סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות מתקדמות: הוכחה מתוך ההגדרה, כלל הפונקציה המורכבת על פונקציה שאינה נתונה, משיק מנקודה שמחוץ לגרף, וגרף של f′f' שצריך לקרוא נכון.

בשאלה עם גרף — קראו קודם את הכותרת: האם מצויר ff או f′f'? אותו ציור אומר דברים הפוכים בשני המקרים.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x3f(x) = x^3. הוכיחו מתוך הגדרת הנגזרת ש-f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2.

  • f(x)=x3f(x) = x^3
  • f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

להציג את התשובה והפתרון
  1. (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 — פתיחת סוגריים
  2. f(x+h)−f(x)=3x2h+3xh2+h3f(x+h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 — חיסור x3x^3
  3. f(x+h)−f(x)h=3x2+3xh+h2\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 — חלוקה ב-h≠0h \neq 0
  4. f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2 — כש-h→0h \to 0 שני האיברים עם hh שואפים לאפס

הפתרון:

(x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3

פתיחת סוגריים

f(x+h)−f(x)=3x2h+3xh2+h3f(x+h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3

חיסור x3x^3

f(x+h)−f(x)h=3x2+3xh+h2\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2

חלוקה ב-h≠0h \neq 0

f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

כש-h→0h \to 0 שני האיברים עם hh שואפים לאפס

המלכודת היא (x+h)3=x3+h3(x + h)^3 = x^3 + h^3. בלי האיבר 3x2h3x^2h המנה שואפת ל-00, והנגזרת «נעלמת».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=a(x−1)3+2xf(x) = a(x - 1)^3 + 2x, כאשר aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x = 2 מקביל לישר y=8x−5y = 8x - 5. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=3a(x−1)2+2f'(x) = 3a(x - 1)^2 + 2

פונקציה מורכבת עם מקדם aa

f′(2)=3a+2f'(2) = 3a + 2

מציבים

3a+2=8 ⇒ a=2\begin{aligned}3a + 2 &= 8 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

מקביל — שיפוע 88

−5-5 אינו חלק מהתנאי: מקבילות קובעת רק את השיפוע. מי שמשווה f(2)=−5f(2) = -5 פותר משוואה אחרת לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון: g(1)=2g(1) = 2 ו-g′(1)=3g'(1) = 3. נגדיר f(x)=[g(x)]3f(x) = [g(x)]^3. מהו f′(1)f'(1)?

  1. 99
  2. 3636
  3. 2727
  4. 1212
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 3636

הפתרון:

f′(x)=3[g(x)]2⋅g′(x)f'(x) = 3[g(x)]^2 \cdot g'(x)

חיצונית u3u^3, פנימית gg

f′(1)=3⋅22⋅3=36\begin{aligned}f'(1) &= 3 \cdot 2^2 \cdot 3 \\ &= 36\end{aligned}

מציבים

הנכונה: 3636. 1212 הוא 3[g(1)]23[g(1)]^2 בלי הכופל g′(1)g'(1); 2727 מעלה בחזקה את g′g' במקום את gg; 99 שוכח את [g(1)]2[g(1)]^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המשיק לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x=ax = a עובר דרך הנקודה (0,−9)(0, -9). מצאו את הערך החיובי של aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

y−a2=2a(x−a)y - a^2 = 2a(x - a)

המשיק בנקודה (a,a2)(a, a^2)

−9−a2=2a(0−a)=−2a2\begin{aligned}-9 - a^2 &= 2a(0 - a) \\ &= -2a^2\end{aligned}

מציבים (0,−9)(0, -9)

a2=9 ⇒ a=3\begin{aligned}a^2 &= 9 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

הפתרון החיובי; יש גם a=−3a = -3

הנקודה (0,−9)(0, -9) אינה על הפרבולה, ולכן היא לא נקודת ההשקה. מציבים אותה במשוואת המשיק, לא ב-ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: אם f′(x)>0f'(x) > 0 לכל xx, אז f(x)>0f(x) > 0 לכל xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=xf(x) = x

דוגמה נגדית

f′(x)=1>0f'(x) = 1 > 0

הנגזרת חיובית בכל מקום

f(−1)=−1<0f(-1) = -1 < 0

והפונקציה שלילית שם

הטענה לא נכונה. f′>0f' > 0 אומר שהגרף עולה; הוא יכול לעלות כשהוא עדיין מתחת לציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5. המשיקים לגרף בנקודות שבהן x=1x = 1 ו-x=3x = 3 נחתכים בנקודה אחת. מהו שיעור ה-xx של נקודת החיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x=1: y0=2 m=−2 ⇒ y=−2x+4\begin{aligned}x &= 1: \ y_0 \\ &= 2 \\ \ m &= -2 \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 4\end{aligned}

המשיק הראשון

x=3: y0=2 m=2 ⇒ y=2x−4\begin{aligned}x &= 3: \ y_0 \\ &= 2 \\ \ m &= 2 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x - 4\end{aligned}

המשיק השני

−2x+4=2x−4 ⇒ x=2\begin{aligned}-2x + 4 &= 2x - 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

משווים

נקודת החיתוך (2,0)(2, 0) אינה על הגרף: f(2)=1f(2) = 1. שני משיקים נפגשים מחוץ לפרבולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף של הנגזרת f'
-22-3-2-10123-5-4-3-2-112345xy

לפניכם הגרף של הנגזרת f′f' (לא של ff). באיזה תחום הפונקציה ff יורדת?

  1. −4<x<0-4 < x < 0
  2. x<−2x < -2 או x>2x > 2
  3. −2<x<2-2 < x < 2
  4. x<0x < 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג −2<x<2-2 < x < 2

הפתרון:

f↘ ⇔ f′<0f \searrow \ \Leftrightarrow \ f' < 0

יורדת היכן שהנגזרת שלילית

f′(x)<0 ב- −2<x<2f'(x) < 0 \ \text{ב-} \ -2 < x < 2

הגרף של f′f' מתחת לציר

הנכון: −2<x<2-2 < x < 2. «x<0x < 0» קורא את הגרף כאילו הוא ff — שם f′f' יורדת, לא ff. «x<−2x < -2 או x>2x > 2» הוא התחום שבו ff עולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=(x−2)2(x+1)f(x) = (x - 2)^2(x + 1). השלימו.

המשיק לגרף אופקי ב-x=0x = 0 ובעוד נקודה אחת, שבה x=x = ____. הגובה של נקודת ההשקה ב-x=0x = 0 הוא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המשיק לגרף אופקי ב-x=0x = 0 ובעוד נקודה אחת, שבה x=x = 2. הגובה של נקודת ההשקה ב-x=0x = 0 הוא 4.

הפתרון:

f′(x)=2(x−2)(x+1)+(x−2)2f'(x) = 2(x - 2)(x + 1) + (x - 2)^2

מכפלה ופונקציה מורכבת

=(x−2)(2x+2+x−2)=3x(x−2)= (x - 2)(2x + 2 + x - 2) = 3x(x - 2)

גורם משותף x−2x - 2

f(0)=4⋅1=4\begin{aligned}f(0) &= 4 \cdot 1 \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

הוצאת הגורם המשותף x−2x - 2 חוסכת פתיחה של שלוש מכפלות. x=−1x = -1 הוא אפס של ff, לא של f′f'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו את הטענות: אילו נכונות לכל ff ו-gg גזירות?

  • נכון תמיד
  • לא תמיד נכון
  • (5f)′=5f′(5f)' = 5f'
  • (f⋅g)′=f′⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g'
  • (f+7)′=f′(f + 7)' = f'
  • (f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'
  • ([f(x)]2)′=2f(x)\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g' — נכון תמיד · (f⋅g)′=f′⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g' — לא תמיד נכון · (5f)′=5f′(5f)' = 5f' — נכון תמיד · ([f(x)]2)′=2f(x)\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x) — לא תמיד נכון · (f+7)′=f′(f + 7)' = f' — נכון תמיד

הפתרון:

(f⋅g)′=f′g+fg′(f \cdot g)' = f'g + fg'

כלל המכפלה

([f(x)]2)′=2f(x)f′(x)\left([f(x)]^2\right)' = 2f(x)f'(x)

פונקציה מורכבת

בשתי הטענות השגויות חסר איבר או כופל: במכפלה — האיבר השני; בריבוע — הכופל f′(x)f'(x). הדוגמה f=g=xf = g = x מפילה את שתיהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נפח של קובייה שאורך מקצועה xx ס״מ הוא V(x)=x3V(x) = x^3 סמ״ק. מהו קצב השינוי של הנפח ביחס לאורך המקצוע כש-x=2x = 2, בסמ״ק לס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

V′(x)=3x2V'(x) = 3x^2

קצב השינוי הרגעי

V′(2)=12V'(2) = 12

מציבים

V(2)=8V(2) = 8 הוא הנפח; V′(2)=12V'(2) = 12 הוא בכמה סמ״ק גדל הנפח לכל ס״מ נוסף במקצוע, ברגע ש-x=2x = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת