זוגיות ואי-זוגיות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ראינו ש-x2x^2 סימטרית לציר ה-yy ו-x3x^3 סימטרית לראשית. עכשיו נותנים לשתי הסימטריות שם, ובודקים אותן לכל פונקציה — גם כשאין לה גרף מול העיניים.

הדרך האלגברית — שלוש אפשרויות, לא שתיים

מציבים −x-x במקום xx, מפשטים, ומשווים. יש בדיוק שלוש תוצאות אפשריות:

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

הפונקציה זוגית. הגרף סימטרי ביחס לציר yy.

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

הפונקציה אי-זוגית. הגרף סימטרי ביחס לראשית הצירים.

f(−x)≠f(x),  f(−x)≠−f(x)f(-x) \neq f(x),\ \ f(-x) \neq -f(x)

הפונקציה לא זוגית ולא אי-זוגית. זה המצב של רוב הפונקציות.

שימו לב שהתנאי הוא לכל xx בתחום ההגדרה, ולא במספר אחד. הצבת מספר בודד יכולה רק להפריך, לעולם לא להוכיח.

פונקציה מקיימת f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) וגם f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) לכל xx. איזו פונקציה זו?

להציג את התשובה והפתרון

משתי המשוואות נובע f(x)=−f(x)f(x) = -f(x), כלומר 2f(x)=02f(x) = 0. לכן f(x)=0f(x) = 0 לכל xx — הפונקציה האפס היא היחידה שהיא גם זוגית וגם אי-זוגית.

לפני הכול — תחום ההגדרה

אם xx נמצא בתחום אבל −x-x לא, ל-f(−x)f(-x) אין בכלל משמעות והשאלה נסגרת לפני שהתחילה. f(x)=xf(x) = \sqrt{x} מוגדרת רק ל-x≥0x \geq 0: היא אינה זוגית ואינה אי-זוגית, ואין צורך בחישוב כדי לדעת זאת.

התחום חייב להיות סימטרי ביחס לאפס. זו הבדיקה הראשונה, והיא לפעמים גם האחרונה.

זוגיות של f(x)=x3x2−4f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 4}

קודם התחום, אחר כך ההצבה.

x2−4≠0⇒x≠±2x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2

התחום: נפסלים 22 ו-(−2)(-2) — סימטרי ביחס לאפס

f(−x)=(−x)3(−x)2−4=−x3x2−4\begin{aligned}f(-x) &= \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} \\ &= \frac{-x^3}{x^2 - 4}\end{aligned}

מציבים −x-x

=−x3x2−4=−f(x)= -\frac{x^3}{x^2 - 4} = -f(x)

הפונקציה אי-זוגית

לזהות בלי לחשב — לפי החזקות

מכאן באים השמות: x2,x4,x6x^2, x^4, x^6 הן זוגיות, ו-x1,x3,x5x^1, x^3, x^5 אי-זוגיות. בפולינום מספיק להסתכל על החזקות.

x4−3x2+7x^4 - 3x^2 + 7

רק חזקות זוגיות — הפונקציה זוגית. (גם המספר החופשי הוא חזקה זוגית: 7=7x07 = 7x^0.)

x5−2x3+xx^5 - 2x^3 + x

רק חזקות אי-זוגיות — הפונקציה אי-זוגית.

x3+x2x^3 + x^2

ערבוב של השתיים — לא זוגית ולא אי-זוגית.

המספר החופשי הוא המלכודת: x3+2x^3 + 2 אינה אי-זוגית, כי ה-22 שובר את הסימטריה. x3x^3 לבד — כן.

הפונקציות הבסיסיות, ומה קורה בפעולות

∣x∣, 1x2|x| ,\ \frac{1}{x^2}

זוגיות: ∣−x∣=∣x∣|-x| = |x| ו-1(−x)2=1x2\frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2}.

1x\frac{1}{x}

אי-זוגית: 1−x=−1x\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}.

x\sqrt{x}

לא זו ולא זו — התחום x≥0x \geq 0 אינו סימטרי.

זוגית⋅זוגית\text{זוגית} \cdot \text{זוגית}

זוגית

אי-זוגית⋅אי-זוגית\text{אי-זוגית} \cdot \text{אי-זוגית}

זוגית — שני המינוסים מתבטלים

זוגית⋅אי-זוגית\text{זוגית} \cdot \text{אי-זוגית}

אי-זוגית

אותו כלל בדיוק כמו כלל הסימנים בכפל, אם חושבים על זוגית כ-++ ועל אי-זוגית כ-−-. אין מה לשנן.

בחיבור הכלל אחר: זוגית ועוד זוגית נותנת זוגית, ואי-זוגית ועוד אי-זוגית נותנת אי-זוגית. אבל זוגית ועוד אי-זוגית נותנת בדרך כלל פונקציה שאינה זו ואינה זו — בדיוק כמו x2+xx^2 + x.

ff ו-gg אי-זוגיות, מוגדרות לכל xx. מה סוג f+gf + g? ומה סוג f⋅gf \cdot g?

להציג את התשובה והפתרון

f+gf + g אי-זוגית: f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−(f+g)(x)f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f + g)(x). ואילו f⋅gf \cdot g זוגית: שני המינוסים מתבטלים. דוגמה: x3+xx^3 + x אי-זוגית, x3⋅x=x4x^3 \cdot x = x^4 זוגית.

שתי הטעויות של הנושא.

f(−x)≠f(x)⇒f(−x)=−f(x)f(-x) \neq f(x) \Rightarrow f(-x) = -f(x)

«לא זוגית» ו«אי-זוגית» אינם אותו דבר: יש שלוש אפשרויות. רוב הפונקציות הן לא זו ולא זו — וזו תשובה מלאה ולגיטימית.

f(−1)=f(1)⇒זוגיתf(-1) = f(1) \Rightarrow \text{זוגית}
לכל x בתחום\text{לכל } x \ \text{בתחום}

מספר אחד לא מספיק. f(x)=x3+x2−xf(x) = x^3 + x^2 - x מקיימת f(−1)=f(1)=1f(-1) = f(1) = 1, אבל f(2)=10f(2) = 10 ו-f(−2)=−2f(-2) = -2: היא אינה זוגית. הצבת מספר יכולה רק להפריך.

תרגילים

תרגיל 1

איזו מהפונקציות הבאות היא זוגית?

  1. f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x
  2. f(x)=x4−3x2+1f(x) = x^4 - 3x^2 + 1
  3. f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x
  4. f(x)=xf(x) = \sqrt{x}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב f(x)=x4−3x2+1f(x) = x^4 - 3x^2 + 1

הפתרון:

f(−x)=x4−3x2+1=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= x^4 - 3x^2 + 1 \\ &= f(x)\end{aligned}

רק חזקות זוגיות

התשובה x4−3x2+1x^4 - 3x^2 + 1: רק חזקות זוגיות. x3−xx^3 - x אי-זוגית, x2+xx^2 + x מעורבת, ו-x\sqrt{x} מוגדרת רק ל-x≥0x \geq 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מה סוג הפונקציה f(x)=x3+2f(x) = x^3 + 2?

  1. אי-זוגית
  2. זוגית
  3. לא זוגית ולא אי-זוגית
  4. גם זוגית וגם אי-זוגית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא זוגית ולא אי-זוגית

הפתרון:

f(−x)=−x3+2f(-x) = -x^3 + 2

מציבים

−f(x)=−x3−2-f(x) = -x^3 - 2

ומשווים

−x3+2≠−x3−2-x^3 + 2 \neq -x^3 - 2

לא מזדהה

התשובה «לא זוגית ולא אי-זוגית». ה-22 הוא ששובר: x3x^3 לבד אי-זוגית, והמספר החופשי מקלקל את הסימטריה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ff אי-זוגית ו-f(3)=7f(3) = 7. מהו f(−3)f(-3)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -7

הפתרון:

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

ההגדרה

f(−3)=−f(3)=−7\begin{aligned}f(-3) &= -f(3) \\ &= -7\end{aligned}

מציבים

באי-זוגית הערך מתהפך בסימן. בזוגית הוא היה נשאר 77.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ff אי-זוגית ומוגדרת ב-x=0x = 0. מהו בהכרח f(0)f(0)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

f(−0)=−f(0)f(-0) = -f(0)

מציבים x=0x = 0

f(0)=−f(0)f(0) = -f(0)

אבל −0=0-0 = 0

2f(0)=0⇒f(0)=0\begin{aligned}2f(0) &= 0 \Rightarrow f(0) \\ &= 0\end{aligned}

ולכן

כל פונקציה אי-זוגית שמוגדרת באפס עוברת דרך הראשית. לכן f(x)=x3+2f(x) = x^3 + 2 לא יכולה להיות אי-זוגית — היא חותכת ב-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מדוע f(x)=xf(x) = \sqrt{x} אינה זוגית ואינה אי-זוגית?

  1. כי היא עולה
  2. תחום ההגדרה אינו סימטרי ביחס לאפס
  3. כי x\sqrt{x} תמיד חיובי
  4. כי אין לה נקודת קיצון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב תחום ההגדרה אינו סימטרי ביחס לאפס

הפתרון:

x≥0x \geq 0

תחום ההגדרה

f(−4)f(-4)

לא קיים, ואין מה להשוות

התשובה «תחום ההגדרה אינו סימטרי ביחס לאפס». הבדיקה נעצרת לפני האלגברה: תחום לא סימטרי פוסל את שתי האפשרויות בבת אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

עבור איזה ערך של kk הפונקציה f(x)=x3+kx2+2xf(x) = x^3 + kx^2 + 2x היא אי-זוגית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

f(−x)=−x3+kx2−2xf(-x) = -x^3 + kx^2 - 2x

מציבים −x-x

−f(x)=−x3−kx2−2x-f(x) = -x^3 - kx^2 - 2x

ומולו

kx2=−kx2⇒k=0\begin{aligned}kx^2 &= -kx^2 \Rightarrow k \\ &= 0\end{aligned}

השוואה

האיבר kx2kx^2 הוא בחזקה זוגית באמצע פולינום אי-זוגי — הוא חייב להיעלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מה סוג הפונקציה f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}?

  1. לא זוגית ולא אי-זוגית
  2. תלוי ב-xx
  3. זוגית
  4. אי-זוגית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד אי-זוגית

הפתרון:

f(−x)=−xx2+1f(-x) = \frac{-x}{x^2 + 1}

המונה מתהפך, המכנה לא

=−xx2+1=−f(x)= -\frac{x}{x^2 + 1} = -f(x)

ולכן אי-זוגית

התשובה «אי-זוגית». מונה אי-זוגי חלקי מכנה זוגי נותן אי-זוגית — אותו כלל סימנים כמו בכפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ff זוגית ו-gg אי-זוגית, שתיהן מוגדרות לכל xx. מה סוג h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x)?

  1. תלוי בפונקציות
  2. לא זוגית ולא אי-זוגית
  3. אי-זוגית
  4. זוגית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אי-זוגית

הפתרון:

h(−x)=f(−x)⋅g(−x)h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)

מציבים

=f(x)⋅(−g(x))= f(x) \cdot (-g(x))

אחת נשארת, השנייה מתהפכת

=−h(x)= -h(x)

ולכן אי-זוגית

התשובה «אי-זוגית»: (+)⋅(−)=(−)(+) \cdot (-) = (-). למשל x2⋅x=x3x^2 \cdot x = x^3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ff ו-gg מוגדרות לכל xx, שתיהן אי-זוגיות. נסמן h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x). הוכיחו: hh זוגית.

  • f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) לכל xx
  • g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) לכל xx
  • h(x)=f(x)⋅g(x)h(x) = f(x) \cdot g(x)

h(−x)=h(x)h(-x) = h(x)

להציג את התשובה והפתרון
  1. h(−x)=f(−x)⋅g(−x)h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) — הצבת −x-x בהגדרת hh
  2. f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) — נתון — ff אי-זוגית
  3. g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) — נתון — gg אי-זוגית
  4. h(−x)=(−f(x))⋅(−g(x))h(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) — הצבת שני הנתונים בשורה הראשונה
  5. h(−x)=f(x)⋅g(x)h(-x) = f(x) \cdot g(x) — מכפלת שני מינוסים היא פלוס
  6. h(−x)=h(x)h(-x) = h(x) — וזו הגדרת hh — כלומר hh זוגית
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ff אי-זוגית ומוגדרת ב-x=0x = 0. הוכיחו: f(0)=0f(0) = 0.

  • f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) לכל xx בתחום
  • 00 נמצא בתחום ההגדרה

f(0)=0f(0) = 0

להציג את התשובה והפתרון
  1. f(−0)=−f(0)f(-0) = -f(0) — הצבת x=0x = 0 בהגדרת אי-זוגיות
  2. −0=0-0 = 0 — תכונת האפס
  3. f(0)=−f(0)f(0) = -f(0) — החלפת f(−0)f(-0) ב-f(0)f(0)
  4. 2f(0)=02f(0) = 0 — העברת אגף
  5. f(0)=0f(0) = 0 — חלוקה ב-22
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת