סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בינוניות: נגזרת לפי ההגדרה, כלל המכפלה ופונקציה מורכבת, משוואת משיק, קריאת הסימן של f′f' מתוך גרף, וקצב ממוצע בתנועה.

בשאלות משיק כתבו שלוש שורות נפרדות: y0=f(x0)y_0 = f(x_0), m=f′(x0)m = f'(x_0), ורק אז המשוואה. מי שמדלג על השורה הראשונה מחליף בין ff ל-f′f'.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=3x2f(x) = 3x^2. חשבו לפי ההגדרה את f′(−1)f'(-1).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6

הפתרון:

f(−1+h)=3(1−2h+h2)=3−6h+3h2\begin{aligned}f(-1 + h) &= 3(1 - 2h + h^2) \\ &= 3 - 6h + 3h^2\end{aligned}

מציבים ופותחים

3−6h+3h2−3h=−6+3h\frac{3 - 6h + 3h^2 - 3}{h} = -6 + 3h

מחסרים f(−1)=3f(-1) = 3 ומחלקים

h→0 ⇒ f′(−1)=−6h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(-1) = -6

משאיפים

המלכודת היא (−1+h)2=1+2h+h2(-1 + h)^2 = 1 + 2h + h^2. הסימן של 2h2h שלילי, ובלעדיו יוצא +6+6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=(x−2)(x2+x)f(x) = (x - 2)(x^2 + x). חשבו את f′(1)f'(1).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f′(x)=1⋅(x2+x)+(x−2)(2x+1)f'(x) = 1 \cdot (x^2 + x) + (x - 2)(2x + 1)

כלל המכפלה

f′(1)=2+(−1)⋅3=−1\begin{aligned}f'(1) &= 2 + (-1) \cdot 3 \\ &= -1\end{aligned}

מציבים

הניחוש f′⋅g′=1⋅(2x+1)f' \cdot g' = 1 \cdot (2x + 1) נותן 33 — אפילו הסימן שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

גזרו: f(x)=(4x−3)2f(x) = (4x - 3)^2

  1. 2(4x−3)2(4x - 3)
  2. 16x−316x - 3
  3. 8x8x
  4. 8(4x−3)8(4x - 3)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 8(4x−3)8(4x - 3)

הפתרון:

2(4x−3)⋅42(4x - 3) \cdot 4

חיצונית כפול פנימית

=8(4x−3)=32x−24= 8(4x - 3) = 32x - 24

מכפילים

(16x2−24x+9)′=32x−24(16x^2 - 24x + 9)' = 32x - 24

בדיקה בפתיחה

הנכונה: 8(4x−3)8(4x - 3). 2(4x−3)2(4x - 3) שוכח את נגזרת הפנימית 44; 8x8x ו-16x−316x - 3 גוזרים את הפנימית בתוך הסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x בנקודה שבה x=2x = 2. באיזה ערך yy המשיק חותך את ציר ה-yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -16

הפתרון:

y0=f(2)=6m=f′(2)=12−1=11\begin{aligned}y_0 &= f(2) \\ &= 6 \\ \quad m &= f'(2) \\ &= 12 - 1 \\ &= 11\end{aligned}

גובה ושיפוע

y−6=11(x−2) ⇒ y=11x−16\begin{aligned}y - 6 &= 11(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 11x - 16\end{aligned}

המשוואה

x=0 ⇒ y=−16\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -16\end{aligned}

החיתוך

החיתוך עם ציר ה-yy של המשיק הוא −16-16; של הגרף הוא f(0)=0f(0) = 0. שני ישרים שונים, שתי נקודות שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5. השלימו.

המשיק לגרף אופקי בנקודה שבה x=x = ____, והגובה של נקודת ההשקה הוא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המשיק לגרף אופקי בנקודה שבה x=x = 3, והגובה של נקודת ההשקה הוא -4.

הפתרון:

f′(x)=2x−6=0 ⇒ x=3\begin{aligned}f'(x) &= 2x - 6 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

משיק אופקי

f(3)=9−18+5=−4\begin{aligned}f(3) &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

הגובה מ-ff

מי שפותר f(x)=0f(x) = 0 מקבל x=1x = 1 ו-x=5x = 5 — החיתוכים עם הציר, לא המשיק האופקי. והגובה הוא f(3)f(3), לא f′(3)=0f'(3) = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בחישוב משוואת המשיק ל-f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x בנקודה שבה x=1x = 1 יש שורה שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=2x+3f'(x) = 2x + 3
m=f′(1)=5\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 5\end{aligned}
y0=f′(1)=5\begin{aligned}y_0 &= f'(1) \\ &= 5\end{aligned}
y−5=5(x−1)y - 5 = 5(x - 1)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y0=f′(1)=5y_0 = f'(1) = 5 → y0=f(1)=4y_0 = f(1) = 4

הפתרון:

y0=f(1)=1+3=4\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= 1 + 3 \\ &= 4\end{aligned}

הגובה בא מ-ff

y−4=5(x−1) ⇒ y=5x−1\begin{aligned}y - 4 &= 5(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 5x - 1\end{aligned}

המשיק הנכון

הגובה נלקח מהנגזרת. הישר y=5xy = 5x שיוצא מזה מקביל למשיק אבל לא נוגע בגרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מכונית נוסעת כך שהמרחק שעברה בק״מ אחרי tt שעות הוא s(t)=t2+4ts(t) = t^2 + 4t. מהי המהירות הממוצעת שלה בין t=1t = 1 ל-t=3t = 3, בקמ״ש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

s(3)=21s(1)=5\begin{aligned}s(3) &= 21 \\ \quad s(1) &= 5\end{aligned}

המרחקים

21−53−1=8\frac{21 - 5}{3 - 1} = 8

קמ״ש

מהירות ממוצעת היא מיתר, לא נגזרת. s′(2)=8s'(2) = 8 יוצא כאן אותו מספר — כי בפרבולה המיתר מקביל למשיק באמצע הקטע. ב-s′(3)=10s'(3) = 10 או ב-s′(1)=6s'(1) = 6 זה כבר לא עובד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x. סדרו את הנקודות לפי שיפוע המשיק בהן, מהקטן אל הגדול.

  • x=0x = 0
  • x=1x = 1
  • x=3x = 3
  • x=5x = 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=0x = 0 · x=1x = 1 · x=3x = 3 · x=5x = 5

הפתרון:

f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4

הנגזרת

f′(0)=−4 f′(1)=−2 f′(3)=2 f′(5)=6\begin{aligned}f'(0) &= -4 \\ \ f'(1) &= -2 \\ \ f'(3) &= 2 \\ \ f'(5) &= 6\end{aligned}

מציבים

הסדר של השיפועים כאן הוא סדר ה-xx, כי f′f' עולה. גובה הנקודות מסודר אחרת: f(0)=0>f(1)=−3f(0) = 0 > f(1) = -3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: אם לשתי פונקציות אותה נגזרת בכל נקודה, אז הן אותה פונקציה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=x2g(x)=x2+1\begin{aligned}f(x) &= x^2 \\ \quad g(x) &= x^2 + 1\end{aligned}

דוגמה נגדית

f′(x)=g′(x)=2x\begin{aligned}f'(x) &= g'(x) \\ &= 2x\end{aligned}

אותה נגזרת

f(0)=0≠1=g(0)\begin{aligned}f(0) &= 0 \neq 1 \\ &= g(0)\end{aligned}

פונקציות שונות

הטענה לא נכונה. נגזרות שוות אומרות שהשיפועים שווים — הגרפים יכולים להיות מוזזים זה מזה למעלה או למטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הגרף של f
(1, 4)-2-101234-5-4-3-2-112345xy

לפניכם הגרף של ff. איזה תיאור מתאים לגרף של f′f'?

  1. מתאפסת ב-x=−1x = -1 וב-x=3x = 3
  2. חיובית כש-x<1x < 1, מתאפסת ב-x=1x = 1 ושלילית כש-x>1x > 1
  3. שלילית כש-x<1x < 1 וחיובית כש-x>1x > 1
  4. חיובית בכל התחום −1<x<3-1 < x < 3, כי שם ff חיובית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב חיובית כש-x<1x < 1, מתאפסת ב-x=1x = 1 ושלילית כש-x>1x > 1

הפתרון:

x<1 ⇒ f↗ ⇒ f′>0x < 1 \ \Rightarrow \ f \nearrow \ \Rightarrow \ f' > 0

משמאל לקדקוד הגרף עולה

x=1 ⇒ f′(1)=0\begin{aligned}x &= 1 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 0\end{aligned}

בקדקוד המשיק אופקי

x>1 ⇒ f↘ ⇒ f′<0x > 1 \ \Rightarrow \ f \searrow \ \Rightarrow \ f' < 0

מימין הגרף יורד

הנכון: «חיובית כש-x<1x < 1, מתאפסת ב-x=1x = 1 ושלילית כש-x>1x > 1». «מתאפסת ב-−1-1 וב-33» מבלבל בין אפסים של ff לאפסים של f′f'; «חיובית כי ff חיובית» מבלבל גובה בשיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת