סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: קצב שינוי ממוצע, מדרגות, כללי הגזירה, שיפוע משיק ומשוואת משיק. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים גובה (ff), שיפוע (f′f') או קצב בקטע (מיתר)? רוב הטעויות בסדרה הזאת הן בחירה בפונקציה הלא נכונה.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את קצב השינוי הממוצע של f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 בקטע [0,3][0, 3].

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(3)=10f(0)=1\begin{aligned}f(3) &= 10 \\ \quad f(0) &= 1\end{aligned}

הערכים בקצוות

10−13−0=3\frac{10 - 1}{3 - 0} = 3

שינוי ב-yy חלקי שינוי ב-xx

מי שמחלק f(3)3=103\frac{f(3)}{3} = \frac{10}{3} שוכח לחסר את נקודת ההתחלה. קצב הוא שינוי חלקי שינוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גזרו: f(x)=7x3f(x) = 7x^3

  1. 21x321x^3
  2. 21x221x^2
  3. 7x27x^2
  4. 10x210x^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 21x221x^2

הפתרון:

(7x3)′=7⋅3x2(7x^3)' = 7 \cdot 3x^2

מקדם כפול כלל החזקה

=21x2= 21x^2

מכפילים

הנכונה: 21x221x^2. 7x27x^2 לא הוריד את ה-33; 21x321x^3 לא הקטין את החזקה; 10x210x^2 חיבר 7+37 + 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x2−5xf(x) = x^2 - 5x. חשבו את f′(4)f'(4).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5

גוזרים איבר-איבר

f′(4)=8−5=3\begin{aligned}f'(4) &= 8 - 5 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

f(4)=−4f(4) = -4 הוא הגובה; f′(4)=3f'(4) = 3 הוא השיפוע. קודם גוזרים, אחר כך מציבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הנגזרת של הפונקציה f(x)=9f(x) = 9 היא 99.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x+h)−f(x)=9−9=0\begin{aligned}f(x + h) - f(x) &= 9 - 9 \\ &= 0\end{aligned}

לפי ההגדרה

f′(x)=0f'(x) = 0

קו אופקי — שיפוע אפס

לא נכון. פונקציה קבועה היא קו אופקי, ונגזרתה 00 — לא משנה מהו הקבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

  • x5x^5
  • 4x4x
  • x2+3x^2 + 3
  • 3x23x^2
  • 2x2x
  • 44
  • 5x45x^4
  • 6x6x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x5x^5 — 5x45x^4 · 4x4x — 44 · x2+3x^2 + 3 — 2x2x · 3x23x^2 — 6x6x

הפתרון:

(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}

כלל החזקה

(x2+3)′=2x+0(x^2 + 3)' = 2x + 0

הקבוע נעלם

ל-x2+3x^2 + 3 ול-x2x^2 אותה נגזרת: הקבוע מזיז את הגרף, לא מטה אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו שיפוע המשיק לגרף f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x בנקודה שבה x=1x = 1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^2 - 2

גוזרים

f′(1)=3−2=1\begin{aligned}f'(1) &= 3 - 2 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

הגובה f(1)=−1f(1) = -1 שלילי, אבל השיפוע חיובי. שיפוע המשיק = הנגזרת בנקודה, לא ערך הפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 בנקודה שבה x=1x = 1?

  1. y=2xy = 2x
  2. y=2x+3y = 2x + 3
  3. y=3x−1y = 3x - 1
  4. y=2x+1y = 2x + 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד y=2x+1y = 2x + 1

הפתרון:

y0=f(1)=3\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= 3\end{aligned}

הגובה

m=f′(1)=2\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

y−3=2(x−1) ⇒ y=2x+1\begin{aligned}y - 3 &= 2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x + 1\end{aligned}

ישר דרך נקודה

הנכונה: y=2x+1y = 2x + 1. y=3x−1y = 3x - 1 מחליף בין הגובה לשיפוע; y=2x+3y = 2x + 3 שם את הגובה 33 במקום המספר החופשי. בדיקה: ב-x=1x = 1 חייב לצאת 33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מיינו: בכל נתון, האם הגרף של ff עולה או יורד בנקודה?

  • הגרף עולה בנקודה
  • הגרף יורד בנקודה
  • f′(−2)=−3f'(-2) = -3
  • f′(1)=−0.5f'(1) = -0.5
  • f′(1)=4f'(1) = 4
  • f′(3)=7f'(3) = 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′(1)=4f'(1) = 4 — הגרף עולה בנקודה · f′(1)=−0.5f'(1) = -0.5 — הגרף יורד בנקודה · f′(3)=7f'(3) = 7 — הגרף עולה בנקודה · f′(−2)=−3f'(-2) = -3 — הגרף יורד בנקודה

הפתרון:

f′(x0)>0f'(x_0) > 0

שיפוע חיובי — עולה

f′(x0)<0f'(x_0) < 0

שיפוע שלילי — יורד

הסימן של הנגזרת קובע את הכיוון. f′(−2)=−3f'(-2) = -3 יורד בגלל −3-3, לא בגלל x=−2x = -2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

על הגרף של f(x)=x2f(x) = x^2 בונים מדרגה שמתחילה ב-x=1x = 1 ורוחבה 0.50.5. מהו קצב השינוי במדרגה? כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

f(1.5)=2.25f(1)=1\begin{aligned}f(1.5) &= 2.25 \\ \quad f(1) &= 1\end{aligned}

קצות המדרגה

2.25−10.5=1.250.5=2.5\begin{aligned}\frac{2.25 - 1}{0.5} &= \frac{1.25}{0.5} \\ &= 2.5\end{aligned}

גובה המדרגה חלקי הרוחב

1.251.25 הוא הגובה של המדרגה. הקצב הוא הגובה חלקי הרוחב — ומדרגה צרה יותר הייתה מתקרבת ל-f′(1)=2f'(1) = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גזרו: f(x)=(x+5)2f(x) = (x + 5)^2

  1. 2(x+5)2(x + 5)
  2. x+5x + 5
  3. 2x2x
  4. 2x+52x + 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 2(x+5)2(x + 5)

הפתרון:

2(x+5)⋅(x+5)′2(x + 5) \cdot (x + 5)'

חיצונית כפול פנימית

(x+5)′=1 ⇒ 2(x+5)(x + 5)' = 1 \ \Rightarrow \ 2(x + 5)

הנגזרת הפנימית היא 11

(x2+10x+25)′=2x+10(x^2 + 10x + 25)' = 2x + 10

בדיקה בפתיחת סוגריים

הנכונה: 2(x+5)2(x + 5), כלומר 2x+102x + 10. 2x2x גוזר רק את x2x^2 ושוכח את 10x10x; 2x+52x + 5 מערבב בין הביטויים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת