משוואת המשיק

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בפרק הזה ראינו שהנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק שם. עכשיו נשתמש בזה עד הסוף: נכתוב את משוואת המשיק.

באנימציה, באילו שני ערכי xx המשיק אופקי? אמתו בחישוב.

להציג את התשובה והפתרון

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2), והנגזרת מתאפסת ב-x=0x = 0 וב-x=2x = 2. שם m=0m = 0, ומשוואות המשיקים הן y=0y = 0 ו-y=−4y = -4.

הכלל

m=f′(x0)m = f'(x_0)

שיפוע המשיק בנקודה שווה לנגזרת של הפונקציה ב-xx של נקודת ההשקה. לא לנגזרת «באופן כללי» — לערך שלה ב-x0x_0 עצמו.

שימו לב להבדל: f′(x)f'(x) הוא ביטוי, ו-f′(x0)f'(x_0) הוא מספר. השיפוע של ישר הוא תמיד מספר.

שלושת השלבים

y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

הנקודה — מציבים ב-ff עצמה.

m=f′(x0)m = f'(x_0)

השיפוע — מציבים בנגזרת.

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

המשוואה — ישר דרך נקודה עם שיפוע.

הטעות הנפוצה היא לערבב בין השניים: הגובה בא מ-ff, השיפוע מ-f′f'. הצבה בפונקציה הלא נכונה מקלקלת את כל הסעיף.

משיק בנקודה נתונה

מצאו את משוואת המשיק ל-f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 בנקודה שבה x0=3x_0 = 3.

y0=f(3)=27−27=0\begin{aligned}y_0 &= f(3) \\ &= 27 - 27 \\ &= 0\end{aligned}

הגובה, מ-ff

f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x

גוזרים

m=f′(3)=27−18=9\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= 27 - 18 \\ &= 9\end{aligned}

השיפוע, מ-f′f'

y−0=9(x−3)y - 0 = 9(x - 3)

ישר דרך נקודה

y=9x−27y = 9x - 27

משוואת המשיק

בדוגמה יצא y0=0y_0 = 0. האם זה אומר שגם השיפוע אפס?

להציג את התשובה והפתרון

לא. y0=0y_0 = 0 אומר שהנקודה יושבת על ציר ה-xx; השיפוע שם הוא 99. שני מספרים שונים משתי פונקציות שונות — ff ו-f′f'.

כשנתון השיפוע ומחפשים את הנקודה

השאלה מגיעה גם הפוכה: נתון שיפוע, ומבקשים איפה יש משיק בשיפוע הזה. אז פותרים משוואה f′(x)=mf'(x) = m במקום להציב.

מהשיפוע אל הנקודה

באילו נקודות המשיק לגרף y=x3y = x^3 הוא בעל שיפוע 1212?

f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

הנגזרת

3x2=12 ⇒ x2=4\begin{aligned}3x^2 &= 12 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 4\end{aligned}

משווים לשיפוע הנתון

x=2x=−2\begin{aligned}x &= 2 \quad \\ \quad x &= -2\end{aligned}

שני פתרונות

(2,8),(−2,−8)(2, 8) \quad , \quad (-2, -8)

והגבהים מ-ff

משיק מקביל לישר נתון

ניסוח נפוץ נוסף: ישרים מקבילים — שיפועים שווים. קוראים את השיפוע מהישר הנתון, וממשיכים כמו קודם.

מקביל לישר

מצאו את המשיק ל-y=x2y = x^2 המקביל לישר y=6x+1y = 6x + 1.

m=6m = 6

מקבילים — אותו שיפוע

2x=6 ⇒ x=3\begin{aligned}2x &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

משווים את הנגזרת

y0=9y_0 = 9

הגובה מ-ff

y−9=6(x−3) ⇒ y=6x−9\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

משוואת המשיק

המשיק ל-y=x3y = x^3 בנקודה (1,1)(1, 1) הוא y=3x−2y = 3x - 2. האם הוא פוגש את הגרף בנקודה נוספת?

להציג את התשובה והפתרון

כן. x3=3x−2x^3 = 3x - 2 שקול ל-(x−1)2(x+2)=0(x - 1)^2(x + 2) = 0, ולכן גם ב-x=−2x = -2. משיק נוגע בגרף בנקודת ההשקה, אבל רחוק ממנה הוא יכול לחתוך אותו. המשיק למעגל אינו המודל כאן.

שתי הטעויות של המשיק.

y0=f′(x0)y_0 = f'(x_0)
y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

הגובה בא מ-ff, השיפוע מ-f′f'. החלפה ביניהם נותנת ישר שאינו נוגע בגרף בכלל.

3x2=12 ⇒ x=2\begin{aligned}3x^2 &= 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}
3x2=12 ⇒ x=±2\begin{aligned}3x^2 &= 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

משוואה ריבועית — שני פתרונות. שכחת השני היא הפסד של חצי סעיף, גם כשכל החישוב נכון.

תרגילים

תרגיל 1

מהי משוואת המשיק ל-f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x=2x = 2?

  1. y=4xy = 4x
  2. y=4x−4y = 4x - 4
  3. y=2xy = 2x
  4. y=4x+4y = 4x + 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=4x−4y = 4x - 4

הפתרון:

y0=f(2)=4\begin{aligned}y_0 &= f(2) \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

m=f′(2)=4\begin{aligned}m &= f'(2) \\ &= 4\end{aligned}

השיפוע

y−4=4(x−2)y - 4 = 4(x - 2)

ישר דרך נקודה

y=4x−4y = 4x - 4

מסדרים

הנכונה: y=4x−4y = 4x - 4. y=2xy = 2x לוקח את f′(x)=2xf'(x) = 2x כאילו הוא המשיק; y=4xy = 4x שוכח את הנקודה. בדיקה: ב-x=2x = 2 המשיק חייב לתת 44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באילו נקודות המשיק לגרף y=x3y = x^3 הוא בעל שיפוע 1212?

  1. x=12x = 12
  2. x=2x = 2 או x=−2x = -2
  3. x=2x = 2 בלבד
  4. x=4x = 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x=2x = 2 או x=−2x = -2

הפתרון:

3x2=123x^2 = 12

משווים את הנגזרת לשיפוע

x2=4x^2 = 4

מחלקים

x=±2x = \pm 2

שני פתרונות

הנכונה: x=2x = 2 או x=−2x = -2. «x=2x = 2 בלבד» שוכח את השורש השלילי; x=4x = 4 עוצר ב-x2=4x^2 = 4; x=12x = 12 מבלבל שיפוע עם מקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו המשיק ל-y=x2y = x^2 המקביל לישר y=6x+1y = 6x + 1?

  1. y=6x+9y = 6x + 9
  2. y=2x−9y = 2x - 9
  3. y=6x−9y = 6x - 9
  4. y=6x+1y = 6x + 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=6x−9y = 6x - 9

הפתרון:

m=6m = 6

מקבילים — אותו שיפוע

2x=6 ⇒ x=3\begin{aligned}2x &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

y0=9y_0 = 9

הגובה

y−9=6(x−3) ⇒ y=6x−9\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

המשוואה

הנכונה: y=6x−9y = 6x - 9. y=6x+1y = 6x + 1 הוא הישר הנתון עצמו — הוא לא נוגע בפרבולה; y=6x+9y = 6x + 9 טועה בסימן של המספר החופשי — בדיקה ב-x=3x = 3 נותנת 2727 ולא 99.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. בכמה נקודות המשיק לגרף הוא אופקי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x - 2)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

f′(x)=0 ⇒ x=0  x=2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

משיק אופקי — שיפוע אפס

מי שמחלק ב-xx את 3x2=6x3x^2 = 6x מאבד את הפתרון x=0x = 0. מפרקים, לא מחלקים במשתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המשיק לגרף ff בנקודה שבה x=5x = 5 הוא y=3x−7y = 3x - 7. מהו f(5)f(5)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

y=3⋅5−7=8\begin{aligned}y &= 3 \cdot 5 - 7 \\ &= 8\end{aligned}

נקודת ההשקה נמצאת על המשיק

f(5)=8f′(5)=3\begin{aligned}f(5) &= 8 \\ \quad f'(5) &= 3\end{aligned}

והשיפוע נקרא מהמשוואה

נקודת ההשקה שייכת לשני הגרפים, ולכן מציבים במשוואת המשיק. −7-7 הוא החיתוך עם ציר ה-yy, לא f(5)f(5).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1. באיזה ערך yy המשיק חותך את ציר ה-yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

y0=f(1)=1−3=−2\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= 1 - 3 \\ &= -2\end{aligned}

הגובה

m=f′(1)=3−6=−3\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 3 - 6 \\ &= -3\end{aligned}

השיפוע

y+2=−3(x−1) ⇒ y=−3x+1\begin{aligned}y + 2 &= -3(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 1\end{aligned}

המשוואה

x=0 ⇒ y=1\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-yy

המלכודת בסוגריים: y−(−2)y - (-2) הוא y+2y + 2. מי שכותב y−2y - 2 מקבל y=−3x+5y = -3x + 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=(2x−1)3f(x) = (2x - 1)^3 בנקודה שבה x=1x = 1?

  1. y=6x−5y = 6x - 5
  2. y=6x+1y = 6x + 1
  3. y=6x−6y = 6x - 6
  4. y=3x−2y = 3x - 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א y=6x−5y = 6x - 5

הפתרון:

y0=f(1)=13=1\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= 1^3 \\ &= 1\end{aligned}

הגובה

f′(x)=3(2x−1)2⋅2f'(x) = 3(2x - 1)^2 \cdot 2

נגזרת של פונקציה מורכבת

m=f′(1)=6\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 6\end{aligned}

השיפוע

y−1=6(x−1) ⇒ y=6x−5\begin{aligned}y - 1 &= 6(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 6x - 5\end{aligned}

המשוואה

הנכונה: y=6x−5y = 6x - 5. y=3x−2y = 3x - 2 שוכח את הנגזרת הפנימית 22; y=6x−6y = 6x - 6 שוכח את הגובה y0=1y_0 = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המשיק לגרף f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 בנקודה שבה x=ax = a עובר דרך ראשית הצירים. מצאו את הערך החיובי של aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

y−(a2+1)=2a(x−a)y - (a^2 + 1) = 2a(x - a)

משוואת המשיק בנקודה x=ax = a

0−(a2+1)=2a(0−a)0 - (a^2 + 1) = 2a(0 - a)

מציבים את (0,0)(0, 0)

−a2−1=−2a2 ⇒ a2=1\begin{aligned}-a^2 - 1 &= -2a^2 \ \Rightarrow \ a^2 \\ &= 1\end{aligned}

מסדרים

a=1a = 1

הפתרון החיובי; יש גם a=−1a = -1

הראשית אינה נקודת ההשקה — היא נקודה על המשיק. מי שמציב x=0x = 0 בנגזרת מחפש משיק בנקודה הלא נכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: משיק לגרף של פונקציה אינו יכול לחתוך את הגרף בנקודה נוספת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=x3x0=1\begin{aligned}f(x) &= x^3 \\ \quad x_0 &= 1\end{aligned}

דוגמה נגדית

y=3x−2y = 3x - 2

המשיק: y0=1y_0 = 1, m=3m = 3

x3−3x+2=(x−1)2(x+2)=0\begin{aligned}x^3 - 3x + 2 &= (x - 1)^2(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

משווים משיק לגרף

x=−2x = -2

נקודת מפגש נוספת: (−2,−8)(-2, -8)

הטענה לא נכונה. «משיק נוגע בנקודה אחת» נכון במעגל, לא בכל גרף. משיק מוגדר על ידי השיפוע בנקודה, לא על ידי מספר נקודות המפגש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה ff גזירה, ונקודה x0x_0 שבה f′(x0)=0f'(x_0) = 0. הוכיחו שמשוואת המשיק בנקודה זו היא y=f(x0)y = f(x_0).

  • שיפוע המשיק: m=f′(x0)m = f'(x_0)
  • f′(x0)=0f'(x_0) = 0
  • משוואת ישר דרך נקודה: y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

y=f(x0)y = f(x_0)

להציג את התשובה והפתרון
  1. m=f′(x0)m = f'(x_0) — שיפוע המשיק שווה לנגזרת בנקודת ההשקה
  2. m=0m = 0 — הצבת הנתון f′(x0)=0f'(x_0) = 0
  3. y−f(x0)=0⋅(x−x0)y - f(x_0) = 0 \cdot (x - x_0) — הצבה במשוואת ישר דרך נקודה, עם y0=f(x0)y_0 = f(x_0)
  4. y−f(x0)=0y - f(x_0) = 0 — כפל באפס
  5. y=f(x0)y = f(x_0) — העברת אגף — וזהו ישר אופקי

הפתרון:

m=f′(x0)m = f'(x_0)

שיפוע המשיק שווה לנגזרת בנקודת ההשקה

m=0m = 0

הצבת הנתון f′(x0)=0f'(x_0) = 0

y−f(x0)=0⋅(x−x0)y - f(x_0) = 0 \cdot (x - x_0)

הצבה במשוואת ישר דרך נקודה, עם y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

y−f(x0)=0y - f(x_0) = 0

כפל באפס

y=f(x0)y = f(x_0)

העברת אגף — וזהו ישר אופקי

המשיק בנקודה שבה f′(x0)=0f'(x_0) = 0 הוא ישר אופקי. הטעות היא לכתוב y=0y = 0: הגובה של המשיק הוא f(x0)f(x_0), לא אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת