סדרה 3 — מאתגר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות מאתגרות: פרמטרים, שני כללי גזירה באותו ביטוי, משיקים המקבילים לישר, והוכחה «לכל bb».

כשיש פרמטר, כתבו במילים על מה התנאי: על ff (נקודה על הגרף) או על f′f' (שיפוע, משיק אופקי, מקביל). משם המשוואה כותבת את עצמה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x3f(x) = x^3. חשבו לפי ההגדרה את f′(−1)f'(-1).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

(−1+h)3=−1+3h−3h2+h3(-1 + h)^3 = -1 + 3h - 3h^2 + h^3

פותחים

−1+3h−3h2+h3−(−1)h=3−3h+h2\frac{-1 + 3h - 3h^2 + h^3 - (-1)}{h} = 3 - 3h + h^2

מחסרים f(−1)=−1f(-1) = -1 ומחלקים

h→0 ⇒ f′(−1)=3h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(-1) = 3

משאיפים

שתי מלכודות סימן: −(−1)-(-1) הוא +1+1, ו-f′(−1)f'(-1) חיובי אף ש-f(−1)f(-1) שלילי — x3x^3 עולה בכל מקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x3+ax2f(x) = x^3 + ax^2, כאשר aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x = 2 אופקי. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f′(x)=3x2+2axf'(x) = 3x^2 + 2ax

aa הוא מקדם קבוע

f′(2)=12+4a=0\begin{aligned}f'(2) &= 12 + 4a \\ &= 0\end{aligned}

משיק אופקי

a=−3a = -3

פותרים

«משיק אופקי» הוא תנאי על f′f'. מי שמציב ב-ff פותר 8+4a=08 + 4a = 0 ומקבל a=−2a = -2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x2(x−3)3f(x) = x^2(x - 3)^3. חשבו את f′(2)f'(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f′(x)=2x(x−3)3+x2⋅3(x−3)2f'(x) = 2x(x - 3)^3 + x^2 \cdot 3(x - 3)^2

כלל המכפלה, ובתוכו פונקציה מורכבת

f′(2)=4⋅(−1)+4⋅3⋅1=8\begin{aligned}f'(2) &= 4 \cdot (-1) + 4 \cdot 3 \cdot 1 \\ &= 8\end{aligned}

מציבים

(x−3)3(x - 3)^3 ב-x=2x = 2 שווה −1-1, אבל (x−3)2(x - 3)^2 שווה +1+1. הסימן תלוי בחזקה — מציבים בכל גורם בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=(x2−3)2f(x) = (x^2 - 3)^2 בנקודה שבה x=−1x = -1?

  1. y=8x+12y = 8x + 12
  2. y=−8x−4y = -8x - 4
  3. y=−4xy = -4x
  4. y=8x−4y = 8x - 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א y=8x+12y = 8x + 12

הפתרון:

y0=f(−1)=(1−3)2=4\begin{aligned}y_0 &= f(-1) \\ &= (1 - 3)^2 \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

f′(x)=2(x2−3)⋅2x=4x(x2−3)\begin{aligned}f'(x) &= 2(x^2 - 3) \cdot 2x \\ &= 4x(x^2 - 3)\end{aligned}

פונקציה מורכבת

m=f′(−1)=−4⋅(−2)=8\begin{aligned}m &= f'(-1) \\ &= -4 \cdot (-2) \\ &= 8\end{aligned}

השיפוע

y−4=8(x+1) ⇒ y=8x+12\begin{aligned}y - 4 &= 8(x + 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 8x + 12\end{aligned}

המשוואה

הנכונה: y=8x+12y = 8x + 12. y=−4xy = -4x שוכח את נגזרת הפנימית 2x2x; y=8x−4y = 8x - 4 כותב x−1x - 1 במקום x−(−1)x - (-1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לגרף f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 יש שני משיקים המקבילים לישר y=9x+1y = 9x + 1. מהו סכום שיעורי ה-yy של שתי נקודות ההשקה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

3x2−6x=9 ⇒ x2−2x−3=0\begin{aligned}3x^2 - 6x &= 9 \ \Rightarrow \ x^2 - 2x - 3 \\ &= 0\end{aligned}

משווים את הנגזרת לשיפוע 99

x=3  x=−1\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -1\end{aligned}

שתי נקודות השקה

f(3)=2  f(−1)=−2\begin{aligned}f(3) &= 2 \ \\ \ f(-1) &= -2\end{aligned}

הגבהים מ-ff

2+(−2)=02 + (-2) = 0

הסכום

הגבהים באים מ-ff. מי שמציב בנגזרת מקבל 9+9=189 + 9 = 18 — כי בנקודות האלה הנגזרת שווה 99 בהגדרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: לכל ערך של bb, לגרף f(x)=x2+bxf(x) = x^2 + bx יש בדיוק משיק אופקי אחד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=2x+bf'(x) = 2x + b

הנגזרת

2x+b=0 ⇒ x=−b2\begin{aligned}2x + b &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -\frac{b}{2}\end{aligned}

פתרון יחיד לכל bb

y=f(−b2)y = f\left(-\frac{b}{2}\right)

המשיק האופקי היחיד — בקדקוד

הטענה נכונה, ולכן צריך נימוק לכל bb — לא דוגמה. f′f' ישר שאינו אופקי, ולכן מתאפס בדיוק פעם אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו לכל פונקציה את הנקודות שבהן המשיק לגרף שלה אופקי.

  • x2−6xx^2 - 6x
  • (x+2)3(x + 2)^3
  • x3−12xx^3 - 12x
  • 5x+15x + 1
  • x=−2x = -2
  • x=2x = 2 ו-x=−2x = -2
  • x=3x = 3
  • אין נקודה כזו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x2−6xx^2 - 6x — x=3x = 3 · (x+2)3(x + 2)^3 — x=−2x = -2 · x3−12xx^3 - 12x — x=2x = 2 ו-x=−2x = -2 · 5x+15x + 1 — אין נקודה כזו

הפתרון:

(x2−6x)′=2x−6(x^2 - 6x)' = 2x - 6

מתאפסת ב-33

[(x+2)3]′=3(x+2)2\left[(x + 2)^3\right]' = 3(x + 2)^2

מתאפסת ב-−2-2

(x3−12x)′=3x2−12(x^3 - 12x)' = 3x^2 - 12

מתאפסת ב-±2\pm 2

(5x+1)′=5≠0(5x + 1)' = 5 \neq 0

ישר — שיפוע קבוע

לישר 5x+15x + 1 אין משיק אופקי: השיפוע שלו 55 בכל נקודה. ו-(x2−6x)(x^2 - 6x) מתאפסת ב-00 וב-66 — אפסים של ff, לא של f′f'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בחישוב f′(1)f'(1) עבור f(x)=x(2x+1)2f(x) = x(2x + 1)^2 יש שורה שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=(2x+1)2+x⋅2(2x+1)f'(x) = (2x + 1)^2 + x \cdot 2(2x + 1)
f′(1)=9+6=15\begin{aligned}f'(1) &= 9 + 6 \\ &= 15\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′(x)=(2x+1)2+x⋅2(2x+1)f'(x) = (2x + 1)^2 + x \cdot 2(2x + 1) → f′(x)=(2x+1)2+x⋅2(2x+1)⋅2f'(x) = (2x + 1)^2 + x \cdot 2(2x + 1) \cdot 2

הפתרון:

f′(x)=(2x+1)2+x⋅2(2x+1)⋅2f'(x) = (2x + 1)^2 + x \cdot 2(2x + 1) \cdot 2

הנגזרת של (2x+1)2(2x + 1)^2 כוללת את הכופל 22

f′(1)=9+12=21\begin{aligned}f'(1) &= 9 + 12 \\ &= 21\end{aligned}

הערך הנכון

כלל המכפלה נכתב נכון, אבל בתוכו נשכחה הנגזרת הפנימית. השורה השנייה מחשבת נכון את מה שקיבלה — הטעות בשורה הראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הטמפרטורה במעלות אחרי tt שעות מהזריחה היא T(t)=−t2+8t+10T(t) = -t^2 + 8t + 10. מהו קצב השינוי הרגעי של הטמפרטורה ב-t=6t = 6, במעלות לשעה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

T′(t)=−2t+8T'(t) = -2t + 8

הקצב הרגעי הוא הנגזרת

T′(6)=−12+8=−4\begin{aligned}T'(6) &= -12 + 8 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים

הטמפרטורה עצמה ב-t=6t = 6 היא 2222 מעלות — חמה. אבל הקצב שלילי: היא כבר מתקררת. ערך גבוה אינו קצב חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x. קצב השינוי הממוצע של ff בקטע [1,1+h][1, 1 + h] שווה 77. מצאו את hh.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f(1+h)−f(1)h=2h+h2+3hh=5+h\begin{aligned}\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} &= \frac{2h + h^2 + 3h}{h} \\ &= 5 + h\end{aligned}

המנה

5+h=7 ⇒ h=2\begin{aligned}5 + h &= 7 \ \Rightarrow \ h \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

כאן לא משאיפים את hh לאפס: שואלים על מיתר מסוים, לא על משיק. f′(1)=5f'(1) = 5 הוא הגבול, ולא התשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת