קודם מפשטים (מחלקים ב-hh כש-h≠0h \neq 0), ורק בביטוי 6+h6 + h אפשר לראות לאן הוא שואף.

הנגזרת כפונקציה

אפשר לחזור על אותו חישוב בכל נקודה xx. עבור f(x)=x2f(x) = x^2 מתקבל f(x+h)−f(x)h=2x+h\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = 2x + h, ולכן f′(x)=2xf'(x) = 2x. לכל xx יש שיפוע משלו — כלומר הנגזרת היא פונקציה חדשה: פונקציית השיפועים.

x=−1 ⇒ f′(−1)=−2\begin{aligned}x &= -1 \ \Rightarrow \ f'(-1) \\ &= -2\end{aligned}

משמאל לקדקוד הפרבולה יורדת

x=0 ⇒ f′(0)=0\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= 0\end{aligned}

בקדקוד המשיק אופקי

x=2 ⇒ f′(2)=4\begin{aligned}x &= 2 \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 4\end{aligned}

מימין היא עולה, ויותר ויותר תלול

גם בלי נוסחה אפשר לשרטט בקירוב את הגרף של f′f' מתוך הגרף של ff: בכל נקודה שואלים אם הגרף עולה, יורד או אופקי, וכמה הוא תלול. בווידג׳ט הגרף העליון הוא ff והתחתון הוא f′f', על אותו ציר xx.

f↗ ⇒ f′>0f \nearrow \ \Rightarrow \ f' > 0

הגרף עולה — השיפוע חיובי

f↘ ⇒ f′<0f \searrow \ \Rightarrow \ f' < 0

הגרף יורד — השיפוע שלילי

f′(x0)=0f'(x_0) = 0

המשיק אופקי — למשל בקדקוד

בווידג׳ט f(x)=x33−xf(x) = \frac{x^3}{3} - x. בנקודה x=0x = 0 ערך הפונקציה הוא 00. האם גם f′(0)=0f'(0) = 0?

להציג את התשובה והפתרון

לא. ב-x=0x = 0 הגרף יורד, ולכן f′(0)<0f'(0) < 0 — לפי ההגדרה המנה היא h23−1→−1\frac{h^2}{3} - 1 \to -1, ו-f′(0)=−1f'(0) = -1. גובה הגרף ושיפוע הגרף הם שני דברים שונים.

כש-ff ו-f′f' מצוירות על אותה מערכת צירים, ליחידות שלהן אין קשר: אם ff היא מרחק בק״מ לפי שעות, f′f' היא מהירות בקמ״ש. נקודת חיתוך של שני הגרפים אינה אומרת דבר מיוחד.

שלוש טעויות בהגדרה.

f′(3)=f(3+h)−f(3)hf'(3) = \frac{f(3 + h) - f(3)}{h}
f′(3)=lim⁡h→0f(3+h)−f(3)hf'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3 + h) - f(3)}{h}

בלי הגבול זה שיפוע המיתר, ביטוי שתלוי ב-hh. הנגזרת היא מספר אחד.

(3+h)2=9+h2(3 + h)^2 = 9 + h^2
(3+h)2=9+6h+h2(3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2

האיבר האמצעי 6h6h הוא בדיוק מה שנותן את הנגזרת. מי ששוכח אותו מקבל f′(3)=0f'(3) = 0.

f(0)=0 ⇒ f′(0)=0\begin{aligned}f(0) &= 0 \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= 0\end{aligned}
f(0)=0 f′(0)=−1\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f'(0) &= -1\end{aligned}

ערך הפונקציה אומר איפה הגרף; הנגזרת אומרת לאן הוא הולך.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x. חשבו את שיפוע המיתר בין הנקודות שבהן x=1x = 1 ו-x=1.1x = 1.1. כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.1

הפתרון:

f(1.1)=1.21+3.3=4.51\begin{aligned}f(1.1) &= 1.21 + 3.3 \\ &= 4.51\end{aligned}

הנקודה השנייה

f(1)=1+3=4\begin{aligned}f(1) &= 1 + 3 \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה הקבועה

4.51−40.1=0.510.1=5.1\begin{aligned}\frac{4.51 - 4}{0.1} &= \frac{0.51}{0.1} \\ &= 5.1\end{aligned}

שינוי חלקי h=0.1h = 0.1

זה עדיין שיפוע מיתר, לא הנגזרת: בכללי הוא 5+h5 + h, ורק כש-h→0h \to 0 מתקבל f′(1)=5f'(1) = 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x2f(x) = x^2. השלימו את החישוב של f′(3)f'(3) לפי ההגדרה.

לאחר פישוט, המנה f(3+h)−f(3)h\frac{f(3+h) - f(3)}{h} שווה ל-hh ועוד ____. כש-hh שואף לאפס, מתקבל f′(3)=f'(3) = ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לאחר פישוט, המנה f(3+h)−f(3)h\frac{f(3+h) - f(3)}{h} שווה ל-hh ועוד 6. כש-hh שואף לאפס, מתקבל f′(3)=f'(3) = 6.

הפתרון:

(3+h)2−9h=6h+h2h\frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h}

מציבים ופותחים

=6+h → 6= 6 + h \ \to \ 6

מחלקים ב-hh, ואז h→0h \to 0

המספר 66 מופיע פעמיים, אבל בשני תפקידים: פעם כחלק מהמנה 6+h6 + h, ופעם כגבול שלה. המנה תלויה ב-hh, הנגזרת לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=2x2−xf(x) = 2x^2 - x. חשבו לפי ההגדרה את f′(1)f'(1).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(1+h)=2(1+2h+h2)−1−h=1+3h+2h2\begin{aligned}f(1 + h) &= 2(1 + 2h + h^2) - 1 - h \\ &= 1 + 3h + 2h^2\end{aligned}

מציבים 1+h1 + h

f(1)=2−1=1\begin{aligned}f(1) &= 2 - 1 \\ &= 1\end{aligned}

הערך בנקודה

3h+2h2h=3+2h\frac{3h + 2h^2}{h} = 3 + 2h

מחסרים ומחלקים ב-hh

h→0 ⇒ f′(1)=3h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(1) = 3

משאיפים

המלכודת היא −(1+h)-(1 + h): שני האיברים מקבלים מינוס. מי שכותב −1+h-1 + h מקבל 55.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

סדרו את שלבי החישוב של f′(x0)f'(x_0) לפי ההגדרה.

  • מחלקים ב-hh ומפשטים
  • מחסרים את f(x0)f(x_0)
  • מציבים x0+hx_0 + h בפונקציה
  • משאיפים את hh לאפס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מציבים x0+hx_0 + h בפונקציה · מחסרים את f(x0)f(x_0) · מחלקים ב-hh ומפשטים · משאיפים את hh לאפס

הפתרון:

f(x0+h)f(x_0 + h)

הצבה

f(x0+h)−f(x0)f(x_0 + h) - f(x_0)

השינוי ב-yy

f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

שיפוע המיתר

lim⁡h→0\lim_{h \to 0}

הגבול — שיפוע המשיק

משאיפים רק בסוף. מי שמציב h=0h = 0 לפני החלוקה מקבל 00\frac{0}{0} ונתקע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x3f(x) = x^3. לאיזה מספר שואפת המנה f(2+h)−f(2)h\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} כש-h→0h \to 0?

  1. 88
  2. 1212
  3. 66
  4. אין לה ערך, כי מתקבל 00\frac{0}{0}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 1212

הפתרון:

(2+h)3=8+12h+6h2+h3(2 + h)^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3

פותחים

12h+6h2+h3h=12+6h+h2\frac{12h + 6h^2 + h^3}{h} = 12 + 6h + h^2

מחסרים 88 ומחלקים ב-hh

h→0 ⇒ 12h \to 0 \ \Rightarrow \ 12

הגבול

התשובה הנכונה: 1212. 88 הוא f(2)f(2), גובה ולא שיפוע; 66 בא מ-3⋅23 \cdot 2 בלי החזקה; ו-00\frac{0}{0} מופיע רק למי שמציב h=0h = 0 לפני הפישוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הגרף של הפונקציה f
0133.5-1012345-5-4-3-2-112345xy

לפניכם הגרף של ff. מיינו את הנקודות המסומנות לפי הסימן של f′f' בהן.

  • f′>0f' > 0
  • f′<0f' < 0
  • x=0x = 0
  • x=1x = 1
  • x=3.5x = 3.5
  • x=3x = 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=0x = 0 — f′>0f' > 0 · x=1x = 1 — f′>0f' > 0 · x=3x = 3 — f′<0f' < 0 · x=3.5x = 3.5 — f′<0f' < 0

הפתרון:

x<2 ⇒ f↗x < 2 \ \Rightarrow \ f \nearrow

משמאל לקדקוד הגרף עולה

x>2 ⇒ f↘x > 2 \ \Rightarrow \ f \searrow

מימין לקדקוד הגרף יורד

בנקודות x=1x = 1 ו-x=3x = 3 הגובה זהה (f=3f = 3), אבל הסימן של הנגזרת הפוך. הנגזרת נקבעת לפי הכיוון, לא לפי הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו לכל תיאור של ff את התיאור של f′f'.

  • ff קבועה
  • ff ישר עולה
  • ff ישר יורד
  • ff פרבולה עם נקודת מינימום ב-x=1x = 1
  • f′(x)=0f'(x) = 0 בכל נקודה
  • f′f' קבועה וחיובית
  • f′f' קבועה ושלילית
  • f′f' שלילית משמאל ל-11 וחיובית מימין
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ff קבועה — f′(x)=0f'(x) = 0 בכל נקודה · ff ישר עולה — f′f' קבועה וחיובית · ff ישר יורד — f′f' קבועה ושלילית · ff פרבולה עם נקודת מינימום ב-x=1x = 1 — f′f' שלילית משמאל ל-11 וחיובית מימין

הפתרון:

f(x)=mx+b ⇒ f′(x)=m\begin{aligned}f(x) &= mx + b \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= m\end{aligned}

לישר שיפוע אחד בכל נקודה

f′(1)=0f'(1) = 0

בקדקוד המשיק אופקי

בפרבולה עם מינימום הגרף יורד ואז עולה, ולכן f′f' עוברת משלילית לחיובית — ולא «חיובית כי הפרבולה פתוחה למעלה».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: אם f(2)=0f(2) = 0, אז f′(2)=0f'(2) = 0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=x−2f(x) = x - 2

דוגמה נגדית

f(2)=0f(2) = 0

הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=2x = 2

f′(2)=1≠0f'(2) = 1 \neq 0

אבל השיפוע שם 11

הטענה לא נכונה. f(2)=0f(2) = 0 אומר שהגרף עובר בציר ה-xx; f′(2)=0f'(2) = 0 אומר שהמשיק אופקי. אלה שני תנאים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו לפי ההגדרה את שיפוע המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x=−3x = -3.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6

הפתרון:

f(−3+h)=9−6h+h2f(-3 + h) = 9 - 6h + h^2

מציבים −3+h-3 + h

9−6h+h2−9h=−6+h\frac{9 - 6h + h^2 - 9}{h} = -6 + h

מחסרים f(−3)=9f(-3) = 9 ומחלקים

h→0 ⇒ −6h \to 0 \ \Rightarrow \ -6

הגבול

הגובה f(−3)=9f(-3) = 9 חיובי, אבל השיפוע −6-6 שלילי: משמאל לקדקוד הפרבולה יורדת. מי שכותב (−3+h)2=9+6h+h2(-3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2 מאבד את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x. מצאו לפי ההגדרה את f′(x)f'(x), ובאיזה xx המשיק לגרף אופקי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f(x+h)−f(x)=2xh+h2−4hf(x + h) - f(x) = 2xh + h^2 - 4h

מציבים x+hx + h ומחסרים

2xh+h2−4hh=2x+h−4 → 2x−4\frac{2xh + h^2 - 4h}{h} = 2x + h - 4 \ \to \ 2x - 4

מחלקים ומשאיפים

2x−4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}2x - 4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

משיק אופקי: שיפוע אפס

משיק אופקי פירושו f′(x)=0f'(x) = 0, לא f(x)=0f(x) = 0. מי שפותר x2−4x=0x^2 - 4x = 0 מוצא x=0x = 0 ו-x=4x = 4 — נקודות החיתוך עם הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת