סדרה 5 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בנוסח הבגרות. חלקן בנויות כזוג: אותה פונקציה בשני סעיפים. כל שאלה מבקשת את הסעיף האחרון, אבל אי אפשר להגיע אליו בלי הקודמים.

בבגרות כותבים נימוק לכל מסקנה: «מקסימום, כי הנגזרת עוברת מ-++ ל-−-». כתבו אותו גם כאן, בטיוטה — הוא מה שתופס את הטעות לפני שהיא עולה נקודות.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−2f(x)=x^3-6x^2+9x-2. א. מצאו את נקודות הקיצון של ff. ב. מהו הערך הקטן ביותר של ff בקטע −1≤x≤4-1 \le x \le 4? (הקלידו את התשובה לסעיף ב.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -18

הפתרון:

f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\ &= 3(x-1)(x-3)\end{aligned}

גוזרים

max⁡(1, 2),min⁡(3, −2)\max(1,\,2) ,\quad \min(3,\,-2)

סעיף א

f(−1)=−1−6−9−2=−18  f(4)=2\begin{aligned}f(-1) &= -1-6-9-2 \\ &= -18 \\ \ \ f(4) &= 2\end{aligned}

הקצוות

min⁡=f(−1)=−18\begin{aligned}\min &= f(-1) \\ &= -18\end{aligned}

סעיף ב

הערך הקטן ביותר בקטע הוא −18-18, בקצה x=−1x=-1 — לא המינימום המקומי −2-2. בלי הצבת הקצוות מפספסים אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−2f(x)=x^3-6x^2+9x-2 (אותה פונקציה). עבור אילו ערכי kk למשוואה f(x)=kf(x)=k יש שלושה פתרונות?

  1. −2≤k≤2-2 \le k \le 2
  2. 1<k<31<k<3
  3. −2<k<2-2<k<2
  4. −18<k<2-18<k<2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג −2<k<2-2<k<2

הפתרון:

max⁡=2min⁡=−2\begin{aligned}\max &= 2 \\ \quad \min &= -2\end{aligned}

ערכי הקיצון מסעיף א

−2<k<2-2<k<2

ממש ביניהם

התשובה: −2<k<2-2<k<2. «−18<k<2-18<k<2» ערבב את הערך בקצה הקטע, אבל המשוואה נשאלת על כל xx. «1<k<31<k<3» לקח את מקומות הקיצון במקום ערכיהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

גרף הפונקציה f(x)=x3+ax2+bx+cf(x)=x^3+ax^2+bx+c חותך את ציר yy בנקודה (0, 1)(0,\,1), ויש לו נקודת קיצון ב-(2, −3)(2,\,-3). מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f(0)=c=1\begin{aligned}f(0) &= c \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך עם ציר yy

f′(2)=12+4a+b=0\begin{aligned}f'(2) &= 12+4a+b \\ &= 0\end{aligned}

הקיצון

f(2)=8+4a+2b+1=−3⇒2a+b=−6\begin{aligned}f(2) &= 8+4a+2b+1 \\ &= -3 \Rightarrow 2a+b \\ &= -6\end{aligned}

הנקודה

(4a+b)−(2a+b)=−12+6⇒a=−3 b=0\begin{aligned}(4a+b)-(2a+b) &= -12+6 \Rightarrow a \\ &= -3 \\ \ b &= 0\end{aligned}

מחסרים

שלושה נעלמים — שלוש משוואות. והבדיקה: f(x)=x3−3x2+1f(x)=x^3-3x^2+1, f′(x)=3x(x−2)f'(x)=3x(x-2), ב-x=2x=2 מינימום ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

גרף הנגזרת f′
-2-101234-5-4-3-2-112345xy

בציור גרף הנגזרת f′f': פרבולה פתוחה כלפי מטה, החותכת את ציר xx ב-−1-1 וב-33, וקדקודה ב-x=1x=1. איזו טענה על ff נכונה?

  1. ל-ff יש מינימום ב-x=−1x=-1 ומקסימום ב-x=3x=3
  2. ל-ff יש מקסימום ב-x=1x=1
  3. f(3)<f(0)f(3)<f(0)
  4. ff עולה בתחום x>3x>3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ל-ff יש מינימום ב-x=−1x=-1 ומקסימום ב-x=3x=3

הפתרון:

x<−1:−,  −1<x<3:+,  x>3:−x<-1: -,\ \ -1<x<3: +,\ \ x>3: -

הסימנים מהגרף

min⁡:x=−1max⁡:x=3\begin{aligned}\min: x &= -1 \\ \quad \max: x &= 3\end{aligned}

המעברים

0<3, f↗⇒f(0)<f(3)0<3,\ f \nearrow \Rightarrow f(0)<f(3)

ולכן f(3)<f(0)f(3)<f(0) שגוי

התשובה: מינימום ב-x=−1x=-1 ומקסימום ב-x=3x=3. הקדקוד ב-x=1x=1 הוא הנקודה שבה ff עולה הכי מהר — לא קיצון שלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון f′(x)=6x2−6f'(x)=6x^2-6. ערך המינימום המקומי של ff הוא −1-1. מהו ערך המקסימום המקומי של ff?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

f(x)=2x3−6x+Cf(x)=2x^3-6x+C

פונקציה קדומה

x=1: −→+ (min⁡)x=−1: +→− (max⁡)\begin{aligned}x &= 1: \ - \to + \ (\min) \\ \quad x &= -1: \ + \to - \ (\max)\end{aligned}

מהנגזרת

f(1)=−4+C=−1⇒C=3\begin{aligned}f(1) &= -4+C \\ &= -1 \Rightarrow C \\ &= 3\end{aligned}

המינימום נותן את CC

f(−1)=−2+6+3=7\begin{aligned}f(-1) &= -2+6+3 \\ &= 7\end{aligned}

המקסימום

ערך המינימום הוא נתון על ff, ולכן מציבים אותו ב-ff עם CC — לא בנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x3−3px2+3p2xf(x)=x^3-3px^2+3p^2x, כאשר pp פרמטר. הוכיחו כי לכל pp אין ל-ff נקודות קיצון.

  • f(x)=x3−3px2+3p2xf(x)=x^3-3px^2+3p^2x

לכל pp אין ל-ff נקודות קיצון

להציג את התשובה והפתרון
  1. f′(x)=3x2−6px+3p2f'(x)=3x^2-6px+3p^2 — גזירה איבר-איבר; pp קבוע
  2. f′(x)=3(x−p)2f'(x)=3(x-p)^2 — גורם משותף 33 וריבוע של הפרש
  3. f′(x)≥0f'(x) \ge 0 לכל xx, ומתאפסת רק ב-x=px=p — ריבוע אינו שלילי
  4. הנגזרת אינה מחליפה סימן באף נקודה — סימן אחד משני צדי x=px=p
  5. לכל pp אין ל-ff נקודות קיצון — קיצון מחייב החלפת סימן של הנגזרת
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x3+axf(x)=x^3+ax. המשיק לגרף ff בנקודה שבה x=1x=1 מקביל לציר ה-xx. א. מצאו את aa. ב. מהו ערך המקסימום המקומי של ff? (הקלידו את התשובה לסעיף ב.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(1)=3+a=0⇒a=−3\begin{aligned}f'(1) &= 3+a \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

מקביל לציר xx — שיפוע 00

f′(x)=3(x−1)(x+1)f'(x)=3(x-1)(x+1)

החשודות ±1\pm1

x=−1: +→−x=-1: \ + \to -

המקסימום

f(−1)=−1+3=2\begin{aligned}f(-1) &= -1+3 \\ &= 2\end{aligned}

הערך

המשיק ב-x=1x=1 אופקי, אבל שם יש מינימום (f(1)=−2f(1)=-2). המקסימום בנקודה האחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: לכל ערך של aa, לפונקציה f(x)=x4+ax2f(x)=x^4+ax^2 יש נקודת קיצון ב-x=0x=0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=4x3+2ax=2x(2x2+a)\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3+2ax \\ &= 2x(2x^2+a)\end{aligned}

גוזרים

a>0: סימן f′=סימן x ⇒min⁡a>0: \ \text{סימן } f' = \text{סימן } x \ \Rightarrow \min

ליד 00 הסוגריים חיוביים

a<0: 2x2+a<0 ⇒max⁡a<0: \ 2x^2+a<0 \ \Rightarrow \max

ליד 00 הסוגריים שליליים: הסימן הפוך לסימן של xx

a=0: f=x4⇒min⁡\begin{aligned}a &= 0: \ f \\ &= x^4 \Rightarrow \min\end{aligned}

גם כאן החלפת סימן

נכון. בכל המקרים הנגזרת מחליפה סימן ב-00 — רק סוג הקיצון תלוי ב-aa. מי שבדק רק a>0a>0 הוכיח חצי מהטענה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x3−3x2+cf(x)=x^3-3x^2+c. בקטע 1≤x≤31 \le x \le 3 הערך הקטן ביותר של ff הוא −1-1. מהו הערך הגדול ביותר של ff בקטע זה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=3x(x−2)f'(x)=3x(x-2)

בתוך הקטע רק x=2x=2

f(2)=−4+c=−1⇒c=3\begin{aligned}f(2) &= -4+c \\ &= -1 \Rightarrow c \\ &= 3\end{aligned}

הקטן ביותר — במינימום

f(1)=1−3+3=1  f(3)=27−27+3=3\begin{aligned}f(1) &= 1-3+3 \\ &= 1 \\ \ \ f(3) &= 27-27+3 \\ &= 3\end{aligned}

הקצוות

max⁡=3\max=3

בקצה x=3x=3

צריך לוודא שהקטן ביותר באמת ב-x=2x=2: f(1)=c−2f(1)=c-2 ו-f(3)=cf(3)=c גדולים מ-c−4c-4 ✓. ואז c=3c=3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הפונקציה FF היא פונקציה קדומה של f(x)=x2−1f(x)=x^2-1, והגרף שלה עובר בראשית. כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לגרף FF, והיכן?

  1. שתיים: x=±1x=\pm1
  2. שלוש: x=0x=0 ו-x=±1x=\pm1
  3. שלוש: x=0x=0 ו-x=±3x=\pm\sqrt{3}
  4. אחת: x=0x=0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שלוש: x=0x=0 ו-x=±3x=\pm\sqrt{3}

הפתרון:

F(x)=x33−x+C  F(0)=0⇒C=0\begin{aligned}F(x) &= \frac{x^3}{3}-x+C \\ \ \ F(0) &= 0 \Rightarrow C \\ &= 0\end{aligned}

פונקציה קדומה

x3(x2−3)=0\frac{x}{3}(x^2-3)=0

מפרקים

x=0 x=±3\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}

השורשים

התשובה: שלוש, x=0x=0 ו-x=±3x=\pm\sqrt{3}. x=±1x=\pm1 הם השורשים של ff, כלומר נקודות הקיצון של FF — לא נקודות החיתוך שלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת