פותרים יחד · קצב שינוי, משיק ונגזרת · כיתה י׳

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: הגדרת הנגזרת, משיק בשיפוע נתון, פרמטר בפונקציה מורכבת, «האם ייתכן», וקצב שינוי בתנועה. כל שאלה נפתרת יחד — שלב אחרי שלב — ומחכה לכם למטה בגרסה תאומה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד — לא הקריאה.

1 — נגזרת לפי ההגדרה, ומשם משיק

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x) = x^2 - 3x$ . א. חשבו לפי ההגדרה את $f'(2)$ . ב. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה $x = 2$ .

\begin{aligned}f(x) &= x^2 - 3x \\ \quad x_0 &= 2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בסעיף א אסור להשתמש בכללי הגזירה — רק בהגדרה.

הערך בנקודה

\begin{aligned}f(2) &= 4 - 6 \\ &= -2\end{aligned}

נצטרך אותו גם במנה וגם במשוואת המשיק.

מציבים

\begin{aligned}f(2 + h) &= 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h \\ &= -2 + h + h^2\end{aligned}

פותחים בזהירות: $-3(2 + h) = -6 - 3h$ .

המנה

\begin{aligned}\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} &= \frac{h + h^2}{h} \\ &= 1 + h\end{aligned}

מחסרים $f(2) = -2$ , ומחלקים ב- $h \neq 0$ .

הגבול

h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(2) = 1

זו התשובה לסעיף א.

המשיק

\begin{aligned}y - (-2) &= 1 \cdot (x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= x - 4\end{aligned}

סעיף ב: הגובה מ- $f$ , השיפוע מ- $f'$ .

בדיקה מהירה בכללים: $f'(x) = 2x - 3$ , ו- $f'(2) = 1$ . בבגרות כותבים את דרך ההגדרה, והכללים הם רק בדיקה בטיוטה.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משיקים המקבילים לישר

פעילות אינטראקטיבית

משיקים לגרף $f(x) = x^3 - 6x + 1$

מצאו את משוואות כל המשיקים לגרף $f(x) = x^3 - 6x + 1$ המקבילים לישר $y = 6x$ .

$y = 6x - 15$ ו- $y = 6x + 17$

$y = 6x - 15$ בלבד

$y = 6x + 1$

$y = 6x - 6$ ו- $y = 6x + 18$

מה נותן המידע «מקביל לישר $y = 6x$ »?

המשיק עובר דרך הראשית

להציג את התשובה והפתרון

לא. מקביל אינו «עובר דרך». הישר $y = 6x$ עובר בראשית, המשיק לא בהכרח.

שיפוע המשיק הוא $6$

להציג את התשובה והפתרון

כן. ישרים מקבילים — שיפועים שווים.

המשיק חותך את ציר ה- $y$ ב- $6$

להציג את התשובה והפתרון

$6$ הוא המקדם של $x$ , כלומר השיפוע — לא נקודת החיתוך.

m = 6

השיפוע ידוע; הנקודה עדיין לא.

איך מוצאים את נקודות ההשקה?

פותרים $f(x) = 6$

להציג את התשובה והפתרון

זו הטעות המרכזית: $6$ הוא שיפוע, ולכן משווים את הנגזרת ל- $6$ .

פותרים $f'(x) = 6$

להציג את התשובה והפתרון

כן. $3x^2 - 6 = 6$ , ולכן $x^2 = 4$ .

מציבים $x = 6$ בנגזרת

להציג את התשובה והפתרון

$6$ אינו ערך של $x$ . הוא הערך שהנגזרת צריכה לקבל.

\begin{aligned}3x^2 - 6 &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \ \\ \ x &= -2\end{aligned}

שתי נקודות השקה.

מהם הגבהים של נקודות ההשקה?

$f(2) = -3$ ו- $f(-2) = 5$

להציג את התשובה והפתרון

כן: $8 - 12 + 1 = -3$ ו- $-8 + 12 + 1 = 5$ .

$f'(2) = 6$ ו- $f'(-2) = 6$

להציג את התשובה והפתרון

אלה השיפועים — שווים, כמובן. הגובה בא מ- $f$ .

(2, -3) \quad , \quad (-2, 5)

עכשיו יש נקודה ושיפוע לכל משיק.

ומשוואות המשיקים?

להציג את התשובה והפתרון

כן: $y + 3 = 6(x - 2)$ ו- $y - 5 = 6(x + 2)$ .

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את $x = -2$ . משוואה ריבועית נתנה שתי נקודות — ושני משיקים.

\begin{aligned}y &= 6x - 15 \quad \\ \quad y &= 6x + 17\end{aligned}

שני משיקים מקבילים זה לזה ולישר הנתון.

להציג את התשובה והפתרון

$y = 6x - 15$ ו- $y = 6x + 17$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם הישר $y = 6x$ עצמו משיק לגרף?

להציג את התשובה והפתרון

לא. המשיקים בשיפוע $6$ הם רק $y = 6x - 15$ ו- $y = 6x + 17$ . לישר $y = 6x$ יש אותו שיפוע, אבל הוא לא עובר באף נקודת השקה.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטר בפונקציה מורכבת

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x) = (x^2 - a)^2$ . א. ידוע שהמשיק בנקודה שבה $x = 1$ אופקי. מצאו את $a$ . ב. עבור $a$ שמצאתם, מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה $x = 2$ .

\begin{aligned}f(x) &= (x^2 - a)^2 \\ \quad f'(1) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». «משיק אופקי» הוא משפט על הנגזרת.

גוזרים

\begin{aligned}f'(x) &= 2(x^2 - a) \cdot 2x \\ &= 4x(x^2 - a)\end{aligned}

פונקציה מורכבת: חיצונית $u^2$ , פנימית $x^2 - a$ . הפרמטר $a$ הוא מספר.

אופקי

\begin{aligned}f'(1) &= 4(1 - a) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

סעיף א.

הגובה

\begin{aligned}f(2) &= (4 - 1)^2 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים ב- $f$ , עם $a = 1$ .

השיפוע

\begin{aligned}f'(2) &= 8 \cdot (4 - 1) \\ &= 24\end{aligned}

מציבים בנגזרת.

המשיק

\begin{aligned}y - 9 &= 24(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 24x - 39\end{aligned}

סעיף ב.

מי ששוכח את הכופל $2x$ מקבל $f'(1) = 2(1 - a)$ — ובמקרה גם כאן $a = 1$ . אבל בסעיף ב הטעות כבר עולה: שיפוע $6$ במקום $24$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «האם ייתכן?»

פעילות אינטראקטיבית

האם ייתכן משיק בשיפוע $2$ ?

נתונה $f(x) = x^3 + 3x$ . האם ייתכן שלגרף יש משיק ששיפועו $2$ ? נמקו.

לא — לכל $x$ מתקיים $f'(x) \geq 3$

כן — ב- $x = -\frac{1}{3}$

כן — כי הפונקציה עולה

אי אפשר לדעת בלי שרטוט

מאיזה ביטוי קוראים את כל השיפועים האפשריים?

מ- $f(x)$

להציג את התשובה והפתרון

$f(x)$ נותן גבהים. השיפועים הם הערכים של $f'$ .

מ- $f'(x)$

להציג את התשובה והפתרון

כן. כל שיפוע של משיק הוא ערך של הנגזרת בנקודה כלשהי.

f'(x) = 3x^2 + 3

השאלה הופכת ל: האם $f'(x) = 2$ יש לה פתרון?

מה קורה כשפותרים $3x^2 + 3 = 2$ ?

$x^2 = -\frac{1}{3}$ — אין פתרון

להציג את התשובה והפתרון

כן. ריבוע אינו שלילי.

$x = -\frac{1}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

זה שכח את הריבוע: $3x + 3 = 2$ אינה המשוואה.

\begin{aligned}3x^2 &= -1 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

אין $x$ ממשי כזה.

איך מנסחים נימוק שלם?

«ניסיתי כמה ערכים ולא יצא $2$ »

להציג את התשובה והפתרון

ניסוי אינו הוכחה: אולי לא ניסיתם את הערך הנכון.

«לכל $x$ : $3x^2 \geq 0$ , ולכן $f'(x) \geq 3 > 2$ »

להציג את התשובה והפתרון

כן. טענה על כל $x$ — וזו הוכחה.

f'(x) = 3x^2 + 3 \geq 3 > 2

השיפוע הקטן ביותר הוא $3$ , ב- $x = 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

לא ייתכן. לכל $x$ מתקיים $f'(x) = 3x^2 + 3 \geq 3$ , ולכן אין משיק ששיפועו $2$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

ומה עם שיפוע $3$ ? ושיפוע $15$ ?

להציג את התשובה והפתרון

שיפוע $3$ — יש, משיק אחד, ב- $x = 0$ . שיפוע $15$ — יש שניים: $3x^2 + 3 = 15$ נותן $x = \pm 2$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — קצב ממוצע וקצב רגעי בתנועה

פעילות אינטראקטיבית

כדור נזרק כלפי מעלה. גובהו במטרים אחרי $t$ שניות הוא $h(t) = 20t - 5t^2$ . א. מהי המהירות הממוצעת בין $t = 1$ ל- $t = 3$ ? ב. מהי המהירות ברגע $t = 1$ ? ג. באיזה רגע מהירות הכדור מתאפסת?

h(t) = 20t - 5t^2

לחצו «להתחיל». ממוצע — מיתר. ברגע — נגזרת.

גבהים

\begin{aligned}h(1) &= 15 \ \\ \ h(3) &= 60 - 45 \\ &= 15\end{aligned}

באותו גובה בשני הרגעים: פעם בעלייה, פעם בירידה.

ממוצע

\begin{aligned}\frac{h(3) - h(1)}{3 - 1} &= \frac{0}{2} \\ &= 0\end{aligned}

סעיף א: $0$ מטר לשנייה — אף שהכדור לא עמד לרגע.

נגזרת

h'(t) = 20 - 10t

המהירות הרגעית היא הנגזרת של הגובה.

ברגע

h'(1) = 10

סעיף ב: $10$ מטר לשנייה, כלפי מעלה.

אפס

\begin{aligned}h'(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

סעיף ג: ב- $t = 2$ המהירות מתאפסת והמשיק לגרף הגובה אופקי — הכדור מפסיק לעלות ומתחיל לרדת.

סעיף א ממחיש את ההבדל: קצב ממוצע אפס אינו עמידה במקום. הוא אומר רק שחזרנו לאותו גובה.

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x) = x^2 + x$ . חשבו לפי ההגדרה את $f'(1)$ , ומצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה $x = 1$ . מהו המספר החופשי במשוואת המשיק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f(1) = 2

הערך בנקודה

\begin{aligned}f(1 + h) &= 1 + 2h + h^2 + 1 + h \\ &= 2 + 3h + h^2\end{aligned}

מציבים

\frac{3h + h^2}{h} = 3 + h \ \to \ 3

מחסרים, מחלקים, משאיפים

\begin{aligned}y - 2 &= 3(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x - 1\end{aligned}

המשיק

המספר החופשי הוא $-1$ , לא $2$ : $2$ הוא הגובה של נקודת ההשקה, והוא נכנס למשוואה יחד עם $-3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את כל המשיקים לגרף $f(x) = x^3 - 3x$ המקבילים לישר $y = 9x + 2$ .

$y = 9x - 16$ בלבד
$y = 9x - 9$ ו- $y = 9x + 27$
$y = 9x - 16$ ו- $y = 9x + 16$
$y = 9x + 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y = 9x - 16$ ו- $y = 9x + 16$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

משווים את הנגזרת לשיפוע $9$

\begin{aligned}f(2) &= 2 \ \\ \ f(-2) &= -2\end{aligned}

הגבהים מ- $f$

\begin{aligned}y - 2 &= 9(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 9x - 16\end{aligned}

המשיק הראשון

\begin{aligned}y + 2 &= 9(x + 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 9x + 16\end{aligned}

המשיק השני

הנכונה: $y = 9x - 16$ ו- $y = 9x + 16$ . «בלבד» שוכח את $x = -2$ ; $y = 9x - 9$ ו- $y = 9x + 27$ לוקחים את הגובה מ- $f'$ במקום מ- $f$ ; $y = 9x + 2$ הוא הישר הנתון עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x) = x(x - a)^2$ , כאשר $a > 3$ . ידוע שהמשיק לגרף בנקודה שבה $x = 3$ אופקי. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

f'(x) = (x - a)^2 + x \cdot 2(x - a)

כלל המכפלה, ובתוכו פונקציה מורכבת

f'(x) = (x - a)(3x - a)

גורם משותף $x - a$

\begin{aligned}f'(3) &= (3 - a)(9 - a) \\ &= 0\end{aligned}

משיק אופקי

\begin{aligned}a &= 3 \ \text{או} \ a \\ &= 9 \ \Rightarrow \ a \\ &= 9\end{aligned}

התנאי $a > 3$ בוחר

שני פתרונות למשוואה, ורק אחד עומד בתנאי. מי ששוכח את האיבר $(x - a)^2$ של כלל המכפלה מקבל $f'(3) = 6(3 - a)$ — ומפספס את $a = 9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף $f(x) = x^3 - 12x$ יש משיק ששיפועו $-15$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f'(x) = 3x^2 - 12

כל שיפוע הוא ערך של הנגזרת

3x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ f'(x) \geq -12

לכל $x$

-15 < -12

ולכן אין $x$ שבו $f'(x) = -15$

הטענה לא נכונה. השיפוע הקטן ביותר של הגרף הוא $-12$ , ב- $x = 0$ . מי שפותר $f(x) = -15$ מחפש גובה ולא שיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מקומו של גוף במטרים אחרי $t$ שניות הוא $s(t) = 3t^2 + 2t$ . מהי מהירותו ברגע $t = 4$ , במטרים לשנייה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26

הפתרון:

s'(t) = 6t + 2

המהירות הרגעית היא הנגזרת

s'(4) = 26

מציבים

המהירות הממוצעת בארבע השניות הראשונות היא $\frac{s(4) - s(0)}{4} = \frac{56}{4} = 14$ — מספר אחר. ברגע — נגזרת; בקטע — מיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — נגזרת לפי ההגדרה, ומשם משיק

2 — משיקים המקבילים לישר

3 — פרמטר בפונקציה מורכבת

4 — «האם ייתכן?»

5 — קצב ממוצע וקצב רגעי בתנועה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev