תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: עלייה וירידה, נקודות קיצון, קריאה מגרף הנגזרת, קטע סגור, פרמטרים, מספר הפתרונות של f(x)=kf(x)=k ופונקציה קדומה. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

לפונקציה ff נתונה הנגזרת f′(x)=3x−6f'(x)=3x-6. באיזה תחום ff עולה?

  1. x>6x>6
  2. x>2x>2
  3. x<2x<2
  4. x>−2x>-2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x>2x>2

הפתרון:

3x−6>03x-6>0

עולה היכן שהנגזרת חיובית

x>2x>2

הפונקציה עולה ב-x>2x>2 ויורדת ב-x<2x<2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גרף הנגזרת f′f' חוצה את ציר ה-xx ממינוס לפלוס בנקודה x=−1x=-1. לכן יש ל-ff נקודת מינימום ב-x=−1x=-1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x<−1: f′<0x<-1:\ f'<0

ff יורדת

x>−1: f′>0x>-1:\ f'>0

ff עולה

הטענה נכונה: ירידה ואחריה עלייה — מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזו מהפונקציות הבאות היא פונקציה קדומה של f(x)=4x3−2xf(x)=4x^3-2x?

  1. x4−2x2x^4-2x^2
  2. 4x4−2x24x^4-2x^2
  3. x4−x2+5x^4-x^2+5
  4. 12x2−212x^2-2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x4−x2+5x^4-x^2+5

הפתרון:

(x4−x2+5)′=4x3−2x(x^4-x^2+5)'=4x^3-2x

בודקים בגזירה

FF קדומה של ff אם F′=fF'=f. הקבוע 55 לא משנה שום שיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

נתונה f(x)=x3−12x+3f(x)=x^3-12x+3. מהו ערך המקסימום המקומי של ff (שיעור ה-yy)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19

הפתרון:

f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12 \\ &= 3(x-2)(x+2)\end{aligned}
x=−2 x=2\begin{aligned}x &= -2 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות חשודות

x<−2: +−2<x<2: −x>2: +x<-2:\ +\quad -2<x<2:\ -\quad x>2:\ +

טבלת סימנים: מקסימום ב-x=−2x=-2

f(−2)=−8+24+3=19\begin{aligned}f(-2) &= -8+24+3 \\ &= 19\end{aligned}

המקסימום המקומי הוא (−2, 19)(-2,\,19). שאלו ערך — לכן 1919, לא −2-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע −1≤x≤4-1 \le x \le 4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-6x \\ &= 3x(x-2)\end{aligned}

חשודות: x=0x=0, x=2x=2

f(0)=0f(2)=−4\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= -4\end{aligned}

הקיצונים בתוך הקטע

f(−1)=−4f(4)=64−48=16\begin{aligned}f(-1) &= -4 \\ \quad f(4) &= 64-48 \\ &= 16\end{aligned}

הקצוות

הגדול ביותר הוא 1616, בקצה x=4x=4 — הקצה מנצח את המקסימום המקומי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון f′(x)=3x2−4xf'(x)=3x^2-4x, והגרף של ff עובר בנקודה (2, 5)(2,\,5). חשבו את f(3)f(3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

f(x)=x3−2x2+Cf(x)=x^3-2x^2+C

פונקציה קדומה — עם +C+C

8−8+C=5⇒C=5\begin{aligned}8-8+C &= 5 \Rightarrow C \\ &= 5\end{aligned}

מציבים את הנקודה

f(3)=27−18+5=14\begin{aligned}f(3) &= 27-18+5 \\ &= 14\end{aligned}

f(x)=x3−2x2+5f(x)=x^3-2x^2+5, ו-f(3)=14f(3)=14.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מספר המבקרים בספארי ברמת גן, tt שעות אחרי הפתיחה, הוא n(t)=−t3+6t2+15t+100n(t)=-t^3+6t^2+15t+100, עבור 0≤t≤80 \le t \le 8. אחרי כמה שעות מספר המבקרים הוא הגדול ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

n′(t)=−3t2+12t+15=−3(t−5)(t+1)\begin{aligned}n'(t) &= -3t^2+12t+15 \\ &= -3(t-5)(t+1)\end{aligned}
t=5t=5

החשודה היחידה בקטע; n′n' עובר מ-++ ל-−-

n(0)=100n(5)=200n(8)=92\begin{aligned}n(0) &= 100 \\ \quad n(5) &= 200 \\ \quad n(8) &= 92\end{aligned}

משווים לקצוות

אחרי 55 שעות — 200200 מבקרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

לפונקציה f(x)=x3+ax2+9xf(x)=x^3+ax^2+9x יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מצאו את aa, ורשמו את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון השנייה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=3x2+2ax+9f'(x)=3x^2+2ax+9
f′(1)=12+2a=0⇒a=−6\begin{aligned}f'(1) &= 12+2a \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= -6\end{aligned}

קיצון — f′=0f'=0

f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\ &= 3(x-1)(x-3)\end{aligned}

הנגזרת מחליפה סימן בשני השורשים: נקודת הקיצון השנייה ב-x=3x=3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x3−12xf(x)=x^3-12x. לכמה ערכים שלמים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x)=k שלושה פתרונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31

הפתרון:

f′(x)=3x2−12⇒x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12 \Rightarrow x \\ &= \pm2\end{aligned}
f(−2)=16f(2)=−16\begin{aligned}f(-2) &= 16 \\ \quad f(2) &= -16\end{aligned}

מקסימום ומינימום

−16<k<16-16<k<16

ישר אופקי בין שני הקיצונים חותך שלוש פעמים

k=−15 … 15\begin{aligned}k &= -15 \\ \ \dots \\ \ 15\end{aligned}

3131 ערכים שלמים. ב-k=±16k=\pm16 יש רק שני פתרונות — הישר משיק בקיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לתוך מאגר מים בגליל זורמים מים. קצב השינוי של כמות המים (באלפי מ״ק לשעה) הוא V′(t)=6t−t2V'(t)=6t-t^2, עבור 0≤t≤80 \le t \le 8. בתחילה, V(0)=20V(0)=20. מהי הכמות הגדולה ביותר של מים במאגר (באלפי מ״ק) בקטע הזה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 56

הפתרון:

V(t)=3t2−t33+CC=20\begin{aligned}V(t) &= 3t^2-\frac{t^3}{3}+C \\ \quad C &= 20\end{aligned}

פונקציה קדומה, ו-V(0)=20V(0)=20

V′(t)=t(6−t)=0⇒t=6\begin{aligned}V'(t) &= t(6-t) \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 6\end{aligned}

V′V' עובר מ-++ ל-−-

V(6)=108−72+20=56\begin{aligned}V(6) &= 108-72+20 \\ &= 56\end{aligned}
V(8)=192−5123+20≈41.3V(8)=192-\frac{512}{3}+20 \approx 41.3

הקצה — קטן יותר

הכמות הגדולה ביותר היא 5656 אלפי מ״ק, אחרי 66 שעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת