כללי גזירה ונגזרת של פולינום

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ביחידה הקודמת חישבנו נגזרות לפי ההגדרה: מציבים, מחסרים, מחלקים, משאיפים. זה עובד, אבל ארוך. כאן נוכיח פעם אחת כמה כללים, ומהם נגזור כל פולינום בשורה אחת.

נגזרת של פונקציה קבועה

הגרף של f(x)=cf(x) = c הוא קו אופקי. לקו אופקי אין שיפוע — וההגדרה אומרת בדיוק את זה:

הוכחה: (c)′=0(c)' = 0

נתונה f(x)=cf(x) = c, כאשר cc מספר קבוע.

f(x+h)−f(x)=c−c=0\begin{aligned}f(x + h) - f(x) &= c - c \\ &= 0\end{aligned}

הפונקציה נותנת cc לכל קלט

0h=0\frac{0}{h} = 0

לכל h≠0h \neq 0

h→0 ⇒ f′(x)=0h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(x) = 0

המנה היא אפס כל הזמן, וגם הגבול

כלל החזקה

לפי ההגדרה כבר מצאנו (x2)′=2x(x^2)' = 2x ו-(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2. ישר y=xy = x שיפועו 11. נסדר את התוצאות בטבלה ונחפש חוקיות:

(x)′=1=1⋅x0\begin{aligned}(x)' &= 1 \\ &= 1 \cdot x^0\end{aligned}

שיפוע הישר

(x2)′=2x1(x^2)' = 2x^1

מההגדרה, (x+h)2−x2h=2x+h\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = 2x + h

(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2

מההגדרה, (x+h)3−x3h=3x2+3xh+h2\frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2

לפי החוקיות בטבלה, מהי הנגזרת של x4x^4?

להציג את התשובה והפתרון

4x34x^3. בפתיחת (x+h)4(x + h)^4 האיבר שיש בו hh בחזקה ראשונה הוא 4x3h4x^3h, וכל שאר האיברים עם hh נעלמים בגבול.

(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

החזקה יורדת ומכפילה, והחזקה עצמה קטנה באחד. שני הדברים קורים יחד.

מקדם וסכום

(c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'

מקדם קבוע נשאר ומכפיל את הנגזרת.

(f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'

גוזרים איבר-איבר.

הוכחה: כלל הסכום

נתון s(x)=f(x)+g(x)s(x) = f(x) + g(x), ו-ff ו-gg גזירות.

s(x+h)−s(x)=[f(x+h)−f(x)]+[g(x+h)−g(x)]s(x + h) - s(x) = [f(x + h) - f(x)] + [g(x + h) - g(x)]

מסדרים מחדש את ארבעת האיברים

s(x+h)−s(x)h=f(x+h)−f(x)h+g(x+h)−g(x)h\frac{s(x + h) - s(x)}{h} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \frac{g(x + h) - g(x)}{h}

מחלקים כל סוגריים ב-hh

h→0 ⇒ s′(x)=f′(x)+g′(x)h \to 0 \ \Rightarrow \ s'(x) = f'(x) + g'(x)

כל מנה שואפת לנגזרת שלה

באותה דרך בדיוק מוכיחים את כלל המקדם: cf(x+h)−cf(x)h=c⋅f(x+h)−f(x)h→c⋅f′(x)\frac{c f(x+h) - c f(x)}{h} = c \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \to c \cdot f'(x).

גזירה איבר-איבר

גזרו: f(x)=2x3−5x2+4x−7f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7

(2x3)′=2⋅3x2=6x2\begin{aligned}(2x^3)' &= 2 \cdot 3x^2 \\ &= 6x^2\end{aligned}

מקדם כפול כלל החזקה

(−5x2)′=−10x(-5x^2)' = -10x

אותו דבר, עם המינוס

(4x)′=4(4x)' = 4

הנגזרת של xx היא 11

(−7)′=0(-7)' = 0

הקבוע נעלם

f′(x)=6x2−10x+4f'(x) = 6x^2 - 10x + 4

מחברים

מהי הנגזרת של f(x)=100f(x) = 100, ומה עם g(x)=x2+100g(x) = x^2 + 100?

להציג את התשובה והפתרון

f′(x)=0f'(x) = 0, ו-g′(x)=2xg'(x) = 2x — בדיוק כמו הנגזרת של x2x^2. הוספת קבוע מזיזה את הגרף למעלה, ולא משנה אף שיפוע.

מה הנגזרת אומרת

f′(a)>0f'(a) > 0

הגרף עולה ב-aa.

f′(a)<0f'(a) < 0

הגרף יורד ב-aa.

f′(a)=0f'(a) = 0

המשיק אופקי ב-aa.

נתון f(x)=x3−6xf(x) = x^3 - 6x. מהו f′(2)f'(2), והאם הגרף עולה או יורד שם?

להציג את התשובה והפתרון

f′(x)=3x2−6f'(x) = 3x^2 - 6, ולכן f′(2)=12−6=6f'(2) = 12 - 6 = 6. חיובי — הגרף עולה בנקודה הזאת, אף ש-f(2)=−4f(2) = -4 שלילי.

שתי הטעויות של גזירת פולינום.

(x4+5)′=4x3+5(x^4 + 5)' = 4x^3 + 5
(x4+5)′=4x3(x^4 + 5)' = 4x^3

הקבוע נעלם. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק, והיא עולה נקודות בכל סעיף שממשיך ממנה.

(x3)′=3x3(x^3)' = 3x^3
(x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2

החזקה יורדת וגם קטנה באחד. מי שעושה רק חצי מהכלל מקבל ביטוי ממעלה שגויה.

תרגילים

תרגיל 1

גזרו: f(x)=x4−3x2+5f(x) = x^4 - 3x^2 + 5

  1. 4x3−6x4x^3 - 6x
  2. 4x3−3x4x^3 - 3x
  3. 4x3−6x24x^3 - 6x^2
  4. 4x3−6x+54x^3 - 6x + 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 4x3−6x4x^3 - 6x

הפתרון:

(x4)′=4x3(x^4)' = 4x^3

כלל החזקה

(−3x2)′=−3⋅2x=−6x\begin{aligned}(-3x^2)' &= -3 \cdot 2x \\ &= -6x\end{aligned}

מקדם כפול נגזרת

(5)′=0(5)' = 0

הקבוע נעלם

הנכונה: 4x3−6x4x^3 - 6x. 4x3−6x+54x^3 - 6x + 5 גורר את הקבוע; 4x3−3x4x^3 - 3x שוכח להכפיל במקדם; 4x3−6x24x^3 - 6x^2 לא מוריד את החזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון f(x)=x4−3x2+5f(x) = x^4 - 3x^2 + 5. חשבו את f′(2)f'(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

f′(x)=4x3−6xf'(x) = 4x^3 - 6x

גוזרים

f′(2)=32−12=20\begin{aligned}f'(2) &= 32 - 12 \\ &= 20\end{aligned}

מציבים

קודם גוזרים, ורק אז מציבים. מי שמציב קודם מקבל f(2)=9f(2) = 9 — מספר, ולמספר נגזרת אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

גזרו: f(x)=100f(x) = 100

  1. 11
  2. 100100
  3. 00
  4. 100x100x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 00

הפתרון:

f(x+h)−f(x)=100−100=0\begin{aligned}f(x + h) - f(x) &= 100 - 100 \\ &= 0\end{aligned}

לפי ההגדרה

f′(x)=0f'(x) = 0

קו אופקי

הנכונה: 00. גודל הקבוע לא משנה — הגרף הוא קו אופקי. 11 הוא הנגזרת של xx, לא של מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

גזרו: f(x)=5x4f(x) = 5x^4

  1. 5x35x^3
  2. 20x320x^3
  3. 20x420x^4
  4. 9x39x^3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 20x320x^3

הפתרון:

(c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'

המקדם נשאר

5⋅4x3=20x35 \cdot 4x^3 = 20x^3

וכופל את נגזרת החזקה

הנכונה: 20x320x^3. 20x420x^4 שוכח להקטין את החזקה; 9x39x^3 מחבר את 55 ו-44 במקום לכפול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

עבור f(x)=x3−6xf(x) = x^3 - 6x, מצאו את הערך החיובי של xx שבו f′(x)=0f'(x) = 0. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.4142

הפתרון:

f′(x)=3x2−6f'(x) = 3x^2 - 6

גוזרים

3x2=6 ⇒ x2=2\begin{aligned}3x^2 &= 6 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 2\end{aligned}

משווים לאפס

x=±2  2≈1.41\begin{aligned}x &= \pm\sqrt{2} \ \\ \ \sqrt{2} \approx 1.41\end{aligned}

והפתרון החיובי

המלכודת היא לפתור f(x)=0f(x) = 0 במקום f′(x)=0f'(x) = 0: אז מתקבל 6≈2.45\sqrt{6} \approx 2.45, נקודת חיתוך עם הציר ולא משיק אופקי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

גזרו: f(x)=x42+3xf(x) = \frac{x^4}{2} + 3x

  1. 4x3+34x^3 + 3
  2. 2x3+3x2x^3 + 3x
  3. 2x3+32x^3 + 3
  4. x32+3\frac{x^3}{2} + 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 2x3+32x^3 + 3

הפתרון:

x42=12x4\frac{x^4}{2} = \frac{1}{2}x^4

חלוקה ב-22 היא מקדם 12\frac{1}{2}

12⋅4x3=2x3\frac{1}{2} \cdot 4x^3 = 2x^3

כלל המקדם

(3x)′=3(3x)' = 3

והאיבר השני

הנכונה: 2x3+32x^3 + 3. 4x3+34x^3 + 3 זורק את החצי; 2x3+3x2x^3 + 3x לא גוזר את האיבר השני; x32+3\frac{x^3}{2} + 3 מקטין את החזקה בלי להכפיל ב-44. חלוקה במספר היא כפל במקדם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בגזירה שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=2x3−4x2+7x−1f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 7x - 1
(2x3)′=6x2(2x^3)' = 6x^2
(−4x2)′=−8x(-4x^2)' = -8x
(7x)′=7x(7x)' = 7x
f′(x)=6x2−8x+7f'(x) = 6x^2 - 8x + 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (7x)′=7x(7x)' = 7x → (7x)′=7(7x)' = 7

הפתרון:

7x=7x17x = 7x^1

החזקה היא 11

(7x)′=7⋅1⋅x0=7\begin{aligned}(7x)' &= 7 \cdot 1 \cdot x^0 \\ &= 7\end{aligned}

כלל החזקה עם מקדם

הנגזרת של 7x7x היא 77: ישר ששיפועו 77. מי שמשאיר את xx לא הוריד את החזקה מ-11 ל-00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=ax3−2xf(x) = ax^3 - 2x, כאשר aa פרמטר. ידוע ש-f′(1)=10f'(1) = 10. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f′(x)=3ax2−2f'(x) = 3ax^2 - 2

גוזרים; aa הוא מקדם קבוע

f′(1)=3a−2=10\begin{aligned}f'(1) &= 3a - 2 \\ &= 10\end{aligned}

מציבים x=1x = 1

a=4a = 4

פותרים

aa הוא מספר, ולכן הוא לא נגזר — הוא נשאר מקדם. מי שמציב x=1x = 1 בפונקציה עצמה פותר a−2=10a - 2 = 10 ומקבל 1212.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון f(x)=x2f(x) = x^2. הוכיחו מתוך הגדרת הנגזרת ש-f′(x)=2xf'(x) = 2x.

  • f(x)=x2f(x) = x^2
  • f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

f′(x)=2xf'(x) = 2x

להציג את התשובה והפתרון
  1. f(x+h)=(x+h)2f(x+h) = (x+h)^2 — הצבת x+hx+h בפונקציה
  2. f(x+h)=x2+2xh+h2f(x+h) = x^2 + 2xh + h^2 — פתיחת סוגריים
  3. f(x+h)−f(x)=2xh+h2f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2 — חיסור x2x^2 משני האגפים
  4. f(x+h)−f(x)h=2x+h\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 2x + h — חלוקה ב-hh, המותרת כי h≠0h \neq 0 בתהליך הגבול
  5. f′(x)=2xf'(x) = 2x — השאפת hh לאפס

הפתרון:

f(x+h)=(x+h)2f(x+h) = (x+h)^2

הצבת x+hx+h בפונקציה

f(x+h)=x2+2xh+h2f(x+h) = x^2 + 2xh + h^2

פתיחת סוגריים

f(x+h)−f(x)=2xh+h2f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2

חיסור x2x^2 משני האגפים

f(x+h)−f(x)h=2x+h\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 2x + h

חלוקה ב-hh, המותרת כי h≠0h \neq 0 בתהליך הגבול

f′(x)=2xf'(x) = 2x

השאפת hh לאפס

המלכודת היא לשכוח את 2xh2xh בפתיחת (x+h)2(x+h)^2 — ואז יוצא f′(x)=0f'(x) = 0. וחלוקה ב-hh מותרת רק כי h≠0h \neq 0 לאורך כל התהליך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה פונקציה גזירה ff, ו-g(x)=f(x)+cg(x) = f(x) + c עבור קבוע cc. הוכיחו מתוך ההגדרה ש-g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x).

  • g(x)=f(x)+cg(x) = f(x) + c
  • f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x)

להציג את התשובה והפתרון
  1. g(x+h)−g(x)=f(x+h)−f(x)g(x+h) - g(x) = f(x+h) - f(x) — הקבוע cc מופיע בשני האיברים ומתקזז
  2. g(x+h)−g(x)h=f(x+h)−f(x)h\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} — חלוקה ב-hh, כאשר h≠0h \neq 0
  3. g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x) — לשתי מנות שוות אותו גבול כש-h→0h \to 0

הפתרון:

g(x+h)−g(x)=f(x+h)−f(x)g(x+h) - g(x) = f(x+h) - f(x)

הקבוע cc מופיע בשני האיברים ומתקזז

g(x+h)−g(x)h=f(x+h)−f(x)h\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

חלוקה ב-hh, כאשר h≠0h \neq 0

g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x)

לשתי מנות שוות אותו גבול כש-h→0h \to 0

הזזה אנכית של גרף לא משנה אף שיפוע. זו גם הסיבה שהקבוע נעלם בגזירה: הוא מזיז את הגרף, ולא מטה אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת