נגזרת של מכפלה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עד כאן גזרנו סכומים, ושם הכול היה פשוט: גוזרים איבר-איבר. במכפלה זה נשבר, וכדאי לראות את זה לפני שלומדים את הכלל.

הניחוש הטבעי — ולמה הוא נכשל

נבדוק על מכפלה שאנחנו כבר יודעים לגזור: x2⋅x3x^2 \cdot x^3. זה פשוט x5x^5, ולכן הנגזרת היא 5x45x^4.

2x⋅3x2=6x32x \cdot 3x^2 = 6x^3

מה שנותן הניחוש — לגזור כל גורם בנפרד ולכפול.

5x45x^4

מה שהתשובה באמת.

חשבו את שתי הנוסחאות בנקודה x=1x = 1. איזו מתאימה לשיפוע 55 שהווידג׳ט מודד שם?

להציג את התשובה והפתרון

הניחוש נותן 6⋅13=66 \cdot 1^3 = 6, והכלל נותן 5⋅14=55 \cdot 1^4 = 5. רק הכלל מתאים. וב-x=2x = 2 הפער גדל: 4848 מול 8080.

הכלל, ומאיפה הוא בא

(f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

גוזרים את הראשון ומשאירים את השני, ואז להפך — ומחברים. שני איברים, תמיד. ההוכחה משתמשת בהגדרה ובתכסיס אחד: מוסיפים ומחסרים את אותו ביטוי.

הוכחה: כלל המכפלה

נתון p(x)=f(x)⋅g(x)p(x) = f(x) \cdot g(x), ו-ff ו-gg גזירות.

p(x+h)−p(x)=f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)p(x + h) - p(x) = f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)

השינוי במכפלה

=f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)−f(x)g(x)= f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x + h) + f(x)g(x + h) - f(x)g(x)

מחסרים ומוסיפים f(x)g(x+h)f(x)g(x + h) — סכום אפס

=[f(x+h)−f(x)]⋅g(x+h)+f(x)⋅[g(x+h)−g(x)]= [f(x + h) - f(x)] \cdot g(x + h) + f(x) \cdot [g(x + h) - g(x)]

מוציאים גורם משותף מכל זוג

p(x+h)−p(x)h=f(x+h)−f(x)h⋅g(x+h)+f(x)⋅g(x+h)−g(x)h\frac{p(x + h) - p(x)}{h} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \cdot g(x + h) + f(x) \cdot \frac{g(x + h) - g(x)}{h}

מחלקים ב-hh

h→0 ⇒ p′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)h \to 0 \ \Rightarrow \ p'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

המנות שואפות לנגזרות, ו-g(x+h)→g(x)g(x + h) \to g(x)

על אותה מכפלה

גזרו f(x)=x2⋅x3f(x) = x^2 \cdot x^3 בעזרת הכלל.

(x2)′=2x(x3)′=3x2\begin{aligned}(x^2)' &= 2x \\ \quad (x^3)' &= 3x^2\end{aligned}

הנגזרת של כל גורם

2x⋅x3+x2⋅3x22x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2

מציבים בכלל

2x4+3x4=5x42x^4 + 3x^4 = 5x^4

מכנסים — בדיוק כמו (x5)′(x^5)'

מתי הכלל באמת חוסך

נתון f(x)=(x2+3x)(x3−1)f(x) = (x^2 + 3x)(x^3 - 1). חשבו את f′(1)f'(1).

f′(x)=(2x+3)(x3−1)+(x2+3x)⋅3x2f'(x) = (2x + 3)(x^3 - 1) + (x^2 + 3x) \cdot 3x^2

כלל המכפלה, בלי לפתוח סוגריים

f′(1)=5⋅0+4⋅3f'(1) = 5 \cdot 0 + 4 \cdot 3

מציבים ישר

f′(1)=12f'(1) = 12

הגורם x3−1x^3 - 1 מתאפס ב-11 וחוסך חצי מהחישוב

נתון f(x)=x⋅g(x)f(x) = x \cdot g(x), כאשר g(3)=2g(3) = 2 ו-g′(3)=−1g'(3) = -1. מהו f′(3)f'(3)?

להציג את התשובה והפתרון

f′(x)=1⋅g(x)+x⋅g′(x)f'(x) = 1 \cdot g(x) + x \cdot g'(x), ולכן f′(3)=2+3⋅(−1)=−1f'(3) = 2 + 3 \cdot (-1) = -1. את gg עצמה לא צריך להכיר — מספיקים הערך והנגזרת בנקודה.

כשאפשר לפתוח סוגריים בקלות, זו בדיקה מצוינת לתוצאה של הכלל. כשהמכפלה ארוכה, או כשנתונים רק ערכים בנקודה — הכלל הוא הדרך.

שתי הטעויות של כלל המכפלה.

(f⋅g)′=f′⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g'
(f⋅g)′=f′g+fg′(f \cdot g)' = f'g + fg'

זו הטעות המרכזית בפרק. היא נראית סבירה כי בסכום זה כן עובד — אבל מכפלה אינה סכום.

(f⋅g)′=f′⋅g(f \cdot g)' = f' \cdot g
(f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

מי שרושם רק f′gf'g עצר באמצע הכלל. התוצאה היא תמיד סכום של שתי מכפלות.

תרגילים

תרגיל 1

גזרו: f(x)=(x+1)(x−3)f(x) = (x + 1)(x - 3)

  1. x−2x - 2
  2. 11
  3. 2x−22x - 2
  4. 2x+22x + 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 2x−22x - 2

הפתרון:

1⋅(x−3)+(x+1)⋅11 \cdot (x - 3) + (x + 1) \cdot 1

כלל המכפלה

x−3+x+1=2x−2x - 3 + x + 1 = 2x - 2

מכנסים

(x2−2x−3)′=2x−2(x^2 - 2x - 3)' = 2x - 2

בדיקה בפתיחת סוגריים

הנכונה: 2x−22x - 2. 11 הוא הניחוש f′⋅g′=1⋅1f' \cdot g' = 1 \cdot 1; 2x+22x + 2 מאבד את הסימן של −3-3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון f(x)=(2x+1)⋅x2f(x) = (2x + 1) \cdot x^2. חשבו את f′(2)f'(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

f′(x)=2⋅x2+(2x+1)⋅2xf'(x) = 2 \cdot x^2 + (2x + 1) \cdot 2x

כלל המכפלה

f′(2)=2⋅4+5⋅4=28\begin{aligned}f'(2) &= 2 \cdot 4 + 5 \cdot 4 \\ &= 28\end{aligned}

מציבים

הניחוש f′⋅g′=2⋅2xf' \cdot g' = 2 \cdot 2x נותן 88. בדיקה: 2x3+x22x^3 + x^2 נגזרתו 6x2+2x6x^2 + 2x, וב-22 זה 2828.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

גזרו: f(x)=(x2+1)(x−2)f(x) = (x^2 + 1)(x - 2)

  1. 2x2x
  2. 3x2−4x+13x^2 - 4x + 1
  3. 2x2−4x2x^2 - 4x
  4. 3x2+13x^2 + 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 3x2−4x+13x^2 - 4x + 1

הפתרון:

2x(x−2)+(x2+1)⋅12x(x - 2) + (x^2 + 1) \cdot 1

הכלל

2x2−4x+x2+12x^2 - 4x + x^2 + 1

פותחים

3x2−4x+13x^2 - 4x + 1

מכנסים

הנכונה: 3x2−4x+13x^2 - 4x + 1. 2x2x הוא הניחוש 2x⋅12x \cdot 1; 2x2−4x2x^2 - 4x הוא רק האיבר הראשון של הכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

f(x)=x⋅g(x)f(x) = x \cdot g(x), ונתון g(2)=5g(2) = 5 ו-g′(2)=3g'(2) = 3. מהו f′(2)f'(2)?

  1. 88
  2. 1111
  3. 33
  4. 1515
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 1111

הפתרון:

f′(x)=1⋅g(x)+x⋅g′(x)f'(x) = 1 \cdot g(x) + x \cdot g'(x)

כלל המכפלה

f′(2)=5+2⋅3=11\begin{aligned}f'(2) &= 5 + 2 \cdot 3 \\ &= 11\end{aligned}

מציבים

הנכונה: 1111. 33 הוא 1⋅g′(2)1 \cdot g'(2), הניחוש; 88 מחבר g(2)+g′(2)g(2) + g'(2) ושוכח את הגורם x=2x = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון: f(1)=2f(1) = 2, f′(1)=−1f'(1) = -1, g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=4g'(1) = 4. חשבו את הנגזרת של f⋅gf \cdot g בנקודה x=1x = 1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

(f⋅g)′(1)=f′(1)g(1)+f(1)g′(1)(f \cdot g)'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1)

כלל המכפלה בנקודה

=(−1)⋅3+2⋅4=5= (-1) \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 5

מציבים

הניחוש f′(1)⋅g′(1)=−4f'(1) \cdot g'(1) = -4 שגוי. בכלל יש ארבעה מספרים, וכל אחד מופיע פעם אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון f(x)=(x2+3x)(x3−1)f(x) = (x^2 + 3x)(x^3 - 1). חשבו את f′(1)f'(1).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

f′(x)=(2x+3)(x3−1)+(x2+3x)⋅3x2f'(x) = (2x + 3)(x^3 - 1) + (x^2 + 3x) \cdot 3x^2

כלל המכפלה

f′(1)=5⋅0+4⋅3=12\begin{aligned}f'(1) &= 5 \cdot 0 + 4 \cdot 3 \\ &= 12\end{aligned}

מציבים

הגורם x3−1x^3 - 1 מתאפס ב-11, ולכן האיבר הראשון של הכלל נעלם — אבל האיבר השני, 4⋅34 \cdot 3, נשאר. מי שמסיק מהאפס ש-f′(1)=0f'(1) = 0 שכח את חצי הכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: לכל שתי פונקציות גזירות מתקיים (f⋅g)′=f′⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g'.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=g(x)=x\begin{aligned}f(x) &= g(x) \\ &= x\end{aligned}

דוגמה נגדית

(x⋅x)′=(x2)′=2x\begin{aligned}(x \cdot x)' &= (x^2)' \\ &= 2x\end{aligned}

הנגזרת האמיתית

f′⋅g′=1⋅1=1≠2x\begin{aligned}f' \cdot g' &= 1 \cdot 1 \\ &= 1 \neq 2x\end{aligned}

הנוסחה המוצעת

הטענה לא נכונה — ומספיקה דוגמה נגדית אחת. אפילו x⋅xx \cdot x מפיל אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בגזירה שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=(3x−2)(x2+4)f(x) = (3x - 2)(x^2 + 4)
f′(x)=3⋅2xf'(x) = 3 \cdot 2x
f′(x)=6xf'(x) = 6x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′(x)=3⋅2xf'(x) = 3 \cdot 2x → f′(x)=3(x2+4)+(3x−2)⋅2xf'(x) = 3(x^2 + 4) + (3x - 2) \cdot 2x

הפתרון:

f′(x)=3(x2+4)+(3x−2)⋅2xf'(x) = 3(x^2 + 4) + (3x - 2) \cdot 2x

כלל המכפלה

=9x2−4x+12= 9x^2 - 4x + 12

פותחים ומכנסים

השורה השנייה כופלת את הנגזרות זו בזו. בדיקה: (3x−2)(x2+4)=3x3−2x2+12x−8(3x - 2)(x^2 + 4) = 3x^3 - 2x^2 + 12x - 8, ונגזרתו 9x2−4x+129x^2 - 4x + 12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ff ו-gg גזירות. הוכיחו ש-[x⋅g(x)]′=g(x)+x⋅g′(x)\left[x \cdot g(x)\right]' = g(x) + x \cdot g'(x).

  • כלל המכפלה: (f⋅g)′=f′g+fg′(f \cdot g)' = f'g + fg'
  • f(x)=xf(x) = x

[x⋅g(x)]′=g(x)+xg′(x)\left[x \cdot g(x)\right]' = g(x) + x g'(x)

להציג את התשובה והפתרון
  1. [x⋅g(x)]′=(x)′⋅g(x)+x⋅g′(x)\left[x \cdot g(x)\right]' = (x)' \cdot g(x) + x \cdot g'(x) — הצבה בכלל המכפלה עם f(x)=xf(x) = x
  2. (x)′=1(x)' = 1 — כלל החזקה: x=x1x = x^1
  3. [x⋅g(x)]′=1⋅g(x)+xg′(x)\left[x \cdot g(x)\right]' = 1 \cdot g(x) + x g'(x) — הצבת הנגזרת שחישבנו
  4. [x⋅g(x)]′=g(x)+xg′(x)\left[x \cdot g(x)\right]' = g(x) + x g'(x) — כפל ב-11 אינו משנה

הפתרון:

[x⋅g(x)]′=(x)′⋅g(x)+x⋅g′(x)\left[x \cdot g(x)\right]' = (x)' \cdot g(x) + x \cdot g'(x)

הצבה בכלל המכפלה עם f(x)=xf(x) = x

(x)′=1(x)' = 1

כלל החזקה: x=x1x = x^1

[x⋅g(x)]′=1⋅g(x)+xg′(x)\left[x \cdot g(x)\right]' = 1 \cdot g(x) + x g'(x)

הצבת הנגזרת שחישבנו

[x⋅g(x)]′=g(x)+xg′(x)\left[x \cdot g(x)\right]' = g(x) + x g'(x)

כפל ב-11 אינו משנה

הנגזרת של הגורם xx היא 11, ולכן האיבר הראשון הוא g(x)g(x) עצמה. מי שכותב x⋅g′(x)x \cdot g'(x) בלבד שכח את חצי הכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ff פונקציה גזירה. הוכיחו בעזרת כלל המכפלה ש-([f(x)]2)′=2f(x)f′(x)\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)f'(x).

  • ff גזירה
  • כלל המכפלה: (f⋅g)′=f′g+fg′(f \cdot g)' = f'g + fg'

([f(x)]2)′=2f(x)f′(x)\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)f'(x)

להציג את התשובה והפתרון
  1. ([f(x)]2)′=(f(x)⋅f(x))′\left([f(x)]^2\right)' = \left(f(x) \cdot f(x)\right)' — ריבוע הוא מכפלה של הפונקציה בעצמה
  2. (f(x)⋅f(x))′=f′(x)f(x)+f(x)f′(x)\left(f(x) \cdot f(x)\right)' = f'(x)f(x) + f(x)f'(x) — כלל המכפלה, עם g=fg = f
  3. ([f(x)]2)′=2f(x)f′(x)\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)f'(x) — כינוס שני איברים זהים

הפתרון:

([f(x)]2)′=(f(x)⋅f(x))′\left([f(x)]^2\right)' = \left(f(x) \cdot f(x)\right)'

ריבוע הוא מכפלה של הפונקציה בעצמה

(f(x)⋅f(x))′=f′(x)f(x)+f(x)f′(x)\left(f(x) \cdot f(x)\right)' = f'(x)f(x) + f(x)f'(x)

כלל המכפלה, עם g=fg = f

([f(x)]2)′=2f(x)f′(x)\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)f'(x)

כינוס שני איברים זהים

הטעות הצפויה: ([f(x)]2)′=2f(x)\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x) — כאילו ff היא xx. הגורם f′(x)f'(x) חייב להופיע, וזה בדיוק הרעיון של היחידה הבאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת