מושג הפונקציה והפונקציות הבסיסיות · מבוא לאנליזה של פונקציות · כיתה י׳

בכיתה ט הכרתם שתי פונקציות: הישר והפרבולה. בפרק הזה בונים חוש לפונקציות — לראות נוסחה ולדמיין מיד את הגרף שלה, בלי טבלת ערכים ארוכה. מתחילים מארבע פונקציות בסיסיות שיחזרו בכל הפרקים הבאים.

פונקציה: לכל $x$ — ערך אחד בלבד

פונקציה היא כלל שמתאים לכל $x$ שמותר להציב ערך $y$ אחד בדיוק. אוסף ה- $x$ שמותר להציב נקרא תחום ההגדרה. בגרף: כל ישר אנכי פוגש את הגרף לכל היותר פעם אחת.

האם הישר $x = 2$ הוא גרף של פונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. לאותו $x = 2$ מתאימים אינסוף ערכים של $y$ : $(2,0)$ , $(2,1)$ , $(2,-5)$ ועוד — ישר אנכי הוא בדיוק מה שפונקציה אסורה להיות. לעומת זאת $y = 2$ כן פונקציה: לכל $x$ הערך הוא $2$ .

ארבע פונקציות בסיסיות — קודם מסתכלים

הגרפים של y = |x| ושל y = √x

y = |x|
y = √x

$y = |x|$ נראית כמו האות V: היא מוגדרת לכל $x$ , ערכיה אף פעם לא שליליים, והקדקוד שלה בראשית. $y = \sqrt{x}$ מתחילה בראשית ומתקדמת רק ימינה — אין שורש ריבועי למספר שלילי — והיא עולה, אבל לאט יותר ויותר.

הגרפים של y = 1/x ושל y = 1/x²

y = 1/x
y = 1/x²

$y = \frac{1}{x}$ ו- $y = \frac{1}{x^2}$ אינן מוגדרות ב- $x = 0$ , ולכן הגרף שלהן נקרע לשני ענפים. ל- $\frac{1}{x}$ ענף ברביע הראשון וענף ברביע השלישי. ל- $\frac{1}{x^2}$ שני הענפים מעל ציר ה- $x$ , כי ריבוע של מספר שונה מאפס תמיד חיובי.

איזו משתי הפונקציות, $\frac{1}{x}$ או $\frac{1}{x^2}$ , מקבלת ערכים שליליים? ובאילו $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

רק $\frac{1}{x}$ , וזה קורה בדיוק כש- $x < 0$ . למשל $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$ , אבל $\frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$ .

תחום ההגדרה — שני כללים

\frac{\dots}{g(x)}

המכנה שונה מאפס: $g(x) \neq 0$ .

\sqrt{g(x)}

מה שמתחת לשורש אי-שלילי: $g(x) \geq 0$ .

כשיש גם שורש וגם מכנה, התנאים חלים יחד, וצריך לקיים את כולם.

תחום ההגדרה של $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}$

שני תנאים, ואחר כך משלבים אותם.

x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3

תנאי השורש

x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2

תנאי המכנה

x \geq -3 ,\ x \neq 2

שני התנאים יחד — זה תחום ההגדרה

מה קורה כש- $x$ מתרחק מאוד

x \to \infty:\ \ \frac{1}{x} \to 0

ככל ש- $x$ גדל, $\frac{1}{x}$ מתקרבת ל- $0$ ולא מגיעה אליו. אותו דבר ל- $\frac{1}{x^2}$ , ומהר יותר.

x \to \infty:\ \ \sqrt{x} \to \infty

השורש גדל בלי גבול — לאט, אבל לא נעצר באף מספר: $\sqrt{10000} = 100$ .

x \to 0^{+}:\ \ \frac{1}{x} \to \infty

כש- $x$ קטן וחיובי, $\frac{1}{x}$ עצום: $\frac{1}{0.001} = 1000$ .

הסימן $\infty$ אינו מספר, ולא מציבים אותו בנוסחה. הכתיב $x \to \infty$ אומר רק « $x$ גדל בלי גבול», והחץ שאחריו מתאר לאן הערכים הולכים.

שלוש הטעויות של הפונקציות הבסיסיות.

\sqrt{x-3}:\ x > 3

\sqrt{x-3}:\ x \geq 3

שורש של אפס קיים: $\sqrt{0} = 0$ . רק במכנה האפס אסור.

\frac{1}{x^2} < 0 \ (x < 0)

\frac{1}{x^2} > 0 \ (x \neq 0)

הריבוע מוחק את הסימן לפני החלוקה. שני הענפים של $\frac{1}{x^2}$ מעל הציר.

-1 < 1 \Rightarrow \frac{1}{-1} > \frac{1}{1}

\begin{aligned}\frac{1}{-1} &= -1 < 1 \\ &= \frac{1}{1}\end{aligned}

הפונקציה $\frac{1}{x}$ יורדת בכל ענף בנפרד, לא בכל תחום ההגדרה. המעבר מענף לענף קופץ.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של $y = \frac{1}{x - 3}$ ?

$x \geq 3$
כל $x$
$x > 3$
כל $x$ פרט ל-3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כל $x$ פרט ל-3

הפתרון:

x - 3 \neq 0

המכנה אסור שיתאפס

x \neq 3

כל שאר המספרים מותרים

התשובה «כל $x$ פרט ל-3». מי שבחר $x > 3$ הפעיל את כלל השורש על שבר — במכנה רק מספר אחד נפסל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו ה- $x$ הגדול ביותר שמותר להציב בפונקציה $f(x) = \sqrt{8 - 2x}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

8 - 2x \geq 0

תנאי השורש

-2x \geq -8

מעבירים אגף

x \leq 4

מחלקים ב- $(-2)$ והופכים את סימן אי-השוויון

התחום הוא $x \leq 4$ , ולכן הגדול ביותר הוא $4$ . הטעות הנפוצה: לשכוח להפוך את הסימן בחלוקה במספר שלילי, ולקבל $x \geq 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+5}}{x-1}$ ?

$x \geq -5$ וגם $x \neq 1$
$x > -5$ וגם $x \neq 1$
$x \geq -5$
$x \neq 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x \geq -5$ וגם $x \neq 1$

הפתרון:

x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5

תנאי השורש במונה

x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1

תנאי המכנה

x \geq -5 ,\ x \neq 1

שני התנאים יחד

התשובה « $x \geq -5$ וגם $x \neq 1$ ». השורש נמצא במונה, ולכן $x = -5$ מותר ( $f(-5) = 0$ ). מי שכתב $x > -5$ התבלבל עם שורש במכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מיינו: איזו פונקציה מוגדרת לכל $x$ , ואיזו לא?

מוגדרת לכל $x$
יש $x$ שאסור להציב

$\frac{1}{x-1}$
$\frac{1}{x^2}$
$\frac{1}{x^2+1}$
$\sqrt{x}$
$\sqrt{x^2+4}$
$|x|$
$x^3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $|x|$ — מוגדרת לכל $x$ · $x^3$ — מוגדרת לכל $x$ · $\frac{1}{x^2+1}$ — מוגדרת לכל $x$ · $\sqrt{x^2+4}$ — מוגדרת לכל $x$ · $\sqrt{x}$ — יש $x$ שאסור להציב · $\frac{1}{x^2}$ — יש $x$ שאסור להציב · $\frac{1}{x-1}$ — יש $x$ שאסור להציב

הפתרון:

x^2 + 1 \geq 1 > 0

המכנה לעולם לא מתאפס

x^2 + 4 \geq 4 > 0

מתחת לשורש תמיד חיובי

\sqrt{-1},\ \frac{1}{0^2},\ \frac{1}{1-1}

שלוש הצבות אסורות

המלכודת היא $\frac{1}{x^2+1}$ ו- $\sqrt{x^2+4}$ : יש בהן מכנה ושורש, ובכל זאת אין אף $x$ אסור. בודקים את הביטוי, לא את הצורה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לפונקציה $y = \frac{1}{x}$ — יש נקודת חיתוך עם הצירים?

כן, בראשית
רק עם ציר ה- $y$
לא, אף אחת
רק עם ציר ה- $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא, אף אחת

הפתרון:

x = 0 \ \Rightarrow\ \frac{1}{0}

אסור להציב — אין חיתוך עם ציר ה- $y$

\begin{aligned}\frac{1}{x} &= 0 \ \Rightarrow\ 1 \\ &= 0\end{aligned}

אין פתרון — אין חיתוך עם ציר ה- $x$

התשובה «לא, אף אחת». שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס, והמונה כאן הוא $1$ . שני הצירים הם בדיוק הקווים שהגרף מתקרב אליהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

התאימו לכל פונקציה את התיאור של הגרף שלה

$y = |x|$
$y = \sqrt{x}$
$y = \frac{1}{x}$
$y = \frac{1}{x^2}$

יוצאת מהראשית, רק ימינה, ועולה לאט
צורת V, והקדקוד בראשית
שני ענפים, שניהם מעל ציר ה- $x$
שני ענפים: ברביע הראשון וברביע השלישי

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y = |x|$ — צורת V, והקדקוד בראשית · $y = \sqrt{x}$ — יוצאת מהראשית, רק ימינה, ועולה לאט · $y = \frac{1}{x}$ — שני ענפים: ברביע הראשון וברביע השלישי · $y = \frac{1}{x^2}$ — שני ענפים, שניהם מעל ציר ה- $x$

הפתרון:

\begin{aligned}|-2| &= 2 \\ \ |2| &= 2\end{aligned}

אותו גובה משני הצדדים: V

\begin{aligned}\frac{1}{-2} &= -\frac{1}{2} \\ \ \frac{1}{(-2)^2} &= \frac{1}{4}\end{aligned}

רק $\frac{1}{x}$ יורדת מתחת לציר

את $\frac{1}{x}$ ואת $\frac{1}{x^2}$ מבדילים בהצבה אחת של מספר שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הפונקציה $f(x) = \frac{1}{x}$ יורדת, ולכן $f(-1) > f(1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f(-1) &= -1 \\ \ f(1) &= 1\end{aligned}

מציבים

-1 < 1

כלומר $f(-1) < f(1)$

הטענה שגויה. $\frac{1}{x}$ יורדת בכל ענף לחוד ( $x<0$ וגם $x>0$ ), אבל בין הענפים יש קפיצה. אי אפשר להשוות נקודה מענף אחד לנקודה מהענף השני בעזרת «יורדת».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

איזו פונקציה בגרף?

לפניכם גרף של אחת מהפונקציות הבסיסיות. איזו?

$y = \frac{1}{x}$
$y = |x|$
$y = \sqrt{x}$
$y = \frac{1}{x^2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $y = \frac{1}{x^2}$

הפתרון:

x = 0 \ \text{אסור}

הגרף נקרע ב- $x=0$ : רק שתי הפונקציות עם המכנה

\begin{aligned}x &= -1:\ \ y \\ &= 1 > 0\end{aligned}

הענף השמאלי מעל הציר: לא $\frac{1}{x}$

התשובה $y = \frac{1}{x^2}$ . שני ענפים → יש מכנה; שניהם מעל הציר → ריבוע במכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה מספרים שלמים נמצאים בתחום ההגדרה של $f(x) = \dfrac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{x+2}}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

5 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5

השורש שבמונה

x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2

השורש שבמכנה — חיובי ממש

-2 < x \leq 5

התחום

-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

שבעה מספרים שלמים

המלכודת: לספור גם את $-2$ . שורש במכנה חייב להיות חיובי ממש, כי $\sqrt{0} = 0$ ואסור לחלק באפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כאשר $x \to \infty$ , הערכים של $\sqrt{x}$ מתקרבים למספר קבוע, כי הגרף «משתטח».

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt{100} &= 10 \\ \ \sqrt{10^6} &= 1000\end{aligned}

מציבים מספרים גדולים

x \to \infty \Rightarrow \sqrt{x} \to \infty

אין מספר שהשורש לא יעבור

הטענה שגויה. הגרף נראה משתטח כי הוא עולה לאט, אבל לכל מספר $M$ יש $x$ שבו $\sqrt{x} > M$ : למשל $x = M^2 + 1$ . עלייה איטית אינה עצירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

פונקציה: לכל xxx — ערך אחד בלבד

ארבע פונקציות בסיסיות — קודם מסתכלים

תחום ההגדרה — שני כללים

מה קורה כש-xxx מתרחק מאוד

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

פונקציה: לכל $x$ — ערך אחד בלבד

מה קורה כש- $x$ מתרחק מאוד