סדרה 4 — מתקדם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות שמשלבות שני רעיונות של הפרק בשאלה אחת: פרמטר עם קטע סגור, פונקציה קדומה עם משיק, גרף נגזרת עם שורש כפול, ומשוואה f(x)=kf(x)=k לפולינום ממעלה רביעית.

כתבו בטיוטה מה כל נתון אומר לפני שמחשבים: «קיצון» — f′=0f'=0; «עובר בנקודה» — f(x0)=y0f(x_0)=y_0; «משיק אופקי» — גם וגם. שם נקבעות המשוואות.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x3+ax2+bf(x)=x^3+ax^2+b. ל-ff יש נקודת מינימום ב-(2, −1)(2,\,-1). מצאו את bb.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(2)=12+4a=0⇒a=−3\begin{aligned}f'(2) &= 12+4a \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

f(2)=8−12+b=−1⇒b=3\begin{aligned}f(2) &= 8-12+b \\ &= -1 \Rightarrow b \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה על הגרף

f′(x)=3x(x−2): −→+f'(x)=3x(x-2):\ - \to +

בדיקה: אכן מינימום

מהנגזרת לבדה אי אפשר למצוא את bb — הוא נעלם בגזירה. לכן הגובה −1-1 חיוני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גרף הנגזרת f′
-2-10123-16-14-12-10-8-6-4-2246810xy

בציור גרף הנגזרת f′(x)=(x+1)2(2−x)f'(x)=(x+1)^2(2-x). הגרף נוגע בציר xx ב-x=−1x=-1 וחוצה אותו ב-x=2x=2. איזה תיאור של ff נכון?

  1. מינימום ב-x=−1x=-1 ומקסימום ב-x=2x=2
  2. יש ל-ff מקסימום יחיד, ב-x=2x=2
  3. אין ל-ff נקודות קיצון
  4. מקסימום ב-x=−1x=-1 ומינימום ב-x=2x=2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב יש ל-ff מקסימום יחיד, ב-x=2x=2

הפתרון:

x<−1: f′>0,−1<x<2: f′>0x<-1: \ f'>0 ,\quad -1<x<2: \ f'>0

נגיעה ב-−1-1 — אין החלפת סימן

x>2: f′<0x>2: \ f'<0

ב-22 מ-++ ל-−-: מקסימום

התשובה: מקסימום יחיד, ב-x=2x=2. ב-x=−1x=-1 הנגזרת מתאפסת בלי להחליף סימן — משיק אופקי בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x4−8x2f(x)=x^4-8x^2. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=−10f(x)=-10?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f′(x)=4x(x−2)(x+2)f'(x)=4x(x-2)(x+2)

שלוש חשודות

min⁡=f(±2)=−16max⁡=f(0)=0\begin{aligned}\min &= f(\pm2) \\ &= -16 \\ \quad \max &= f(0) \\ &= 0\end{aligned}

שני שפלים ופסגה אחת

−16<−10<0-16<-10<0

הישר חוצה כל אחד משני ה«עמקים» פעמיים

ארבעה. בפולינום ממעלה רביעית עם שני מינימומים, ישר אופקי בין המינימום למקסימום חותך ארבע פעמים — לא שלוש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון f′(x)=6x−6f'(x)=6x-6. הישר y=−3y=-3 משיק לגרף ff. חשבו את f(3)f(3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

f′(x)=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

משיק אופקי — בנקודה שבה הנגזרת אפס

f(1)=−3f(1)=-3

נקודת ההשקה על הישר y=−3y=-3

f(x)=3x2−6x+C  f(1)=−3+C=−3⇒C=0\begin{aligned}f(x) &= 3x^2-6x+C \\ \ \ f(1) &= -3+C \\ &= -3 \Rightarrow C \\ &= 0\end{aligned}

פונקציה קדומה

f(3)=27−18=9\begin{aligned}f(3) &= 27-18 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים

המשפט «y=−3y=-3 משיק» נותן גם את מקום ההשקה (שיפוע 00) וגם את הגובה. מי שהציב f(0)=−3f(0)=-3 ניחש את המקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=ax3−3xf(x)=ax^3-3x, כאשר a≠0a \ne 0. עבור אילו ערכי aa אין ל-ff נקודות קיצון?

  1. a≥0a \ge 0
  2. a>0a>0
  3. אין ערך כזה
  4. a<0a<0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד a<0a<0

הפתרון:

f′(x)=3ax2−3f'(x)=3ax^2-3

גוזרים

f′=0  ⟺  x2=1a\begin{aligned}f' &= 0 \iff x^2 \\ &= \frac{1}{a}\end{aligned}

פתרון רק כש-a>0a>0

a<0⇒f′(x)<0 לכל xa<0 \Rightarrow f'(x)<0 \ \text{לכל} \ x

יורדת תמיד

התשובה: a<0a<0. אז 3ax2≤03ax^2 \le 0 ולכן f′(x)≤−3f'(x) \le -3: הפונקציה יורדת לכל xx. «a≥0a \ge 0» כולל את a=0a=0, שהוחרג בשאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ייתכן שגרף הנגזרת f′f' הוא ישר עולה, ושל-ff יש נקודת מקסימום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f′(x)=mx+n m>0\begin{aligned}f'(x) &= mx+n \\ \ m>0\end{aligned}

ישר עולה חוצה את הציר פעם אחת

−→+- \to +

משמאל לחיתוך שלילי, מימינו חיובי — מינימום

לא ייתכן. ישר עולה עובר ממינוס לפלוס, ולכן ל-ff יש מינימום בלבד. ff היא פרבולה פתוחה כלפי מעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x. בקטע 0≤x≤a0 \le x \le a, כאשר a>1a>1, הערך הגדול ביותר של ff הוא 1818. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(0)=0  f(1)=−2\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ \ f(1) &= -2\end{aligned}

מועמדים שלא יכולים לתת 1818

f(a)=a3−3a=18\begin{aligned}f(a) &= a^3-3a \\ &= 18\end{aligned}

הערך הגדול ביותר — בקצה aa

a3−3a−18=(a−3)(a2+3a+6)=0\begin{aligned}a^3-3a-18 &= (a-3)(a^2+3a+6) \\ &= 0\end{aligned}

מפרקים

a=3a=3

לגורם הריבועי אין שורשים

ב-a>1a>1 הפונקציה עולה מ-x=1x=1 והלאה, ולכן הערך הגדול ביותר בקטע הוא בקצה הימני. ניחוש a=3a=3 מותר רק אם מאמתים אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2, עם מקסימום (0, 0)(0,\,0) ומינימום (2, −4)(2,\,-4). מיינו את המשוואות.

  • פתרון אחד
  • יותר מפתרון אחד
  • f(x)=−1f(x)=-1
  • f(x)=−2f(x)=-2
  • f(x)=−4f(x)=-4
  • f(x)=−5f(x)=-5
  • f(x)=0f(x)=0
  • f(x)=1f(x)=1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(x)=1f(x)=1 — פתרון אחד · f(x)=−5f(x)=-5 — פתרון אחד · f(x)=−2f(x)=-2 — יותר מפתרון אחד · f(x)=0f(x)=0 — יותר מפתרון אחד · f(x)=−4f(x)=-4 — יותר מפתרון אחד · f(x)=−1f(x)=-1 — יותר מפתרון אחד

הפתרון:

k>0 או k<−4: 1k>0 \ \text{או} \ k<-4: \ 1

מעל המקסימום או מתחת למינימום

k=0 −4: 2−4<k<0: 3\begin{aligned}k &= 0 \\ \ -4: \ 2 \qquad -4<k<0: \ 3\end{aligned}

בגובה קיצון או ביניהם

המלכודת היא k=0k=0 ו-k=−4k=-4: שם שני פתרונות, לא אחד. הישר נוגע בקיצון וחוצה את הגרף במקום נוסף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לפונקציה f(x)=x3+x2+axf(x)=x^3+x^2+ax יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מהו ערך ff בנקודה זו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f′(x)=3x2+2x+a  f′(1)=5+a=0\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2+2x+a \\ \ \ f'(1) &= 5+a \\ &= 0\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

a=−5a=-5

פותרים

f(1)=1+1−5=−3\begin{aligned}f(1) &= 1+1-5 \\ &= -3\end{aligned}

מציבים ב-ff עם a=−5a=-5

קודם aa, אחר כך הגובה. מי שהציב x=1x=1 ב-ff לפני שמצא את aa נשאר עם 2+a2+a ביד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

תלמיד חיפש את ff כש-f′(x)=3x2−2xf'(x)=3x^2-2x ו-f(2)=4f(2)=4. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f(x)=x3−2x2+Cf(x) = x^3 - 2x^2 + C
f(2)=8−4+Cf(2) = 8 - 4 + C
4+C=44 + C = 4
C=0C = 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(x)=x3−2x2+Cf(x) = x^3 - 2x^2 + C → f(x)=x3−x2+Cf(x) = x^3 - x^2 + C

הפתרון:

−2x→−2x22=−x2-2x \to -\frac{2x^2}{2} = -x^2

מחלקים בחזקה החדשה

f(x)=x3−x2f(x)=x^3-x^2

התוצאה

בשורה הראשונה −2x-2x הפך ל-−2x2-2x^2 בלי חילוק ב-22. השורות שאחריה נכתבו כבר עם −x2-x^2 הנכון — לכן רק היא שגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת