תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: קצב שינוי ממוצע, נגזרת לפי ההגדרה, כללי הגזירה, כלל המכפלה, פונקציה מורכבת, משיקים ותנועה. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

גזרו: f(x)=4x5−3xf(x) = 4x^5 - 3x

  1. 4x4−34x^4 - 3
  2. 20x5−320x^5 - 3
  3. 20x420x^4
  4. 20x4−320x^4 - 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 20x4−320x^4 - 3

הפתרון:

(4x5)′=4⋅5x4=20x4\begin{aligned}(4x^5)' &= 4 \cdot 5x^4 \\ &= 20x^4\end{aligned}

מקדם כפול נגזרת החזקה

(3x)′=3(3x)' = 3

גוזרים איבר-איבר: f′(x)=20x4−3f'(x) = 20x^4 - 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בבאר שבע נמדדה בשעה 8:00 טמפרטורה של 1818 מעלות, ובשעה 13:00 — 3333 מעלות. מהו קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה בין שתי המדידות, במעלות לשעה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

ΔyΔx=33−1813−8\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{33 - 18}{13 - 8}

שינוי בטמפרטורה חלקי שינוי בזמן

155=3\frac{15}{5} = 3

בממוצע העיר התחממה ב-33 מעלות בכל שעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x. חשבו את f′(2)f'(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^2 - 2

קודם הביטוי

f′(2)=3⋅4−2=10\begin{aligned}f'(2) &= 3 \cdot 4 - 2 \\ &= 10\end{aligned}

ורק אז מציבים

f′(2)=10f'(2) = 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

נתונה f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x. חשבו לפי ההגדרה את f′(2)f'(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

f(2)=4+6=10\begin{aligned}f(2) &= 4 + 6 \\ &= 10\end{aligned}
f(2+h)=4+4h+h2+6+3h=10+7h+h2\begin{aligned}f(2 + h) &= 4 + 4h + h^2 + 6 + 3h \\ &= 10 + 7h + h^2\end{aligned}
f(2+h)−f(2)h=7h+h2h=7+h\begin{aligned}\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} &= \frac{7h + h^2}{h} \\ &= 7 + h\end{aligned}

שיפוע המיתר, h≠0h \neq 0

h→0 ⇒ f′(2)=7h \to 0 \ \Rightarrow \ f'(2) = 7

בדיקה בכללים: f′(x)=2x+3f'(x) = 2x + 3, ו-f′(2)=7f'(2) = 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון f(x)=(x2−1)(3x+2)f(x) = (x^2 - 1)(3x + 2). חשבו את f′(1)f'(1).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

f′(x)=2x(3x+2)+(x2−1)⋅3f'(x) = 2x(3x + 2) + (x^2 - 1) \cdot 3

כלל המכפלה

f′(1)=2⋅5+0⋅3=10\begin{aligned}f'(1) &= 2 \cdot 5 + 0 \cdot 3 \\ &= 10\end{aligned}

f′(1)=10f'(1) = 10. מי שגזר כל גורם בנפרד וכפל קיבל 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 — טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון f(x)=(2x−3)4f(x) = (2x - 3)^4. חשבו את f′(2)f'(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f′(x)=4(2x−3)3⋅2f'(x) = 4(2x - 3)^3 \cdot 2

נגזרת החיצונית כפול נגזרת הפנימית

f′(2)=4⋅13⋅2=8\begin{aligned}f'(2) &= 4 \cdot 1^3 \cdot 2 \\ &= 8\end{aligned}

f′(2)=8f'(2) = 8. בלי הכפל בנגזרת הפנימית יוצא 44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x2−3x+1f(x) = x^2 - 3x + 1. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x = 2?

  1. y=x−3y = x - 3
  2. y=−x+1y = -x + 1
  3. y=x+3y = x + 3
  4. y=x−1y = x - 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א y=x−3y = x - 3

הפתרון:

y0=f(2)=4−6+1=−1\begin{aligned}y_0 &= f(2) \\ &= 4 - 6 + 1 \\ &= -1\end{aligned}

הנקודה

m=f′(2)=2⋅2−3=1\begin{aligned}m &= f'(2) \\ &= 2 \cdot 2 - 3 \\ &= 1\end{aligned}

השיפוע

y−(−1)=1⋅(x−2)⇒y=x−3\begin{aligned}y - (-1) &= 1 \cdot (x - 2) \Rightarrow y \\ &= x - 3\end{aligned}

המשוואה

המשיק הוא y=x−3y = x - 3. בדיקה: ב-x=2x = 2 הוא נותן −1-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

נתונה f(x)=ax3−2x2f(x) = ax^3 - 2x^2, כאשר aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1 מקביל לישר y=5x+4y = 5x + 4. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=3ax2−4xf'(x) = 3ax^2 - 4x
f′(1)=3a−4f'(1) = 3a - 4

השיפוע בנקודה

3a−4=5⇒a=3\begin{aligned}3a - 4 &= 5 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

ישרים מקבילים — שיפועים שווים

התנאי הוא על f′f', לא על ff: a=3a = 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

רכבת קלה בירושלים יוצאת מתחנה. המרחק שלה מהתחנה אחרי tt שניות הוא s(t)=2t3−3t2s(t) = 2t^3 - 3t^2 מטרים (עבור 1≤t≤41 \le t \le 4). המהירות היא v(t)=s′(t)v(t) = s'(t). באיזה רגע tt המהירות היא 3636 מטרים לשנייה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

v(t)=s′(t)=6t2−6t\begin{aligned}v(t) &= s'(t) \\ &= 6t^2 - 6t\end{aligned}
6t2−6t=36⇒t2−t−6=0\begin{aligned}6t^2 - 6t &= 36 \Rightarrow t^2 - t - 6 \\ &= 0\end{aligned}
(t−3)(t+2)=0⇒t=3\begin{aligned}(t - 3)(t + 2) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 3\end{aligned}

זמן חיובי

אחרי 33 שניות. בדיקה: v(3)=54−18=36v(3) = 54 - 18 = 36.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מצאו את כל המשיקים לגרף f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 ששיפועם 99.

  1. y=9x−27y = 9x - 27 בלבד
  2. y=9x−27y = 9x - 27 ו-y=9x+5y = 9x + 5
  3. y=9x+27y = 9x + 27 ו-y=9x−5y = 9x - 5
  4. y=9x−3y = 9x - 3 ו-y=9x+1y = 9x + 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=9x−27y = 9x - 27 ו-y=9x+5y = 9x + 5

הפתרון:

f′(x)=3x2−6x=9\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 9\end{aligned}
x2−2x−3=0⇒x=3 x=−1\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \ x &= -1\end{aligned}

שתי נקודות השקה

f(3)=0⇒y=9(x−3)=9x−27\begin{aligned}f(3) &= 0 \Rightarrow y \\ &= 9(x - 3) \\ &= 9x - 27\end{aligned}
f(−1)=−4⇒y=9(x+1)−4=9x+5\begin{aligned}f(-1) &= -4 \Rightarrow y \\ &= 9(x + 1) - 4 \\ &= 9x + 5\end{aligned}

למשוואה הריבועית שני פתרונות, ולכן יש שני משיקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת