ריבוי שורשים וסקיצה של פולינום

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כשפולינום כתוב כמכפלה של גורמים, אפשר לשרטט אותו כמעט בלי חישוב. אבל כדאי להסתכל קודם על גרף אחד ולשים לב למשהו מוזר בשורשים שלו.

בגרף של f(x)=(x−1)2(x+2)f(x) = (x-1)^2(x+2) יש שני שורשים. מה ההבדל בין מה שהגרף עושה ב-x=−2x = -2 לבין מה שהוא עושה ב-x=1x = 1?

להציג את התשובה והפתרון

ב-x=−2x = -2 הגרף חוצה את ציר ה-xx: עובר מתחתיו אל מעליו. ב-x=1x = 1 הוא רק נוגע בציר וחוזר למעלה. ההבדל בא מהחזקה: (x+2)(x+2) מופיע פעם אחת, (x−1)(x-1) מופיע פעמיים.

ריבוי של שורש

אם הגורם (x−a)(x-a) מופיע בפירוק kk פעמים, כלומר (x−a)k(x-a)^k, אומרים ש-aa הוא שורש מריבוי kk. הריבוי קובע מה הגרף עושה בשורש:

k=1k = 1

חוצה את הציר, כמו ישר.

k=2 4 …\begin{aligned}k &= 2 \\ \ 4 \\ \ \dots\end{aligned}

זוגי — נוגע בציר ולא עובר לצד השני, כמו פרבולה בקדקוד.

k=3 5 …\begin{aligned}k &= 3 \\ \ 5 \\ \ \dots\end{aligned}

אי-זוגי — חוצה, אבל «משתטח» לרגע ליד השורש, כמו x3x^3 בראשית.

הסיבה פשוטה: ליד x=ax = a כל שאר הגורמים שומרים על הסימן שלהם. רק (x−a)k(x-a)^k יכול להחליף סימן — והוא מחליף רק כש-kk אי-זוגי. (x−1)2(x-1)^2 חיובי משני צדי 11, ולכן הגרף חוזר לאותו צד.

שרטוט סקיצה מפירוק

y = (x + 1)²(x − 3)
-3-113-12-10-8-6-4-2246xy

סימן הפונקציה בלי טבלת ערכים: f(x)=x2(x−2)(x+3)f(x) = x^2(x-2)(x+3)

מעלה 44, מקדם מוביל חיובי, ושלושה שורשים.

x>2:  f>0x > 2:\ \ f > 0

מעלה זוגית, מקדם חיובי: הקצה הימני למעלה

x=2 (k=1):  0<x<2⇒f<0x = 2\ (k=1):\ \ 0 < x < 2 \Rightarrow f < 0

חוצה — הסימן מתחלף

x=0 (k=2):  −3<x<0⇒f<0x = 0\ (k=2):\ \ -3 < x < 0 \Rightarrow f < 0

נוגע — הסימן נשאר

x=−3 (k=1):  x<−3⇒f>0x = -3\ (k=1):\ \ x < -3 \Rightarrow f > 0

חוצה שוב — והקצה השמאלי למעלה, כמצופה ממעלה זוגית

f(1)=1⋅(−1)⋅4=−4<0\begin{aligned}f(1) &= 1 \cdot (-1) \cdot 4 \\ &= -4 < 0\end{aligned}

בדיקה במספר

פולינום ממעלה 44 ומקדם מוביל 11. ידוע שהשורש x=1x = 1 שלו הוא מריבוי 33, ויש לו עוד שורש x=5x = 5. מה הריבוי של 55, ומהו הפולינום?

להציג את התשובה והפתרון

סכום הריבויים לא עולה על המעלה: 3+k=43 + k = 4, ולכן k=1k = 1. הפולינום: f(x)=(x−1)3(x−5)f(x) = (x-1)^3(x-5).

סכום כל הריבויים לא גדול מהמעלה. אם הוא קטן ממנה, יש בפירוק גורם בלי שורש, כמו x2+1x^2 + 1.

הטעויות של הריבוי.

(x+3)2=0⇒x=±3\begin{aligned}(x+3)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}
(x+3)2=0⇒x=−3\begin{aligned}(x+3)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

שורש כפול הוא נקודה אחת שנספרת פעמיים, לא שני שורשים. מי שכותב ±\pm מתבלבל עם x2=9x^2 = 9.

−x2(x−1):  x→∞⇒f→∞-x^2(x-1):\ \ x \to \infty \Rightarrow f \to \infty
−x2(x−1):  x→∞⇒f→−∞-x^2(x-1):\ \ x \to \infty \Rightarrow f \to -\infty

את המקדם המוביל מחשבים מכל הגורמים יחד, כולל המינוס שלפני הסוגריים: −x2⋅x=−x3-x^2 \cdot x = -x^3.

תרגילים

תרגיל 1

מהו הריבוי של השורש x=2x = 2 בפונקציה f(x)=(x−2)3(x+1)f(x) = (x-2)^3(x+1)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

(x−2)3(x-2)^3

הגורם של השורש 22

k=3k = 3

החזקה שלו

הריבוי הוא החזקה של הגורם, לא מספר השורשים ולא המעלה (44). ריבוי 33 אי-זוגי — הגרף חוצה שם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באילו שורשים הגרף של f(x)=(x+4)(x−1)2(x−6)3f(x) = (x+4)(x-1)^2(x-6)^3 נוגע בציר ה-xx בלי לחצות אותו?

  1. רק ב-x=6x = 6
  2. בכל שלושת השורשים
  3. רק ב-x=1x = 1
  4. ב-x=1x = 1 וב-x=6x = 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג רק ב-x=1x = 1

הפתרון:

x=−4: k=1\begin{aligned}x &= -4:\ k \\ &= 1\end{aligned}

אי-זוגי — חוצה

x=1: k=2\begin{aligned}x &= 1:\ k \\ &= 2\end{aligned}

זוגי — נוגע

x=6: k=3\begin{aligned}x &= 6:\ k \\ &= 3\end{aligned}

אי-זוגי — חוצה

התשובה «רק ב-x=1x = 1». המלכודת היא x=6x = 6: חזקה גבוהה אינה «נגיעה». הזוגיות של הריבוי קובעת, לא הגודל שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=x3(x+2)2(x−5)(x−7)4f(x) = x^3(x+2)^2(x-5)(x-7)^4. מיינו את השורשים שלה

  • הגרף חוצה
  • הגרף נוגע
  • x=−2x = -2
  • x=0x = 0
  • x=5x = 5
  • x=7x = 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=0x = 0 — הגרף חוצה · x=5x = 5 — הגרף חוצה · x=−2x = -2 — הגרף נוגע · x=7x = 7 — הגרף נוגע

הפתרון:

x3: k=3x^3:\ k = 3

חוצה

(x−5): k=1(x-5):\ k = 1

חוצה

(x+2)2: k=2(x+2)^2:\ k = 2

נוגע

(x−7)4: k=4(x-7)^4:\ k = 4

נוגע

השורש x=0x = 0 מתחבא ב-x3x^3: גם xx לבד הוא גורם, (x−0)3(x-0)^3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בכמה נקודות שונות פוגש הגרף של f(x)=(x2−9)2(x+3)f(x) = (x^2-9)^2(x+3) את ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

מפרקים את הסוגריים

f(x)=(x−3)2(x+3)2(x+3)=(x−3)2(x+3)3\begin{aligned}f(x) &= (x-3)^2(x+3)^2(x+3) \\ &= (x-3)^2(x+3)^3\end{aligned}

מאחדים גורמים שווים

x=3 x=−3\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שתי נקודות

המלכודת: לספור ±3\pm 3 מהסוגריים הראשונים ועוד −3-3 מהשני — ולקבל 33. גורמים שווים מתאחדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהם הריבויים של השורשים של f(x)=(x2−9)2(x+3)f(x) = (x^2-9)^2(x+3)?

  1. x=±3x = \pm 3 ששניהם מריבוי 33
  2. x=−3x = -3 מריבוי 22, ו-x=3x = 3 מריבוי 22
  3. x=−3x = -3 מריבוי 11, ו-x=3x = 3 מריבוי 22
  4. x=−3x = -3 מריבוי 33, ו-x=3x = 3 מריבוי 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x=−3x = -3 מריבוי 33, ו-x=3x = 3 מריבוי 22

הפתרון:

(x2−9)2=(x−3)2(x+3)2(x^2-9)^2 = (x-3)^2(x+3)^2

כל גורם בריבוע

(x+3)2⋅(x+3)=(x+3)3(x+3)^2 \cdot (x+3) = (x+3)^3

ועוד גורם אחד של x+3x+3

התשובה «x=−3x = -3 מריבוי 33, ו-x=3x = 3 מריבוי 22». בדיקה: 3+2=53 + 2 = 5, בדיוק המעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הגרף של f(x)=−(x−2)2f(x) = -(x-2)^2 נוגע בציר ה-xx ב-x=2x = 2 מלמטה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(x−2)2≥0(x-2)^2 \geq 0

הריבוע אי-שלילי

−(x−2)2≤0-(x-2)^2 \leq 0

המינוס הופך

f(2)=0f(2) = 0

נוגע רק ב-x=2x=2

הטענה נכונה. ריבוי זוגי אומר שהגרף לא עובר צד — וכאן הצד הוא מתחת לציר, בגלל המינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גרף של פולינום ממעלה 3
-3-2-10123-6-5-4-3-2-1123456xy

איזו נוסחה מתאימה לגרף?

  1. y=−(x+1)2(x−2)y = -(x+1)^2(x-2)
  2. y=(x+1)(x−2)2y = (x+1)(x-2)^2
  3. y=(x+1)2(x−2)y = (x+1)^2(x-2)
  4. y=(x−1)2(x+2)y = (x-1)^2(x+2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=(x+1)2(x−2)y = (x+1)^2(x-2)

הפתרון:

x=−1: נוגע⇒(x+1)2x = -1:\ \text{נוגע} \Rightarrow (x+1)^2

ריבוי זוגי

x=2: חוצה⇒(x−2)x = 2:\ \text{חוצה} \Rightarrow (x-2)

ריבוי אי-זוגי

x→∞: y→∞x \to \infty:\ y \to \infty

מקדם חיובי

y(0)=1⋅(−2)=−2\begin{aligned}y(0) &= 1 \cdot (-2) \\ &= -2\end{aligned}

בדיקה מול הגרף

התשובה y=(x+1)2(x−2)y = (x+1)^2(x-2). (x−1)2(x+2)(x-1)^2(x+2) מחליפה את הסימנים של השורשים, (x+1)(x−2)2(x+1)(x-2)^2 מחליפה בין נגיעה לחציה, והגרסה עם המינוס הפוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=(x−1)2(x+2)f(x) = (x-1)^2(x+2). לכמה מספרים שלמים xx בין −3-3 ל-33 (כולל) מתקיים f(x)<0f(x) < 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

(x−1)2≥0(x-1)^2 \geq 0

הגורם הזה לא משנה סימן

f(x)<0  ⟺  x+2<0, x≠1f(x) < 0 \iff x + 2 < 0 ,\ x \neq 1

רק (x+2)(x+2) קובע

x<−2⇒x=−3x < -2 \Rightarrow x = -3

שלם אחד בטווח

שורש כפול לא מחליף סימן: הגרף נוגע ב-x=1x = 1 ונשאר מעל הציר. מי שחשב שבין −2-2 ל-11 הפונקציה שלילית, התייחס ל-11 כאל שורש שחוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

השלימו

הפולינום f(x)=x2(x−4)kf(x) = x^2(x-4)^k הוא ממעלה 55. לכן k=k = ____, והגרף חוצה את הציר ב-x=x = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הפולינום f(x)=x2(x−4)kf(x) = x^2(x-4)^k הוא ממעלה 55. לכן k=k = 3, והגרף חוצה את הציר ב-x=x = 4

הפתרון:

2+k=52 + k = 5

סכום החזקות הוא המעלה

k=3k = 3
x=4: k=3 אי-זוגי\begin{aligned}x &= 4:\ k \\ &= 3 \ \text{אי-זוגי}\end{aligned}

חוצה; ב-x=0x=0 הריבוי 22 — נוגע

ב-x=0x = 0 הגרף נוגע (ריבוי 22), ולכן התשובה לחלק השני היא 44 ולא 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בסקיצה של f(x)=−(x−2)2(x+1)f(x) = -(x-2)^2(x+1) שורה אחת שגויה — מצאו אותה

x=2:  k=2⇒נוגע\begin{aligned}x &= 2:\ \ k \\ &= 2 \Rightarrow \text{נוגע}\end{aligned}
x=−1:  k=1⇒חוצה\begin{aligned}x &= -1:\ \ k \\ &= 1 \Rightarrow \text{חוצה}\end{aligned}
f(0)=−(4)(1)=−4\begin{aligned}f(0) &= -(4)(1) \\ &= -4\end{aligned}
x→∞:  f(x)→∞x \to \infty:\ \ f(x) \to \infty
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x→∞:  f(x)→∞x \to \infty:\ \ f(x) \to \infty → x→∞:  f(x)→−∞x \to \infty:\ \ f(x) \to -\infty

הפתרון:

−(x−2)2(x+1)=−x3+…-(x-2)^2(x+1) = -x^3 + \dots

המקדם המוביל −1-1

x→∞: −x3→−∞x \to \infty:\ -x^3 \to -\infty

הקצה הימני למטה

שלוש השורות הראשונות נכונות. הרביעית שכחה את המינוס שלפני הסוגריים — הוא חלק מהמקדם המוביל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת