סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בניסוח של הבגרות: כמה סעיפים שנדחסו לתשובה אחת, פרמטרים שנקבעים ממשיק, «האם ייתכן», הוכחה, ותנועה.

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. כתבו את הנגזרת בשורה נפרדת ובדקו אותה פעם אחת — טעות בה עוברת לכל הסעיפים שאחריה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x3−3x2−9x+2f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה הגרף חותך את ציר ה-yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -9

הפתרון:

x=0x = 0

נקודת החיתוך עם ציר ה-yy

f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9

גוזרים

m=f′(0)=−9\begin{aligned}m &= f'(0) \\ &= -9\end{aligned}

מציבים

חיתוך עם ציר ה-yy פירושו x=0x = 0 — ומשם לנגזרת. f(0)=2f(0) = 2 הוא הגובה של הנקודה, לא השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x3−3x2−9x+2f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1?

  1. y=−12x+3y = -12x + 3
  2. y=−9x+3y = -9x + 3
  3. y=−12x−9y = -12x - 9
  4. y=−12x+21y = -12x + 21
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א y=−12x+3y = -12x + 3

הפתרון:

y0=f(1)=1−3−9+2=−9\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= 1 - 3 - 9 + 2 \\ &= -9\end{aligned}

הגובה

m=f′(1)=3−6−9=−12\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 3 - 6 - 9 \\ &= -12\end{aligned}

השיפוע

y+9=−12(x−1) ⇒ y=−12x+3\begin{aligned}y + 9 &= -12(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -12x + 3\end{aligned}

המשוואה

הנכונה: y=−12x+3y = -12x + 3. y=−12x+21y = -12x + 21 כותב y−9y - 9 במקום y−(−9)y - (-9); y=−12x−9y = -12x - 9 שוכח לפתוח את −12(x−1)-12(x - 1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x3+ax2+bxf(x) = x^3 + ax^2 + bx. המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1 הוא y=2x−3y = 2x - 3. מצאו את aa ואת bb, ורשמו את bb.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f(1)=2⋅1−3=−1 ⇒ 1+a+b=−1\begin{aligned}f(1) &= 2 \cdot 1 - 3 \\ &= -1 \ \Rightarrow \ 1 + a + b \\ &= -1\end{aligned}

נקודת ההשקה על המשיק

f′(1)=2 ⇒ 3+2a+b=2\begin{aligned}f'(1) &= 2 \ \Rightarrow \ 3 + 2a + b \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע של המשיק

(3+2a+b)−(1+a+b)=2+a=3 ⇒ a=1\begin{aligned}(3 + 2a + b) - (1 + a + b) &= 2 + a \\ &= 3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

מחסרים את המשוואות

b=−2−a=−3\begin{aligned}b &= -2 - a \\ &= -3\end{aligned}

מציבים

משוואת משיק נותנת שני תנאים: הנקודה (על ff) והשיפוע (על f′f'). מי שמשתמש רק בשיפוע נשאר עם שני נעלמים ומשוואה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף f(x)=x2f(x) = x^2 יש שני משיקים המאונכים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=2xf'(x) = 2x

שיפוע המשיק ב-xx

x=12⇒m1=1x=−12⇒m2=−1\begin{aligned}x &= \frac{1}{2} \Rightarrow m_1 \\ &= 1 \\ \quad x &= -\frac{1}{2} \Rightarrow m_2 \\ &= -1\end{aligned}

שתי נקודות

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

מכפלת שיפועים −1-1 — מאונכים

הטענה נכונה, ולכן מספיקה דוגמה אחת. ישרים מאונכים — מכפלת השיפועים −1-1, לא סכומם אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x בנקודה שבה x=1x = 1. באיזה ערך xx המשיק חותך את ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

y0=f(1)=−3m=f′(1)=3−4=−1\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= -3 \\ \quad m &= f'(1) \\ &= 3 - 4 \\ &= -1\end{aligned}

גובה ושיפוע

y+3=−(x−1) ⇒ y=−x−2\begin{aligned}y + 3 &= -(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -x - 2\end{aligned}

המשוואה

y=0 ⇒ x=−2\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx

חיתוך עם ציר ה-xx פירושו y=0y = 0 במשוואת המשיק. ff עצמה חותכת את הציר ב-00 וב-±2\pm 2 — ובמקרה גם ב-−2-2, אבל זה לא הנימוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הפרבולה, המשיק והמשולש עם הצירים
נקודת ההשקה??-10123-1123456xy

המשיק לגרף f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 בנקודה שבה x=1x = 1 יוצר משולש עם הצירים. מהו שטח המשולש? כתבו תשובה עשרונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.25

הפתרון:

y0=3m=−2 ⇒ y=−2x+5\begin{aligned}y_0 &= 3 \\ \quad m &= -2 \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 5\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0⇒y=5y=0⇒x=2.5\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 5 \\ \quad y &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2.5\end{aligned}

החיתוכים עם הצירים

S=5⋅2.52=6.25\begin{aligned}S &= \frac{5 \cdot 2.5}{2} \\ &= 6.25\end{aligned}

משולש ישר-זווית

הניצבים של המשולש הם החיתוכים של המשיק, לא של הפרבולה (44 ו-22). מי שמשתמש בפרבולה מקבל 44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף של f
(-1, 2)(1, -2)-3-2-10123-4-3-2-11234xy

לפניכם הגרף של f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. איזו טענה נכונה?

  1. f′(1)>0f'(1) > 0
  2. f′(−1)<0f'(-1) < 0
  3. f′(0)<0f'(0) < 0
  4. f′(−2)<0f'(-2) < 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג f′(0)<0f'(0) < 0

הפתרון:

f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3

הנגזרת

f′(0)=−3 f′(1)=0 f′(−2)=9 f′(−1)=0\begin{aligned}f'(0) &= -3 \\ \ f'(1) &= 0 \\ \ f'(-2) &= 9 \\ \ f'(-1) &= 0\end{aligned}

מציבים

x=0 ⇒ f↘x = 0 \ \Rightarrow \ f \searrow

בגרף: בין שתי נקודות הקיצון הגרף יורד

הנכונה: f′(0)<0f'(0) < 0. ב-x=±1x = \pm 1 המשיק אופקי, ולכן f′=0f' = 0 — לא חיובי ולא שלילי. ב-x=−2x = -2 הגרף עולה, אף שהוא מתחת לציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=(ax−1)3f(x) = (ax - 1)^3, כאשר aa פרמטר ממשי. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1 הוא 66. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=3(ax−1)2⋅af'(x) = 3(ax - 1)^2 \cdot a

נגזרת הפנימית היא aa

f′(1)=3a(a−1)2=6 ⇒ a3−2a2+a−2=0\begin{aligned}f'(1) &= 3a(a - 1)^2 \\ &= 6 \ \Rightarrow \ a^3 - 2a^2 + a - 2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומסדרים

(a−2)(a2+1)=0 ⇒ a=2\begin{aligned}(a - 2)(a^2 + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

ל-a2+1a^2 + 1 אין שורש ממשי

הפרמטר מופיע פעמיים בנגזרת: בתוך הסוגריים וככופל. מי ששוכח את הכופל פותר 3(a−1)2=63(a - 1)^2 = 6 ומקבל 1±21 \pm \sqrt{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x. הוכיחו כי לגרף של ff אין משיק אופקי.

  • f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x
  • משיק אופקי: f′(x0)=0f'(x_0) = 0

לגרף אין משיק אופקי

להציג את התשובה והפתרון
  1. f′(x)=3x2+1f'(x) = 3x^2 + 1 — כלל החזקה וכלל הסכום
  2. 3x2≥03x^2 \geq 0 — ריבוע של מספר ממשי אינו שלילי
  3. f′(x)≥1f'(x) \geq 1 — הוספת 11 לשני האגפים
  4. f′(x)≠0f'(x) \neq 0 — מספר שגדול או שווה ל-11 אינו אפס
  5. לגרף אין משיק אופקי — משיק אופקי מחייב f′(x0)=0f'(x_0) = 0

הפתרון:

f′(x)=3x2+1f'(x) = 3x^2 + 1

כלל החזקה וכלל הסכום

3x2≥03x^2 \geq 0

ריבוע של מספר ממשי אינו שלילי

f′(x)≥1f'(x) \geq 1

הוספת 11 לשני האגפים

f′(x)≠0f'(x) \neq 0

מספר שגדול או שווה ל-11 אינו אפס

«ניסיתי כמה ערכים ולא יצא אפס» אינו הוכחה. הטענה היא על כל xx, ולכן הנימוק הוא אי-שוויון שנכון לכל xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מקומו של גוף על ישר, במטרים, אחרי tt שניות הוא s(t)=t3−6t2+9ts(t) = t^3 - 6t^2 + 9t. מהירות הגוף מתאפסת פעמיים. באיזה רגע היא מתאפסת בפעם השנייה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

v(t)=s′(t)=3t2−12t+9\begin{aligned}v(t) &= s'(t) \\ &= 3t^2 - 12t + 9\end{aligned}

המהירות היא הנגזרת של המקום

3(t−1)(t−3)=03(t - 1)(t - 3) = 0

מפרקים

t=1  t=3\begin{aligned}t &= 1 \ \\ \ t &= 3\end{aligned}

הפעם השנייה: t=3t = 3

מקום אפס ומהירות אפס הם שני דברים: s(t)=0s(t) = 0 ב-t=0t = 0 וב-t=3t = 3, אבל הגוף נעצר ב-t=1t = 1 וב-t=3t = 3. כאן רק במקרה 33 מופיע בשתי הרשימות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת