פונקציות חזקה והתנהגות באינסוף

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

פונקציית חזקה היא y=xny = x^n, כש-nn מספר טבעי. הכרתם כבר את x1x^1 (ישר) ואת x2x^2 (פרבולה). מתברר שכל המשפחה מתחלקת לשתי קבוצות בלבד, לפי הזוגיות של nn.

קודם מסתכלים: חזקות זוגיות

ועכשיו חזקות אי-זוגיות

דרך אילו שלוש נקודות עוברים כל הגרפים של חזקה זוגית? ושל חזקה אי-זוגית?

להציג את התשובה והפתרון

חזקה זוגית: (0,0)(0,0), (1,1)(1,1) ו-(−1,1)(-1,1), כי (−1)n=1(-1)^n = 1 כש-nn זוגי. חזקה אי-זוגית: (0,0)(0,0), (1,1)(1,1) ו-(−1,−1)(-1,-1), כי (−1)n=−1(-1)^n = -1 כש-nn אי-זוגי.

n זוגיn \ \text{זוגי}

הגרף סימטרי לציר ה-yy, כל הערכים ≥0\geq 0, ושני הקצוות הולכים למעלה: x→±∞⇒xn→∞x \to \pm\infty \Rightarrow x^n \to \infty.

n אי-זוגיn \ \text{אי-זוגי}

הגרף סימטרי לראשית, הפונקציה מקבלת כל ערך, הקצה השמאלי למטה והימני למעלה.

בין −1-1 ל-11 — הסדר מתהפך

בגרפים רואים ש-x4x^4 מתחת ל-x2x^2 ליד הראשית, ומעליה רחוק ממנה. הסיבה: כשכופלים מספר שקטן מ-11 בעצמו, הוא קטן. 0.52=0.250.5^2 = 0.25, אבל 0.54=0.06250.5^4 = 0.0625.

מה גדול יותר: 0.9100.9^{10} או 0.920.9^{2}? ומה גדול יותר: 1.1101.1^{10} או 1.121.1^2?

להציג את התשובה והפתרון

0.92=0.810.9^2 = 0.81 גדול מ-0.910≈0.350.9^{10} \approx 0.35: בסיס בין 00 ל-11 — חזקה גבוהה יותר קטנה יותר. ועם 1.11.1 ההפך: 1.110≈2.591.1^{10} \approx 2.59 גדול מ-1.12=1.211.1^2 = 1.21.

התנהגות באינסוף של פולינום — מי קובע?

בפולינום כמו f(x)=−2x3+5x2+1f(x) = -2x^3 + 5x^2 + 1, כש-xx גדול מאוד האיבר עם החזקה הגבוהה ביותר בולע את כל השאר. ב-x=100x = 100: −2x3=−2,000,000-2x^3 = -2{,}000{,}000, ואילו 5x2=50,0005x^2 = 50{,}000 בלבד. לכן את הקצוות של הגרף קובעים שני דברים: המעלה וסימן המקדם המוביל.

לאן הולכת f(x)=−2x3+5x2+1f(x) = -2x^3 + 5x^2 + 1?

מסתכלים רק על −2x3-2x^3.

x→∞:  x3→∞x \to \infty:\ \ x^3 \to \infty

חזקה אי-זוגית של מספר חיובי גדול

−2x3→−∞-2x^3 \to -\infty

המקדם שלילי הופך את הכיוון

x→−∞:  x3→−∞⇒−2x3→∞x \to -\infty:\ \ x^3 \to -\infty \Rightarrow -2x^3 \to \infty

ובצד השמאלי — ההפך

↖ ⋯ ↘\nwarrow \ \cdots \ \searrow

שמאל למעלה, ימין למטה — תמונת הקצוות של הגרף

למה לפולינום ממעלה אי-זוגית יש תמיד שורש

האם ייתכן פולינום ממעלה 44 שאין לו אף שורש? הביאו דוגמה או הסבירו למה לא.

להציג את התשובה והפתרון

ייתכן. למשל f(x)=x4+1f(x) = x^4 + 1: תמיד x4≥0x^4 \geq 0, ולכן f(x)≥1f(x) \geq 1. בחזקה זוגית שני הקצוות באותו צד, ואין סיבה שהגרף יחצה את הציר.

אסור לכתוב ∞−∞=0\infty - \infty = 0 או «להציב ∞\infty». כדי לדעת לאן הולך פולינום, מסתכלים על האיבר המוביל בלבד, ומתארים את הכיוון בחץ.

הטעויות של פונקציות החזקה.

x4>x2  (x≠0)x^4 > x^2 \ \ (x \neq 0)
x4<x2  (0<∣x∣<1)x^4 < x^2 \ \ (0 < |x| < 1)

בין −1-1 ל-11 חזקה גבוהה יותר קטנה יותר. בדיקה: 0.54=0.0625<0.25=0.520.5^4 = 0.0625 < 0.25 = 0.5^2.

x→−∞: −2x3→−∞x \to -\infty:\ -2x^3 \to -\infty
x→−∞: −2x3→∞x \to -\infty:\ -2x^3 \to \infty

שני מינוסים: x3x^3 שלילי, והמקדם −2-2 הופך אותו לחיובי.

תרגילים

תרגיל 1

לאן הולכים ערכי f(x)=−x4+10x3f(x) = -x^4 + 10x^3 כאשר x→∞x \to \infty?

  1. f(x)→10f(x) \to 10
  2. f(x)→∞f(x) \to \infty
  3. f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  4. f(x)→0f(x) \to 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג f(x)→−∞f(x) \to -\infty

הפתרון:

−x4-x^4

האיבר המוביל

x4→∞⇒−x4→−∞x^4 \to \infty \Rightarrow -x^4 \to -\infty

המקדם שלילי

x=100: −108+107<0x = 100:\ -10^8 + 10^7 < 0

בדיקה במספר

התשובה f(x)→−∞f(x) \to -\infty. המלכודת: המקדם 1010 גדול, אבל הוא יושב על חזקה נמוכה יותר. רחוק מהראשית רק האיבר המוביל קובע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הגרפים של y=x5y = x^5 ושל y=x3y = x^3 נחתכים בשלוש נקודות בדיוק.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x5=x3x^5 = x^3

משווים

x3(x2−1)=0x^3(x^2 - 1) = 0

מוציאים גורם משותף — לא מחלקים ב-x3x^3

x=0 x=1 x=−1\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 1 \\ \ x &= -1\end{aligned}

שלוש נקודות: (0,0)(0,0), (1,1)(1,1), (−1,−1)(-1,-1)

הטענה נכונה. מי שמחלק את שני האגפים ב-x3x^3 מאבד את x=0x = 0 ומקבל רק שתיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מיינו את הפונקציות לפי הסימטריה של הגרף

  • סימטרי לציר ה-yy
  • סימטרי לראשית
  • y=−x3y = -x^3
  • y=−x4y = -x^4
  • y=2x5y = 2x^5
  • y=3x2y = 3x^2
  • y=x6y = x^6
  • y=x7y = x^7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=x6y = x^6 — סימטרי לציר ה-yy · y=−x4y = -x^4 — סימטרי לציר ה-yy · y=3x2y = 3x^2 — סימטרי לציר ה-yy · y=x7y = x^7 — סימטרי לראשית · y=−x3y = -x^3 — סימטרי לראשית · y=2x5y = 2x^5 — סימטרי לראשית

הפתרון:

(−x)6=x6(-x)^6 = x^6

חזקה זוגית מוחקת את המינוס

(−x)7=−x7(-x)^7 = -x^7

חזקה אי-זוגית שומרת עליו

−(−x)4=−x4-(-x)^4 = -x^4

מקדם שלילי לא משנה את סוג הסימטריה

המלכודת: −x4-x^4 נראית «הפוכה», אבל היא עדיין סימטרית לציר ה-yy. את הסימטריה קובעת החזקה, לא סימן המקדם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לאיזה מהפולינומים הבאים בוודאות יש שורש, עוד לפני כל חישוב?

  1. x6−x2+3x^6 - x^2 + 3
  2. x3+x2+5x^3 + x^2 + 5
  3. x4+1x^4 + 1
  4. x2+x+1x^2 + x + 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x3+x2+5x^3 + x^2 + 5

הפתרון:

מעלה 3 אי-זוגית\text{מעלה } 3 \ \text{אי-זוגית}

הקצוות בצדדים הפוכים של הציר

f(−3)=−27+9+5=−13<0 f(0)=5>0\begin{aligned}f(-3) &= -27 + 9 + 5 \\ &= -13 < 0 \\ \ f(0) &= 5 > 0\end{aligned}

ואכן יש מעבר סימן

התשובה x3+x2+5x^3 + x^2 + 5. לשלושת האחרים המעלה זוגית, ולכן אין הבטחה — ובדיוק להם אין שורש. מעלה אי-זוגית מבטיחה שורש; מעלה זוגית לא מבטיחה כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

סדרו מהערך הקטן לגדול, כאשר x=12x = \frac{1}{2}

  • x2x^2
  • x3x^3
  • x4x^4
  • xx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x4x^4 · x3x^3 · x2x^2 · xx

הפתרון:

116<18<14<12\frac{1}{16} < \frac{1}{8} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}

מחשבים כל חזקה

בין 00 ל-11 החזקה הגבוהה ביותר היא הקטנה ביותר. מי שסידר x,x2,x3,x4x, x^2, x^3, x^4 חשב כמו על מספר גדול מ-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

גרף של פולינום ממעלה 33 יורד לכיוון −∞-\infty כאשר x→∞x \to \infty. מה אפשר לומר על המקדם של x3x^3?

  1. הוא אפס
  2. הוא חיובי
  3. אי אפשר לדעת
  4. הוא שלילי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הוא שלילי

הפתרון:

ax3, x→∞ax^3 ,\ x \to \infty

רק האיבר המוביל קובע

a>0⇒ax3→∞a > 0 \Rightarrow ax^3 \to \infty

היה עולה

a<0⇒ax3→−∞a < 0 \Rightarrow ax^3 \to -\infty

וזה מה שקורה

התשובה «הוא שלילי». ואם המקדם היה אפס, זה כבר לא היה פולינום ממעלה 33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

השלימו

הגרף של f(x)=xnf(x) = x^n עובר בנקודה (−2, −32)(-2,\,-32). לכן n=n = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הגרף של f(x)=xnf(x) = x^n עובר בנקודה (−2, −32)(-2,\,-32). לכן n=n = 5

הפתרון:

(−2)n=−32(-2)^n = -32

מציבים את הנקודה

25=322^5 = 32

בערך מוחלט

(−2)5=−32(-2)^5 = -32

והסימן שלילי: nn אי-זוגי

המלכודת: לחשב רק 2n=322^n = 32 ולשכוח את הסימן. כאן הסימן מאשר את התשובה: חזקה אי-זוגית של מספר שלילי היא שלילית. אילו הנקודה הייתה (−2, 32)(-2,\,32), לא היה nn מתאים — 2n=322^n = 32 מחייב n=5n = 5, ו-(−2)5(-2)^5 שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לכל xx מתקיים x4≥x2x^4 \geq x^2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x=0.5:  x4=0.0625 x2=0.25\begin{aligned}x &= 0.5:\ \ x^4 \\ &= 0.0625 \\ \ x^2 &= 0.25\end{aligned}

דוגמה נגדית

0.0625<0.250.0625 < 0.25

האי-שוויון נשבר

הטענה שגויה, ומספיקה דוגמה נגדית אחת. x4≥x2x^4 \geq x^2 נכון רק כאשר ∣x∣≥1|x| \geq 1 או x=0x = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בכמה נקודות נחתכים הגרפים של y=x4y = x^4 ושל y=x2y = x^2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x4−x2=0x^4 - x^2 = 0

מעבירים אגף

x2(x−1)(x+1)=0x^2(x - 1)(x + 1) = 0

מפרקים

x=0 1 −1\begin{aligned}x &= 0 \\ \ 1 \\ \ -1\end{aligned}

שלושה ערכי xx שונים

הטעות: לחלק ב-x2x^2 ולקבל רק x=±1x = \pm 1. לא מחלקים בביטוי שיכול להיות אפס — מוציאים אותו גורם משותף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גרף הפונקציה
-3-2-10123-5-4-3-2-112345xy

לפניכם גרף של פולינום ממעלה 33. איזו נוסחה יכולה להתאים לו?

  1. y=x3−3xy = x^3 - 3x
  2. y=−x3+3xy = -x^3 + 3x
  3. y=x4−3x2y = x^4 - 3x^2
  4. y=−x4+3x2y = -x^4 + 3x^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=−x3+3xy = -x^3 + 3x

הפתרון:

↖ ⋯ ↘\nwarrow \ \cdots \ \searrow

שמאל למעלה, ימין למטה — קצוות בצדדים הפוכים: מעלה אי-זוגית, מקדם מוביל שלילי

x=1: −1+3=2\begin{aligned}x &= 1:\ -1 + 3 \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: בגרף y=2y = 2 ב-x=1x = 1

התשובה y=−x3+3xy = -x^3 + 3x. x3−3xx^3 - 3x היא אותו גרף הפוך (ימין למעלה), ושתי החזקות הרביעיות נפסלות כי אצלן שני הקצוות באותו צד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת