נגזרת של פונקציה מורכבת · קצב שינוי, משיק ונגזרת · כיתה י׳

איך גוזרים את $(3x + 1)^4$ ? אפשר לפתוח סוגריים — חמישה איברים. ואת $(x^2 + 1)^{10}$ ? כבר לא. יש כלל שחוסך את הפתיחה.

פונקציה בתוך פונקציה

ב- $(3x + 1)^4$ יש שתי פעולות זו אחר זו: קודם מחשבים את $3x + 1$ , ואז מעלים בחזקה $4$ . זו פונקציה מורכבת: פונקציה פנימית $u = 3x + 1$ , ופונקציה חיצונית $u^4$ .

(3x + 1)^4

פנימית $3x + 1$ , חיצונית $u^4$

(x^2 + 1)^{10}

פנימית $x^2 + 1$ , חיצונית $u^{10}$

(5 - x)^2

פנימית $5 - x$ , חיצונית $u^2$

מהן הפונקציה הפנימית והפונקציה החיצונית ב- $(x^3 - 2x)^6$ ?

להציג את התשובה והפתרון

פנימית $u = x^3 - 2x$ — מה שבתוך הסוגריים. חיצונית $u^6$ — מה שעושים לו.

הניחוש — ומה חסר בו

נבדוק על דוגמה שאפשר לפתוח: $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ , ולכן הנגזרת היא $8x + 4$ .

2(2x + 1) = 4x + 2

הניחוש: כלל החזקה על הסוגריים, כאילו הם $x$

8x + 4 = 2(2x + 1) \cdot 2

האמת: פי $2$ — וה- $2$ הזה הוא הנגזרת של $2x + 1$

למה הכפל ב- $2$ ? חשבו על גלגלי שיניים: $u = 2x + 1$ משתנה פי $2$ מהר יותר מ- $x$ , ו- $u^2$ משתנה פי $2u$ מהר יותר מ- $u$ . אז $u^2$ משתנה פי $2u \cdot 2$ מהר יותר מ- $x$ . קצבים של שלבים רצופים מתכפלים.

הכלל

\left[f(g(x))\right]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

גוזרים את החיצונית ומשאירים את הפנימית בתוכה, ואז כופלים בנגזרת של הפנימית. לחזקה של ביטוי: $\left[(g(x))^n\right]' = n(g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$ .

למה הכלל נכון

נסמן $u = g(x)$ , ונניח ש- $g(x + h) \neq g(x)$ עבור $h$ קטן.

\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} = \frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{g(x + h) - g(x)} \cdot \frac{g(x + h) - g(x)}{h}

כופלים ומחלקים באותו ביטוי

h \to 0 \ \Rightarrow \ g(x + h) \to g(x)

השינוי בפנימית שואף לאפס

\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{g(x + h) - g(x)} \to f'(g(x))

המנה הראשונה: שיפוע של $f$ בנקודה $u = g(x)$

\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \to g'(x)

המנה השנייה: שיפוע של $g$

פעילות אינטראקטיבית

גוזרים יחד: $(2x - 5)^3$

גזרו את $f(x) = (2x - 5)^3$ . בכל שלב בחרו מה עושים.

$6(2x - 5)^2$

$3(2x - 5)^2$

$6x^2$

$3(2x)^2$

מה הפונקציה הפנימית כאן?

$2x - 5$

להציג את התשובה והפתרון

כן. זה הביטוי שנמצא בתוך הסוגריים, ועליו פועלת החזקה.

$u^3$

להציג את התשובה והפתרון

זו הפונקציה החיצונית — מה שעושים לביטוי שבסוגריים.

$2x$

להציג את התשובה והפתרון

כמעט. גם ה- $-5$ נמצא בתוך הסוגריים, והוא חלק מהפנימית.

\begin{aligned}u &= 2x - 5 \\ \quad f &= u^3\end{aligned}

פנימית $u = 2x - 5$ , חיצונית $u^3$ .

מה הנגזרת של החיצונית, כשהפנימית נשארת בתוכה?

להציג את התשובה והפתרון

כן. גוזרים $u^3$ לפי כלל החזקה, ובמקום $u$ משאירים את $2x - 5$ כמו שהוא.

$3 \cdot 2^2$

להציג את התשובה והפתרון

לא גוזרים את מה שבתוך הסוגריים בשלב הזה. הסוגריים נשארים שלמים.

$(2x - 5)^2$

להציג את התשובה והפתרון

החזקה ירדה באחד, אבל ה- $3$ לא ירד להכפיל.

3(2x - 5)^2

החיצונית נגזרה, הפנימית לא נגעה.

ומה עושים עכשיו?

זהו, זו התשובה

להציג את התשובה והפתרון

זו בדיוק הטעות הנפוצה. בדיקה ב- $x = 3$ : הגרף עולה שם בשיפוע $6$ , לא $3$ .

כופלים בנגזרת הפנימית, $2$

להציג את התשובה והפתרון

כן. הפנימית משתנה פי $2$ מהר יותר מ- $x$ , ולכן כל השינוי מוכפל ב- $2$ .

מוסיפים את הנגזרת הפנימית, $2$

להציג את התשובה והפתרון

הכלל כופל קצבים, לא מחבר אותם.

\begin{aligned}f'(x) &= 3(2x - 5)^2 \cdot 2 \\ &= 6(2x - 5)^2\end{aligned}

נגזרת החיצונית כפול נגזרת הפנימית.

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x) = 6(2x - 5)^2$ . שלושה צעדים: מזהים פנימית, גוזרים חיצונית, כופלים בנגזרת הפנימית.

לעשות את הפעילות ב-elev

בדקו את הכלל על $(x^2 + 1)^2$ : גזרו פעם בכלל, ופעם אחרי פתיחת הסוגריים.

להציג את התשובה והפתרון

בכלל: $2(x^2 + 1) \cdot 2x = 4x^3 + 4x$ . בפתיחה: $x^4 + 2x^2 + 1$ , ונגזרתו $4x^3 + 4x$ . אותה תשובה.

פעילות אינטראקטיבית

שיפוע משיק לפונקציה מורכבת

\begin{aligned}f(x) &= (x^2 - 3)^4 \\ \quad f'(2) &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». לפתוח את $(x^2 - 3)^4$ זה ארוך ומועד לטעויות — נגזור בלי לפתוח.

מזהים

\begin{aligned}u &= x^2 - 3 \\ \quad f &= u^4\end{aligned}

הפנימית היא מה שבסוגריים, והחיצונית היא החזקה הרביעית.

חיצונית

4(x^2 - 3)^3

גוזרים את $u^4$ , והפנימית נשארת בתוכה.

פנימית

(x^2 - 3)' = 2x

הנגזרת של הפנימית.

כופלים

\begin{aligned}f'(x) &= 4(x^2 - 3)^3 \cdot 2x \\ &= 8x(x^2 - 3)^3\end{aligned}

נגזרת החיצונית כפול נגזרת הפנימית.

מציבים

\begin{aligned}f'(2) &= 8 \cdot 2 \cdot (4 - 3)^3 \\ &= 16\end{aligned}

רק אחרי הגזירה מציבים $x = 2$ .

אותם חמישה צעדים עובדים על כל חזקה של פולינום: מזהים, חיצונית, פנימית, כופלים, מציבים.

לעשות את הפעילות ב-elev

ביחידה הקודמת הוכחנו $\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)f'(x)$ בכלל המכפלה. זה בדיוק כלל השרשרת עבור $n = 2$ — שני כללים, אותה תשובה.

שתי הטעויות של פונקציה מורכבת.

\left[(3x + 1)^4\right]' = 4(3x + 1)^3

\begin{aligned}\left[(3x + 1)^4\right]' &= 4(3x + 1)^3 \cdot 3 \\ &= 12(3x + 1)^3\end{aligned}

שכחו לכפול בנגזרת הפנימית. זו הטעות הנפוצה ביותר ביחידה — והיא לא נראית כמו טעות.

\left[(x^2 + 1)^3\right]' = 3(2x)^2

\left[(x^2 + 1)^3\right]' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x

גזרו את הפנימית בתוך הסוגריים. הפנימית נשארת כמו שהיא, ונגזרתה מופיעה מחוץ לסוגריים ככופל.

תרגילים

תרגיל 1

גזרו: $f(x) = (3x + 1)^4$

$12(3x)^3$
$4(3x + 1)^3$
$3(3x + 1)^3$
$12(3x + 1)^3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $12(3x + 1)^3$

הפתרון:

4(3x + 1)^3

נגזרת החיצונית

(3x + 1)' = 3

נגזרת הפנימית

4(3x + 1)^3 \cdot 3 = 12(3x + 1)^3

כופלים

הנכונה: $12(3x + 1)^3$ . $4(3x + 1)^3$ שוכח את נגזרת הפנימית; $12(3x)^3$ מאבד את ה- $+1$ ; $3(3x + 1)^3$ כופל ב- $3$ אבל לא מוריד את החזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון $f(x) = (x^2 + 1)^3$ . חשבו את $f'(1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x

חיצונית כפול פנימית

\begin{aligned}f'(1) &= 3 \cdot 4 \cdot 2 \\ &= 24\end{aligned}

מציבים

בלי הכופל $2x$ יוצא $12$ — חצי מהתשובה. הצבה רק אחרי שהנגזרת שלמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון $f(x) = (1 - 2x)^5$ . חשבו את $f'(1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -10

הפתרון:

f'(x) = 5(1 - 2x)^4 \cdot (-2)

הנגזרת של הפנימית היא $-2$

\begin{aligned}f'(1) &= 5 \cdot (-1)^4 \cdot (-2) \\ &= -10\end{aligned}

מציבים

הסימן בא מהנגזרת הפנימית $-2$ . מי ששוכח אותה מקבל $5$ — ומגיע למסקנה שהגרף עולה, כשהוא בעצם יורד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בגזירה שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x) = (x^2 - 4x)^2

f'(x) = 2(x^2 - 4x)

f'(x) = 2x^2 - 8x

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f'(x) = 2(x^2 - 4x)$ → $f'(x) = 2(x^2 - 4x)(2x - 4)$

הפתרון:

f'(x) = 2(x^2 - 4x) \cdot (2x - 4)

חסר הכופל: נגזרת הפנימית

= 4x(x - 4)(x - 2)

בצורה מפורקת

השורה השנייה גוזרת רק את החיצונית. השורה השלישית פותחת נכון את מה שקיבלה — הטעות נולדה שורה אחת קודם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מיינו את הפונקציות לפי הצורה שבה הן כתובות: באילו גוזרים בלי לפתוח סוגריים רק בעזרת כלל הפונקציה המורכבת, ובאילו מספיקים כללי הפולינום כמו שהפונקציה כתובה?

כתובה כחזקה של ביטוי — פונקציה מורכבת
כתובה כסכום של חזקות של $x$ — כללי הפולינום

$(2x + 1)^3$
$(x^2 - 1)^5$
$3(x - 4)^2$
$5x^4 - x^2$
$x^3 + 2x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(2x + 1)^3$ — כתובה כחזקה של ביטוי — פונקציה מורכבת · $x^3 + 2x$ — כתובה כסכום של חזקות של $x$ — כללי הפולינום · $(x^2 - 1)^5$ — כתובה כחזקה של ביטוי — פונקציה מורכבת · $5x^4 - x^2$ — כתובה כסכום של חזקות של $x$ — כללי הפולינום · $3(x - 4)^2$ — כתובה כחזקה של ביטוי — פונקציה מורכבת

הפתרון:

(x - 4)^2

יש סוגריים בחזקה — פנימית $x - 4$

5x^4 - x^2

סכום של חזקות של $x$ עצמו

גם ב- $3(x - 4)^2$ הפונקציה מורכבת — הנגזרת הפנימית היא $1$ , ולכן לא רואים אותה. אין כופל גלוי, אבל הכלל פעל. ואפשר תמיד גם לפתוח סוגריים — אבל ב- $(x^2 - 1)^5$ זה ארוך מאוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

$(2x + 3)^2$
$(x^2 + 3)^2$
$(3 - x)^2$
$(x^3)^2$

$-2(3 - x)$
$4(2x + 3)$
$4x(x^2 + 3)$
$6x^5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(2x + 3)^2$ — $4(2x + 3)$ · $(x^2 + 3)^2$ — $4x(x^2 + 3)$ · $(3 - x)^2$ — $-2(3 - x)$ · $(x^3)^2$ — $6x^5$

הפתרון:

\left[(2x + 3)^2\right]' = 2(2x + 3) \cdot 2

פנימית $2x + 3$

\left[(3 - x)^2\right]' = 2(3 - x) \cdot (-1)

פנימית $3 - x$ , נגזרתה $-1$

(x^3)^2 = x^6 \ \Rightarrow \ 6x^5

או בכלל: $2x^3 \cdot 3x^2$

ב- $(3 - x)^2$ המינוס מגיע מהנגזרת הפנימית $-1$ . מי שמדלג עליו מתאים לה את $2(3 - x)$ — ביטוי שאינו ברשימה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה $f(x) = (ax + 1)^2$ , כאשר $a$ פרמטר. ידוע ש- $f'(0) = 6$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f'(x) = 2(ax + 1) \cdot a

נגזרת הפנימית היא $a$

\begin{aligned}f'(0) &= 2 \cdot 1 \cdot a \\ &= 2a\end{aligned}

מציבים $x = 0$

\begin{aligned}2a &= 6 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

בלי הכופל $a$ מתקבל $f'(0) = 2$ בכל מקרה, והמשוואה $2 = 6$ נראית חסרת פתרון. הפרמטר נכנס דרך הנגזרת הפנימית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

גזרו: $f(x) = x(x + 1)^3$

$(x + 1)^3 + 3(x + 1)^2$
$3(x + 1)^2$
$3x(x + 1)^2$
$(x + 1)^3 + 3x(x + 1)^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $(x + 1)^3 + 3x(x + 1)^2$

הפתרון:

(x)' \cdot (x + 1)^3 + x \cdot \left[(x + 1)^3\right]'

כלל המכפלה

\left[(x + 1)^3\right]' = 3(x + 1)^2 \cdot 1

כלל הפונקציה המורכבת

(x + 1)^3 + 3x(x + 1)^2 = (x + 1)^2(4x + 1)

מוציאים גורם משותף

הנכונה: $(x + 1)^3 + 3x(x + 1)^2$ . $3x(x + 1)^2$ שוכח את האיבר הראשון של כלל המכפלה; $3(x + 1)^2$ הוא הניחוש $f' \cdot g'$ . שני כללים, זה בתוך זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: הנגזרת של $(5x - 2)^2$ היא $2(5x - 2)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(5x - 2)^2 = 25x^2 - 20x + 4

פותחים

(25x^2 - 20x + 4)' = 50x - 20

גוזרים

2(5x - 2) = 10x - 4 \neq 50x - 20

הביטוי המוצע קטן פי $5$

הטענה לא נכונה: חסר הכופל $5$ , הנגזרת של הפנימית. הנגזרת הנכונה $10(5x - 2)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו שיפוע המשיק לגרף $y = (2x - 1)^3$ בנקודה שבה $x = 1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}y' &= 3(2x - 1)^2 \cdot 2 \\ &= 6(2x - 1)^2\end{aligned}

חיצונית כפול פנימית

\begin{aligned}y'(1) &= 6 \cdot 1^2 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים

ב- $x = 1$ הפנימית שווה $1$ , ולכן קל לשכוח את ה- $2$ ולענות $3$ . הכופל לא תלוי בערך של הפנימית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

פונקציה בתוך פונקציה

הניחוש — ומה חסר בו

הכלל

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev